درسنامه کامل حسابان (2)

تابع

يك تابع از مجموعه A به مجموعه B رابطهاي بين دو مجموعه است كه به هر عضو A دقيقاً يك عضو از B را نسبت ميدهد. اعضاي A و B هر شيء ميتوانند باشند اما اگر و  تابع f را تابع حقيقي ميناميم

 A را دامنه تابع ، B را هم دامنه آن و مجموعه را برد تابع f گوييم.

 مثال: تابع حقيقي :را كه در آن و هر عضواز f به صورت ميباشد را در نظر بگيريد .

الف) مجموعه B را توصيف كنيد.

ب) تابع f را با اعضايش مشخص كنيد.

 ج) ضابطه تابع f را مشخص كنيد؟

 د) اگر N)  مجموعه اعداد طبيعي است)، معرفي كاملي از تابع f را بنويسيد.

 حل:

الف) مجموعه B هر زير مجموعه اي از اعداد حقيقي شامل مجموعه ميتواند باشد

ب) اعضاي تابع f به صورت  ميباشد.

 ج) ضابطه تابع f را ميتوان به صورت نوشت.

د) تابع f را ميتوان به صورت هاي   يا نوشت كه به طوركامل تابع فوق را معرفي ميكنند توجه كنيد كه مجموعه A دامنه تابع f و مجموعه N ، هم دامنه تابع و همچنين برد تابع مجموعه ميباشد.

 مثال: مجموعه A داراي m عضو و مجموعه B داراي n عضو ميباشد و تابع g از A به B تعريف شده است.

 الف) در نمودار ون مربوط به تابع g چند پيكان بايد وجود داشته باشد.

 ب) نمودار ون تابع g را طوري رسم كنيد كه .

ج) نمودار ون تابع g را طوري رسم كنيد كه .

د) نمودار ون تابع g را طوري رسم كنيد كه

حل:

 الف) با توجه به اينكه از هر عضو A دقيقاً يك پيكان بايد خارج شده باشد بنابراين دقيقاً بايد m پيكان از A به B كشيده شود.

ب) بيشمار تابع براي g ميتوان در نظر گرفت . توانبه عنوان مثال مي g را چنين در نظر گرفت:

مجموعه {فرانسه، انگليس، ايران} دامنه تابع و مجموعه { رياض، پاريس، لندن، تهران} هم دامنه تابع و مجموعه {پاريس، لندن، تهران} باشندبرد تابع مي باشند.

ج) ميتوان g را چنين در نظر گرفت.

مجموعه دامنه تابع و  هم دامنه تابع و مجموعه برد تابع ميباشند.

 د) تابع g را ميتوان چنين در نظر گرفت

مجموعه دامنه تابع و مجموعه {نه اول و نه مركب، عدد مركب، عدد اول} هم دامنه و برد تابع هستند.

 مثال: تابع:  را طوري مشخص كنيد كه:

الف A ( متناهي و B نامتناهي باشد.

ب A ( نامتناهي و B متناهي باشد.

جA ( و B هر دو نامتناهي باشند.

مثال: الف ) تابع f با ضابطه  را رسم كنيد.

ب) تابع با ضابطه  را رسم كنيد.

 ج) آيا تابع h را ميتوان به قسمي در نظر گرفت كه دامنه و ضابطه آن با تابع g يكي باشد اما هم دامنه آن مجموعه Z باشد.

حل:

الف) با توجه به اينكه نمودار ضابطه داده شده يك خط است و هر خط با 2 نقطه مشخص ميشود كافي است 2 نقطه از اين خط را يافته و خط را رسم كرد.

 به عنوان مثال:

لذا شكل آن به صورت زير خواهد بود.

ب) نموار اين تابع قسمتي از تابع f است كه در آن در واقع تابع g را تحديد تابع f ميناميم و نمودار آن چنين است:

ج) با توجه به اينكه  لذا چنين تابعي نميتوان يافت.

مثال: از بين مستطيل هاي قابل محاط شدن در مثلث متساوي الاضلاع به ضلع 1 كدام مستطيل بيشترين مساحت را دارد؟

حل: طبق شكل اگر DC را برابر x بگيريم، داريم (چرا) و از آنجا  با توجه به رابطه ي فيثاغورس داريم:

لذا مساحت مستطيل فوق از رابطه  دست مي آيد و داريم:

اما بيشترين مقدار عبارت صفر است كه به ازاي  به دست مي آيد و لذا ماكزيمم S برابر است و طول و عرض اين مستطيل برابر است با و

تمرين:

 -1اگر رابطه ي  تابع باشد a و b را بيابيد.

2 m_ را طوري بيابيد كه رابطه  تابع باشد.

3_نمودار ون مربوط به رابطه ي را كه در آن x و y اعدادي صحيح هستند را رسم كنيد. آيا اين رابطه تابع است؟

 -4 دامنه تابع f مجموعه ميباشد و تابع f به ازاي و به ازاي ساير x ها ، دامنه را بيابيد.

-5 دامنه ي توابع زير را بيابيد:

الف)          ب)

ج)              د)

ه)            و)

ز)           ح)

 ط)         ی)

6 براي اندازه گيري دما از واحدهاي سانتيگراد C و فارنهايت F استفاده ميشود كه با رابطه ي به يكديگر وابسته هستند در چه دمايي هر دو واحد يك عدد را نشان ميدهد؟

 -7 نمودار تابعي را رسم كنيد كه هر سه ويژگي زير را داشته باشد:

 الف) دامنه آن بازه ( 31 , −] باشد.

 ب) برد آن بازه [ 41 , ) باشد.

 ج) يك به يك نباشدبه دست ميآيد

­_8 ارتفاع يك جسمي كه به بالا پرتاب شده است از رابطه  بدست می آید که در آن t زمان طي شده پس از پرتاب جسم بر حسب ثانيه و h ارتفاع جسم بر حسب متر است.

 الف) پس از يك ثانيه جسم در چه ارتفاعي قرار دارد؟

ب) جسم تا چه ارتفاعي بالا ميرود؟

ج) پس از چه زماني جسم به زمين برخورد ميكند؟

د ) در چه بازهي زماني ارتفاع جسم از 15 متر بيشتر است؟

 ه) در چه بازه ي زماني ارتفاع جسم حداكثر 10 متر است؟

 -9 اگر تابع f به ازاي هر در رابطه ي  صدق كند دامنه و برد تابع را x بيابيد.

-10 اگر  , را بیابيد

11_اگر ضابطه ي تابع f را بيابيد.

_12اگر  ضابطه ي تابع f را بيابيد

_13دو برابر عددي از عدد ديگر 6 واحد بيشتر است اگر حاصل ضرب آن دو عدد مينيمم باشد دو عدد را بيابيد.

-14 دو ضلع از مستطيلي منطبق بر جهت مثبت محورهاي مختصات بوده و رأس چهارم آن بر خط به معادله واقع ميباشد بيشترين مساحت ممكن اين مستطيل چقدر است؟

-15 محيط مستطيلي 200 متر است ابعاد آن را چنان بيابيد كه مساحت آن ماكزيمم شود.

 -16 مساحت مستطيلي 64 متر مربع است ابعاد آن را به قسمي بيابيد كه محيط آن مينيمم شود.

 -17 از بين مستطيلهايي كه يك ضلع آن بر محور x ها منطبق و دو رأس آن روي منحني تابع )با شرطy>0 ( قرار دارد كدام مستطيل بيشترين محيط را دارد؟

 -18 نقطه A به طول 4 بر محور طولها واقع است بر منحني نقطهاي را بيابيد كه فاصلهاش از A كمترين مقدار ممكن باشد.  

19_ كوتاه ترين فاصله مبدأ مختصات از منحني به معادله چقدر است؟

20_ از بين مثلث هايي كه مجموع طول قاعده و ارتفاع وارد بر آن 12 است بيشترين مساحت را چه مثلثي دارد؟

-21 از بين مستطيل هايي كه محيط آن مقدار ثابت k است كدام مستطيل كمترين طول قطر را دارد؟

 -22 بيشترين مساحت مستطيلي كه به وسيله يك طناب به طول 2400 متر در حاشيه يك دريا ميتوان محصور كرد چند متر مربع است ( ضلع مجاور به دريا نيازي به محصور كردن ندارد). -23

23_از بين استوانه هايي كه مجموع ارتفاع و شعاع قاعده آنها عدد ثابت k است كدام استوانه بيشترين سطح جانبي را دارد؟

-24 از بين مثلثهاي قائمالزاويه كه مجموع يك ضلع زاويه قائمه و وتر آن برابر 6 واحد است كدام بيشترين مساحت را دارد.

دوتابع f و g در صورتي مساويند كه هردو شرط زير برقرار باشد:

 الف) دامنه دو تابع با هم برابر باشند.

 ب) به ازاي هر عضو از دامنه آنها داشته باشيم.

 مثال: توابع و را در نظر بگيريد. آيا اين دو تابع با هم مساويند.

 حل: دامنه اين دو تابع مجموعه است كه با هم مساوي است . ولي پس دو تابع با هم مساوي نيستند .

مثال: توابع و   را در نظر بگيريد a ، b وc را طوري بيابيد كه دو تابع با هم مساوي باشند.

 حل: چون  لذا بايد و  پس بايد يعني همچنين و از حل معادله نتيجه ميشود كه لذا با استدلال هاي    مشابه و در نتیجه باید  و چون لذا يعني

پس تابع   gبه صورت بوده و A نيز چنين است

توابع و با هم برابرند دقت كنيد كه دامنه هر دو تابع  مجموعه R است.

مثال: آیا توابع و با هم مساويند؟

حل : دامنه هر دو تابع مجموعه اعداد حقیقی است اما به ازای هر  مقادیر هر دو تابع برابر نیست مثلا  ولی

مثال: آيا توابع  و  باهم برابرند؟

حل :ميدانيد كه به ازاي هر , تعريف نشده است يعني اين نقاط در دامنه تابع f قرار ندارند.

 اما به ازاي هر  ,  تعريف نشده و به ازاي هر ,   صفر 2 ميشود لذا مجموعه اين نقاط يعني نقاط به طول , , عضو دامنه تابع g نميباشد.

بنابراين دامنه اين دو تابع برابر نيست . به عنوان مثال تعريف شده و برابر صفر است اما تابع g به ازاي  تعريف نشده است

مثال: به طور مشابه با مثال قبل توابع و  باهم برابر نیستند زیرا دامنه تابع f مجموعه است ولي دامنه تابع g مجموعه  مي باشد كه برابر نيستند.

 مثال: M و L را طوري بيابيد كه توابع f و g باهم برابر باشند.

حل: اولاً دامنه هر دو تابع مجموعه اعداد حقيقي است و و   بنابراين 5 همچنين و لذا.  توجه كنيد كه اگر   , آنگاه: