درسنامه کامل حسابان دوازدهم

اگرk یک عدد مثبت در نظر گرفته شود و  \(({x_0},{y_0})\) یک نقطه از نمودار تابع  y = f(x)  باشد. می توان انتقال عمودی را برای تابع gو در حالت های زیر بررسی کرد. حالت اول : تابع g به صورت  \(g(x) = f(x) + k\) تعریف شده باشد. آنگاه  \(g({x_0}) = f({x_0}) + k = {y_0} + k\)   بنابراین نقطه ی \(({x_0},{y_0} + k)\)   از نمودار تابع gمتناظر با نقطه ی \(({x_0},{y_0})\)   از نمودار f است.

حالت دوم : تابع g به صورت \(g(x) = f(x) - k\)   تعریف شده باشد. آنگاه

\(g({x_0}) = f({x_0}) - k = {y_0} - k\)  

بنابراین نقطه ی \(({x_0},{y_0} - k)\)   از نمودار تابع g متناظر با نقطه ی \(({x_0},{y_0})\) از نمودار fاست. با توجه به مطلب می توان نتیجه گرفت که :

۱- برای رسم نمودار تابع y = f(x) + k  ، کافی است نمودار f(x) را kواحد در راستای قائم به سمت بالا انتقال دهیم.

-2برای رسم نمودار تابع y = f(x) - k، کافی است نمودار f(x)  را kواحد در راستای قائم به سمت پایین انتقال دهیم.

اگر  kیک عدد مثبت در نظر گرفته شود و \(({x_0},{y_0})\)یک نقطه از نمودار تابع (y = f(x باشد. می توان انتقال افقی را برای تابع g در حالت های زیر بررسی کرد.

حالت اول : تابع gبه صورت \(g(x) = f(x - k)\)   تعریف شده باشد. آنگاه

 \(g({x_0} - k) = f({x_0} - k + k) = f({x_0})\)  

بنابر این نقطه ی \(({x_0},{y_0} + k)\)   از نمودار تابع gمتناظر با نقطه ی  \(({x_0},{y_0})\) از نمودار fاست.

حالت دوم : تابع gبه صورت \(g(x) = f(x - k)\)  تعریف شده باشد. آنگاه

\(g({x_0} + k) = f({x_0} + k - k) = f({x_0})\)  

بنابر این نقطه ی \(({x_0},{y_0} + k)\)  از نمودار تابع g تناظر با نقطه ی \(({x_0},{y_0})\) از نمودار fاست.

با توجه به مطلب می توان نتیجه گرفت که :

-1برای رسم نمودار تابع \(y = f(x + k)\)  ، کافی است نمودار f(x)  را kواحد در راستای افقی به سمت چپ انتقال دهیم.

-2برای رسم نمودار تابع \(y = f(x - k)\) ، کافی است نمودار f(x)  را kواحد در راستای افقی به سمت راست انتقال دهیم.

اگر kیک عدد مثبت در نظر گرفته شود و \(({x_0},{y_0})\)  یک نقطه از نمودار تابع (y = f(x باشد. می توان انبساط و انقباض عمودی را برای تابع 8 در حالت های زیر بررسی کرد.

در صورتی که تابع gبه صورت \(g(x) = kf(x)\)   تعریف شده باشد، آنگاه

\(g({x_0},{y_0}) = kf({x_0}){y_0}\)  

بنابر این نقطه ی \(({x_0},k{y_0})\)  از نمودار تابع g متناظر با نقطه ی\(({x_0},{y_0})\) از نمودار f است.

با توجه به مطلب می توان نتیجه گرفت که:

برای رسم نمودار تابع \(({x_0},k{y_0})\)   کافی است عرض نقاط نمودار f(x)  را kبرابر کنیم ولی طول نقاط را ثابت نگه داریم.

در شکل زیر نمودار دو تابع \(f(x) = \sqrt x \)  و \(g(x) = - \sqrt x \)  را ملاحظه نمایید.

اگر kیک عدد مثبت در نظر گرفته شود و \(({x_0},{y_0})\) یک نقطه از نمودار تابع y=f(x) باشد. می توان انبساط و انقباض افقی را برای تابع g در حالت های زیر بررسی کرد.

در صورتی که تابع g به صورت g(x) = f(kx) تعریف شده باشد. آنگاه

\(g(\frac{1}{k}{x_0}) = f(\frac{1}{k} \times k{x_0}) = f({x_0})\)  

بنابر این نقطه ی \((\frac{1}{k}{x_0},{y_0})\)  از نمودار تابع g متناظر با نقطه ی \(({x_0},{y_0})\)  از نمودار fاست.

با توجه به مطلب می توان نتیجه گرفت که:

برای رسم نمودار تابع (y = f(kx کافی است عرض نقاط نمودار f(x)را ثابت نگه داشته، ولی طول نقاط را در \(\frac{1}{k}\)ضرب کنیم.

در شکل زیر نمودار دو تابع \(f(x) = \sqrt x \) و \(f(x) = \sqrt { - x} \)  را ملاحظه نمایید.

آنگاه

‏\(g(\frac{{{x_0}}}{2}) = 3f(2 \times \frac{{{x_0}}}{2}) = 3f({x_0})\)  ‏

بنابر این نقطه ی \((\frac{{{x_0}}}{2},3{y_0})\) از نمودار تابع g متناظر با نقطه ی \(({x_0},{y_0})\)   از نمودار f است.

با توجه به مطلب می توان نتیجه گرفت که

برای رسم نمودار تابع y=3f(2x)، کافی است عرض نقاط نمودار f(x) را سه برابر کرده و طول نقاط را در\(\frac{1}{2}\)ضرب می کنیم.

نتیجه خلاصه ی آنچه که در این درس بیان شده است برای تابع (y = f(x‏و با فرض مثبت بودن عدد kبه شکل زیر بیان می شود.

اگر n یک عدد صحیح نامنفی و \({a_n},...{a_2},{a_1},{a_0}\)  اعداد حقیقی باشند که \({a_n} \ne 0\)  در این صورت تابع زیر را یک تابع چند جمله ای از درجه ی nمی نامند.

\(f(x) = {a_n}{x^n} + {a_n}_{ - 1}{x^{n - 1}} + {a_n}_{ - 2}{x^{n - 2}} + ...{a_2}{x^2} + {a_1}x + {a_0}\)  

برای مثال توابع زیر توابع چند جمله ای هستند.

الف) تابع ثابت

تابع چند جمله ای از درجه صفر \(f(x) = c\)  

ب) تابع خطی

تابع چند جمله ای ازدرجه یک \(f(x) = ax + b\)  

ج) تابع درجه ۲ ( سهمی)

تابع چند جمله ای از درجه دو \(f(x) = a{x^2} + bx + c\)  

د (تابع زیر نیز یک تابع چند جمله ای از درجه ۳ است.

تابع چند جمله ای از درجه سه     \(f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) 

تابعy=f(x) را روی دامنه اش صعودی گویند، هرگاه :  

\(\forall {x_1},{x_2} \in {D_f};{x_1} < {x_2} \to f({x_1}) \le f({x_2})\)

تابع (y = f(x را روی دامنه اشصعودی اکید( اکیداً صعودی) گویند، هرگاه :

\(\forall {x_1},{x_2} \in {D_f};{x_1} < {x_2} \to f({x_1}) < f({x_2})\)  

تابع (y = f(x را را روی دامنه اش نزولی گویند، هرگاه :

\(\forall {x_1},{x_2} \in {D_f};{x_1} < {x_2} \to f({x_1}) \ge f({x_2})\)  

تابع (y = f(x را روی دامنه اش نزولی اکید )اکیداً نزولی) گویند، هرگاه :

\(\forall {x_1},{x_2} \in {D_f};{x_1} < {x_2} \to f({x_1}) > f({x_2})\)  

تابع (y = f(x را را روی دامنه اش ثابت است، هرگاه :

\(\forall {x_1},{x_2} \in {D_f};{x_1} < {x_2} \to f({x_1}) = f({x_2})\)  

در سال های گذشته با تقسیم چند جمله ای ها بر یکدیگر آشنا شده اید میدانید که برای تقسیم چند جمله ای A(x)را بر چند جمله ای غیر صفر B(x) که درجه ی A(x) بزرگتر یا مساوی درجه ی B(x) باشد مراحل زیر به ترتیب را طی کنیم.

مرحله ی اول:

ابتدا چند جمله ای های مقسوم \((A(x))\)  و مقسوم عليه \((B(x))\) را استاندارد می کنیم.

مرحله ی دوم:

اولین جمله ی مقسوم را بر اولین جمله ی مقسوم علیه تقسیم میکنیم) جملاتی از مقسوم و مقسوم علیه که دارای بزرگترین توانها هستند( و حاصل را به عنوان اولین جمله ی خارج قسمت قرار می دهیم

مرحله ی سوم:

خارج قسمت بدست آمده را در چند جمله ای مقسوم علیه ضرب می کنیم. سپس عبارت بدست آمده را قرینه کرده و در زیر مقسوم یادداشت میکنیم حاصل جمع این عبارت یا مقسوم، اولین باقی مانده را نتیجه می دهد.

مرحله ی چهارم: مانند مرحله ی دوم این بار باقی مانده ی به دست آمده را بر عبارت مقسوم علیه تقسیم می کنیم.

اگر چند جمله ایA(x) را بر چند جمله ای غیر صفرB(x) تقسیم کنیم در این صورت همواره خواهیم داشت

\(( - {x^2} + 3x)(x + 2) + 1 = - {x^3} - 2{x^2} + 3{x^2} + 6x + 1) = - {x^3} + {x^2} + 6x + 1\)  

بخش پذیری در چند جمله ای ها

چند جمله ای A(x)را بر چند جمله ای (B(x بخش پذیر گویند، هرگاه باقی مانده ی تقسیم A(x)  بر B(x) صفر شود. در این صورت خواهیم داشت :

\(A\left( x \right) = Q(x) \times B(x)\)  

اگر چند جمله ای P(x) را بر x-aتقسیم کنیم، خواهیم داشت. ‏

\(P\left( x \right) = Q(x) \times (x\_a) + R(x)\)  

حال اگر قرار دهیم x=a

\( \to P\left( a \right) = Q(a) \times (a\_a) + R(a) \to P\left( a \right) = R(a)\)  

یعنی باقی مانده ی تقسیم p(x) بر x-aبرابر p(a)است.

در این جا در پی آن هستیم که چند اتحاد مفید دیگر را ارائه کنیم در سالهای قبل به یاد دارید که :

  \(\begin{array}{l}{x^2} - {a^2} = (x - a)(x + a)\\\\{x^3} - {a^3} = (x - a)({x^2} + ax + {a^2})\end{array}\)

به نمودار تابع زیر توجه کنید.

همانطور که مشاهده میکنید نمودار این تابع در فواصل معینی تکرار می شود.

می توان گفت که نمودار تابع در فواصل به طول ۴ و در فواصل به طول ۸ واحدی و .... تکرار می شود.

این چنین توابعی را توابع متناوب مینامند طول کوچکترین فاصله ای که نمودار تابع تکرار میشود را دوره ی تناوب می نامند و آن را با T نمایش میدهند در تابع فوق دوره ی تناوب برابر ۴ است.

نتیجه در واقع تابع متناوب تابعی است که در فواصل معینی نمودار آن تکرار می شود و دوره ی تناوب آن کوچکترین طول بازه ای است که در آن نمودار تابع تکرار می گردد.

اکنون تابع متناوب را به شکل زیر تعریف می کنیم.

اگر تابع (y = f(x دو شرط زیر را داشته باشد، آن را متناوب گویند.

الف) هرگاه عدد مثبتی مانند C وجود داشته باشد به طوری که وقتی x عضو دامنه باشد، آنگاه x + C نیز عضو دامنه است.

\(x \in {D_f}(x + c) \in {D_f}\)

ب \(f(x + c) = f(x)\)

در این صورت کمترین مقدار مثبت را با T نمایش میدهیم و آن را دوره ی تناوب )دوره ی تناوب اصلی) می نامیم.

دایره ی مثلثاتی بالا را در نظر بگیرید. در این دایره خط\(T'AT\)در نقطه ی A بر محور کسینوس ها عمود است. اگر نقطه ی A مبدأ این محور و جهت آن از پایین به بالا فرض شود طبق تعریف تانژانت می دانیم که \(tan\left( \alpha \right){\rm{ }} = {\rm{ }}AM'\) و با توجه به مختصات نقطه ی \(M'\) میتوان نوشت \(tan\left( \alpha \right){\rm{ }} = {\rm{ b}}\)

با این دید میتوان گفت که با تغییر زاویه ی\(\alpha \)مقدار \(tan\left( \alpha \right)\) نیز تغییر میکند لذا می توان گفت که \(f(x) = tan\left( \alpha \right)\) تابعی از زاویه ی \(\alpha \)است. این تابع را تابع تانژانت مینامند تابع تانژانت دارای ویژگی های زیر است.

الف : اگر زاویه ی \(\alpha \)در ربع اول یا سوم باشد، مقدار تابع مثبت است.

ب : اگر زاویه ی\(\alpha \) در ربع دوم یا چهارم باشد مقدار تابع منفی است.

ج : اگر زاویه ی\(\alpha \) برابر صفر یا رادیان باشد مقدار تابع صفر است.

د : تابع در نقاط\(\frac{\pi }{2}\)  و \(\frac{{3\pi }}{2}\) تعریف نمی شود. به طور کلی د دامنه و برد تابع تانژانت به شکل زیر است.

\(\begin{array}{l}{D_f} = \left\{ {x \in \left. R \right|} \right.x \ne k\pi + \frac{\pi }{2},k \in \left. z \right\}\\\\{R_f} = R\end{array}\)

و : چون \(\tan (\pi + x) = \tan (x)\) پس این تابع متناوب است و دوره ی تناوب آن \(T = \pi \) می باشد.

به طور کلی دوره ی تناوب تابع \(f(x) = a\tan (bx) + c\) برابر \(T = \frac{\pi }{{\left| b \right|}}\) است.

با افزایش مقدار \(\alpha \)در ربع اول مقدار تابع افزایش می یابد. بانزدیک شدن مقدار\(\alpha \) به\(\frac{\pi }{2}\) مقدار تابع ز زیاد و زیادتر می شود.

تانژانت مجموع و تفاضل دو زاویه

در این قسمت در پی آن هستیم رابطه هایی برای محاسبه ی تانژانت مجموع و تفاضل دو زاویه بیان کنیم به کمک روابطی که در سال گذشته برای سینوس و کسینوس مجموع و تفاضل دو زاویه داشتیم می توان نوشت:

\(\begin{array}{l}\tan (\alpha + \beta ) = \frac{{sin(\alpha + \beta )}}{{cos(\alpha + \beta )}}\\\\\frac{{sin\alpha .cos\alpha + cos\alpha .\sin \beta }}{{sin\alpha .cos\alpha - cos\alpha .\sin \beta }} = \frac{{\frac{{sin\alpha .cos\alpha + cos\alpha .\sin \beta }}{{cos\alpha .cos\beta }}}}{{\frac{{cos\alpha .cos\beta - \sin \alpha .\sin \beta }}{{cos\alpha .cos\beta }}}}\\\\\frac{{\frac{{sin\alpha .cos\beta }}{{cos\alpha .cos\beta }} + \frac{{cos\alpha .\sin \beta }}{{cos\alpha .cos\beta }}}}{{\frac{{cos\alpha .cos\beta }}{{cos\alpha .cos\beta }} - \frac{{\sin \alpha .\sin \beta }}{{cos\alpha .cos\beta }}}} = \frac{{\tan \alpha + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha .\tan \beta }}\\\\\tan (\alpha - \beta ) = \tan (\alpha + ( - \beta )) = \frac{{\tan \alpha + \tan ( - \beta )}}{{1 - \tan \alpha .\tan ( - \beta )}} = \frac{{\tan \alpha - \tan \beta }}{{1 + \tan \alpha .\tan \beta }}\end{array}\)

لذا خواهیم داشت:

\(\tan (\alpha - \beta ) = \frac{{\tan \alpha - \tan \beta }}{{1 + \tan \alpha .\tan \beta }}\)  (ب

          \(\tan (\alpha + \beta ) = \frac{{\tan \alpha + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha .\tan \beta }}\)  (الف

هر معادله که شامل نسبتهای مثلثاتی باشد را معادله ی مثلثاتی مینامند در هر معادله ی مثلثاتی، اطلاعاتی از نسبت های مثلثاتی یک زاویه ی مجهول را داریم و منظور از حل معادله ی مثلثاتی یافتن زاویه یا زاویه هایی است که به ازاء آنها تساوی برقرار باشد 

بیشمار زاویه وجود دارند که سینوس انها برابر\(\frac{1}{2}\)می شود. می برای تعیین زاویه های دیگر می نویسیم. ولی کوچکترین زاویه ی مثبت از بین آنها\(\frac{\pi }{2}\) است.

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2k\pi + \frac{\pi }{6}\\\\x = 2k\pi + \pi - \frac{\pi }{6} = 2k\pi + \frac{{5\pi }}{6}\end{array} \right.\)

این جواب را جواب عمومی معادله می نامند که در آن kیک عدد صحیح است. در واقع با اختیار مقداری برای یک جواب برای معادله ی مثلثاتی به دست می آید.

برای حل هر معادله ی مثلثاتی باید ابتدا با انجام ۱۴ از ۲۴ به جواب عمومی آن را تعیین کرد.

تذکر با توجه به این جدول 

1)اگر مقادیر a و c منفی باشد در فرمول جواب قرینه ی زاویه ی \(\alpha \) را قرار دهید.

2)اگر مقادیر b و d منفی باشد در فرمول جواب قرینه ی زاویه ی \(\alpha \) را قرار دهید.

3)کوچکترین زاویه ی منفی است که تساوی به ازای آن برقرار میباشد و انرا زاویه اصلی می نامند.

برای تعیین زاویه ی اصلی در صورت وجود میتوانید از جدول مقادیر نسبتهای مثلثاتی استفاده کنید و در ‏غیر این صورت می توانید به ذکر\(\alpha \)اکتفا کنید.

علاوه بر جدول کلی فوق در حل معادلات مثلثاتی میتوان از حالتهای خاص زیر نیز استفاده نمود.

حل چند تمرین کاربردی برای معادلات مثلثاتی

در سال گذشته با مفهوم حد تابع در یک نقطه آشنا شده اید. دیدیم که اگر تابع در همسایگی نقطه ی a تعریف شده باشد و مقادیر  xرا از دو طرف به اندازه ی کافی به  aنزدیک کنیم در صورتی که مقدار تابع(f(x به عدد معلوم Iنزدیک شود. گویند تابع در حد دارد و می نویسند:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{{x^n}}} = + \infty \)

در این درس با رفتار برخی دیگر توابع در همسایگی محذوف یک نقطه آشنا می شویم.

نمودار زیر ، نمودار تابع \(f(x) = \frac{1}{x}\)می باشد.

این همسایگی می تواند محذوف باشد.

همانطور که در این نمودار مشاهده می کنید هر چه X با مقادیر بزرگتر از صفر به صفر نزدیک شود، مقادیر  f(x)بدون هیچ محدودیتی افزایش می یابد به عبارتی دیگر میتوان  f(x)را از هر عدد مثبتی که دلخواهی که در نظر بگیریم بزرگتر کرد به شرطی که x را به اندازه ی کافی با مقادیر بزرگتر از صفر به صفر نزدیک کرد. در این صورت می نویسیم.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = + \infty \)

همچنین در این نمودار مشاهده میکنید. هر چه با مقادیر کمتر از صفر به صفر نزدیک شود، مقادیر (f(x بدون هیچ محدودیتی کاهش می یابد به عبارتی دیگر میتوان (f(x را از هر عدد منفی که دلخواهی که در نظر بگیریم کوچکتر کرد به شرطی که x را به اندازه ی کافی با مقادیر کمتر از صفر به صفر نزدیک کرد. در این صورت می نویسیم.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = - \infty \)

باز تاکید میشود که این نماد نشان میدهد که حد فوق موجود نیست چون مقدار تابع به عدد خاصی نزدیک نمی شود و منفی بی نهایت فقط یک نماد است که نمایش میدهد مقدار تابع از هر عدد منفی می تواند کوچکتر باشد.

با درک توصیف های ، فوق برای نمودار تابع \(f(x) = \frac{1}{x}\)می توان حدهای یک طرفه نامتناهی را بدین شکل تعریف کرد.

فرض کنیم که تابعf  در یک همایگی راست نقطه ای مانند  aتعریف شده باشد. در این صورت

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = + \infty \)

بدین معنی است که میتوانیم (f(x را به دلخواه هر قدر که بخواهیم از هر عدد مثبتی بزرگتر کنیم به شرطی که را از سمت راست به اندازه ی کافی به 1 نزدیک کرده باشیم.

همچنین فرض کنیم که تابع و در یک همسایگی چپ نقطه ای مانند a تعریف شده باشد. در این صورت

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = + \infty \)‏

بدین معنی است که میتوانیم (f(x را به دلخواه هر قدر که بخواهیم از هر عدد مثبتی بزرگتر کنیم به شرطی که x را از سمت چپ به اندازه ی کافی به نزدیک کرده باشیم.

به طور مشابه میتوان حدهای یک طرفه ی \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = - \infty \)و \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = - \infty \) را تعریف ‏کرد. 

1 با توجه به نمودار تابع  \(f(x) = \frac{1}{{\left[ x \right]}}\)مشاهده کردید که \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = + \infty \)  و ‏ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = + \infty \)

لذا می توان گفت که با نزدیک کردن X به اندازه ی کافی به صفر از سمت راست و از سمت چپ)، مقادیر f(x) را می توان به دلخواه بزرگ کرد. بنابراین (f(x از هر عدد دلخواهی بزرگ تر می شود و در نتیجه مقدار تابع یک عدد خاصی نمی شود و حد نامتناهی است و می نویسیم ‏

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = + \infty \)

اکنون حدهای نامتناهی را به صورت زیر تعریف می کنیم. فرض کنید تابع و در همسایگی محذوف 1 تعریف شده باشد. در این صورت

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = + \infty \)

یعنی اینکه میتوانیم  f(x)او را به دلخواه هر قدر که بخواهیم از هر عدد مثبتی بزرگتر کنیم به شرطی که x را از هر دو سمت راست و چپ به اندازه ی کافی به a نزدیک کرده باشیم.

همچنین فرض کنید تابع f در همسایگی محذوف a تعریف شده باشد. در این صورت

 ‏\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = - \infty \)

یعنی اینکه میتوانیم  f(x) را به دلخواه هر قدر که بخواهیم از هر عدد منفی کوچکتر کنیم به شرطی x که تا را از هر دو سمت راست و چپ به اندازه ی کافی به a نزدیک کرده باشیم.

نمودار تابع fدر شکل زیر را در نظر بگیرید و به موارد زیر توجه کنید.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 5} f(x)\)موجود نیست زیرا با اینکه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 5)}^ + }} f(x) = - 1\)ولی \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 5)}^ - }} f(x)\)وجودندارد.

‏\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f(x)\) موجود نیست زیرا حد راست و چپ هر دو موجود ولی مساوی نیستند.

حد راست \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 2)}^ + }} f(x) = 0\)و حد چپ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 2)}^ - }} f(x) = 2\)‏

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)\)موجود نیست حد راست و چپ هر دو بی کران هستند. 

حدراست \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = - \infty \)   حد چپ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = - \infty \)

‏\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)\) موجود نیست زیرا با اینکه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f(x) = 1\)ولی \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f(x)\)وجود ندارد. ‏

‏ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x)\)تعریف نمی شود زیرا تابع در همسایگی ۲ تعریف نمی شود.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f(x)\)موجود نیست زیرا با اینکه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f(x) = 1\)ولی \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f(x)\)وجود ندارد.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f(x)\)وجود ندارد. زیرا \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} f(x) = - 2\)‏و\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} f(x) = + \infty \)

‏\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 7} f(x) = 2\) زیرا ‏ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {7^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {7^ - }} f(x) = 2\)

‏۱۰ : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 9} f(x)\)موجود نیست زیرا با اینکه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ - }} f(x) = - 2\)ولی \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ + }} f(x)\)وجود ندارد.

در این قسمت چند قضیه ی مهم در مورد حدهای بی نهایت ، بدون اثبات بیان می کنیم.

قضیه ی ۱ : اگر nیک عدد طبیعی باشد، آنگاه :

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{{x^n}}} = + \infty \) (الف

در صورتی که زوج باشد. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{{{x^n}}} = + \infty \) (ب

در صورتی که فرد باشد. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{{{x^n}}} = - \infty \) (ج

قضیه ی ۲ :

الف: اگر \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = + \infty \) و \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = + \infty \) انگاه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = + \infty \) و برعکس

ب :اگر \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = - \infty \) و \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = - \infty \) انگاه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = - \infty \) و برعکس

قضیه ی ۳: اگر \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^{}}} f(x) = L \ne 0\) و \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = 0\) انگاه

الف : اگر \(L > 0\) و مقادیر g(x)در یک همسایگی محذوف aمثبت باشد، آنگاه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = + \infty \)

ب : اگر \(L < 0\) و مقادیرg(x) در یک همسایگی محذوف aمثبت باشد. آنگاه ‏ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = - \infty \)

ج : اگر \(L > 0\) و مقادیر g(x)در یک همسایگی محذوف aمنفی باشد، آنگاه‏ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = - \infty \)

د : اگر \(L < 0\) و مقادیر g(x) در یک همسایگی محذوفa منفی باشد، آنگاه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = + \infty \)

تذکر : این قضیه برای حدهای یک طرفه نامتناهی ) یعنی در حالت های که \(x \to {a^ + }\)و \(x \to {a^ - }\)نیز برقرار است.

صفر حدی و صفر مطلق 

برای درک مفهوم حد های نامتناهی لازم است تفاوت صفر حدی و صفر مطلق را بدانیم 

صفر مطلق :هکان عدد صفر است که مبدا اعداد حقیقی است 

 صفر حدی : عدد بسیار کوچک مثبت و نزدیک صفر یا عدد بسیار کوچک منفی و نزدیک صفر است 

1:اگر مخرج کسری صفر مطلق باشد این کسر تعریف نشده (نامعین)میباشد برای مثال کسر \(\frac{5}{0}\) نامعین است 

2:اگر مخرج کسری صفر حدی باشد این کسر عدد بسیار بزرگ مثبت و یا بسیار بزرگ منفی خواهد شد مانند:

   \(\frac{{ - 5}}{{{0^ - }}} = + \infty \) (د            \(\frac{{ - 5}}{{{0^ + }}} = - \infty \)(ج             \(\frac{5}{{{0^ - }}} = - \infty \)(ب           \(\frac{5}{{{0^ + }}} = + \infty \)(الف

قضیه 4:اگر \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = L\) و \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = + \infty \) ( یا \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = - \infty \)) انگاه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = 0\)

تذکر : این قضیه برای حدهای یک طرفه نامتناهی ) یعنی در حالت های که \(x \to {a^ + }\)و \(x \to {a^ - }\)نیز برقرار است

توجه :در حالت کسری اگر صورت کسر عدد غیر صفر و مخرج کسر عدد بینهایت شود ان کسر بسیار بسیار کوچک (صفر حدی) می باشد مانند حالت های زیر : 

\(\frac{-2}{{ - \infty }} = 0\)و \(\frac{-2}{{ + \infty }} = 0\) و \(\frac{2}{{ - \infty }} = 0\)و \(\frac{2}{{ + \infty }} = 0\) 

قضیه ی ۵: اگر \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = + \infty \)و\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = L \ne 0\)اانگاه

‏ الف ;‏ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} (f(x) + g(x)) = + \infty \)

‏ ب: اگر\(L > 0\) آنگاه\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} (f(x) \times g(x)) = + \infty \)

‏ ج: اگر \(L < 0\) آنگاه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} (f(x) \times g(x)) = - \infty \)

تذکر : این قضیه برای حدهای یک طرفه نامتناهی یعنی در حالت های که \(x \to {a^ + }\)و \(x \to {a^ - }\) نیز برقرار است.

قضیه ی ۶:اگر \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = - \infty \)و \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = L \ne 0\)انگاه

‏ الف \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (f(x) + g(x)) = - \infty \)

ب: اگر L>0آنگاه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (f(x) \times g(x)) = - \infty \)‏

‏ ج: اگر L<0 آنگاه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (f(x) \times g(x)) = + \infty \)‏

فرض کنید که a یک عدد حقیقی باشد، خط a= x را مجانب قائم نمودار تابع (f(x گویند، هرگاه حداقل یکی از شرایط زیر برقرار باشد.

الف) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = + \infty \)

ب)  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = + \infty \)

ج)  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = - \infty \) 

د)  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = - \infty \)

در هر یک از شکل های زیر خط a = X یک مجانب قائم متحتی داده شده است.

برای مثال خط\(x = \frac{\pi }{2}\) مجانب قائم نمودار تابع f(x) = tan x است.

برای محاسبه ی مجانب قائم در توابع کسری مخرج کسر را مساوی صفر قرار میدهیم، ریشه های مخرج مجانب قائم تابع fکه هستند به شرط اینکه این ریشه ها ، صورت را صفر نکنند.

در این درس میخواهیم رفتار تابع را وقتی که متغیر X به سمت بی نهایت بی انتها میل کند، را بررسی کنیم. در این حالت گویند با حد در بینهایت سروکار داریم.

نمودار زیر ، نمودار تابع   \(f(x) = \frac{1}{x}\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \)   می باشد.

همانطور که در این نمودار مشاهده میکنید هر چه X به سمت بی نهایت از سمت راست بزرگ و بزرگتر شود. مقادیر (f(x به صفر نزدیک میشوند به عبارتی وقتی به اندازه ی کافی بزرگ اختیار شود میتوان (f(x را به اندازه ی دلخواه به صفر نزدیک کرد در این صورت می نویسیم.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 0\)

همچنین به کمک همین نمودار مشاهده میکنید هر چه X به سمت بی نهایت از سمت چپ کوچک شود.مقادیر (f(x نیز به صفر نزدیک میشوند به عبارتی xوقتی به اندازه ی کافی کوچک اختیار شود میتوان f(x)را به اندازه ی دلخواه به صفر نزدیک کرد در این صورت می نویسیم.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = 0\)

و به طور خلاصه نوشته می شود که :

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f(x) = 0\)

اکنون به تعاریف زیر توجه کنید.

الف اگر تابع (f(x در بازه ای مانند \((a, + \infty )\) تعریف شده باشد گوییم حد (f(x وقتی X به سمت بی نهایت میل میکند برابر است و می نویسیم \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = l\)هرگاه بتوان با اختیار xهای به قدر کافی بزرگ فاصله ی f(x) از \(l\) را به هر اندازه کوچک کرد.

ب اگر تابع f(x) از در بازه ای مانند \(( - \infty ,a)\)تعریف شده باشد گوییم حد (f(x وقتی به سمت بی نهایت میل میکند برابر ست و می نویسیم \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = l\)هرگاه بتوان با اختیار x های به قدر کافی بزرگ فاصله ی (f(x از\(l\) را به هر اندازه کوچک کرد.

قضیه ۱ : اگر aعددی حقیقی و nعددی طبیعی باشد، آنگاه

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{a}{{{x^n}}} = 0\)

قضیه2:اگر\({L_1}\)و\({L_2}\) اعداد حقیقی و\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = {L_1}\)و\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = {L_2}\)انگاه:

الف) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (f + g)(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (f)(x) + \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (g)(x) = {L_1} + {L_2}\) 

ب) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (f - g)(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (f)(x) - \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (g)(x) = {L_1} - {L_2}\)

 ج) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (f \times g)(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (f)(x) \times \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (g)(x) = {L_1} \times {L_2}\)

(د \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{f}{g}(x) = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x)}} = \frac{{{L_1}}}{{{L_2}}}; {L_2} \ne 0\) 

تذكر : قضیه ی فوق وقتی xبه سمت \( - \infty \) میل می کند نیز برقرار است.

در محاسبه ی حد توابع ممکن است وقتی X به سمت \( + \infty \) یا \( - \infty \)میل کند مقدار های (f(x به عدد خاصی نزدیک نشوند و از هر عدد دلخواه مثبت بزرگتر شوند یا از هر عدد دلخواه منفی کوچکتر شوند.

به شکل های زیر توجه کنید و تساوی های زیر را کامل کنید.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = \)    (ب                                    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \) (الف

اکنون به تعاریف زیر توجه کنید.

الف : برای هر تابع مانند fکه در بازه ی \((a, + \infty )\)تعریف شده باشد اگر با بزرگ شدن مقادیر x مقادیر(f(x از هر عدد دلخواه مثبت بزرگتر شوند، می نویسند.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty \)

ب : برای هر تابع مانند که در بازه ی \((a, + \infty )\) تعریف شده باشد اگر با بزرگ شدن مقادیر x مقادیر(f(x از هر عدد دلخواه منفی کوچکتر شوند، می نویسند.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty \)

ج : برای هر تابع مانند که در بازه ی \(( - \infty ,a)\) تعریف شده باشد اگر با بزرگ شدن مقادیر x مقادیر(f(x از هر عدد دلخواه مثبت بزرگتر شوند، می نویسند.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = + \infty \)

د : برای هر تابع مانند او که در بازه ی \(( - \infty ,a)\)تعریف شده باشد اگر با بزرگ شدن مقادیر x مقادیر(f(x از هر عدد دلخواه منفی کوچکتر شوند، می نویسند.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = - \infty \)

حال پس از آشنایی با مفهوم حد نامتناهی در بی نهایت پیرامون این موضوع قضیه های زیر را بیان می کنیم.

قضیه ۱: فرض کنید که a عددی حقیقی و nعددی طبیعی باشد. در این صورت

الف : اگر nزوج باشد، آنگاه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {x^n} = + \infty \)‏

ب : اگر nفرد باشد، آنگاه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^n} = + \infty \)و \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^n} = - \infty \)‏

مثلاً :

‏\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3} = - \infty \)  و    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^4} = + \infty \)   و \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^5} = + \infty \)

توجه داشته باشید این نحوه ی نوشتن از نظر ریاضی ایراد دارد ولی برای تعیین علامت حاصل لازم است.

قضیه ۲ : اگر Lعددی حقیقی (ناصفر) و \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = L\)و \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = + \infty \)آنگاه :

 الف : اگر Lمثبت باشد.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) \times g(x)) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) \times \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = + \infty \)

ب : اگر منفی باشد.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) \times g(x)) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) \times \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = - \infty \)

تذکر : این قضیه برای \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g(x) = - \infty \)به طور مشابه برقرار است

قضیه ۳ : اگر Lبا عددی حقیقی (ناصفر) و \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g(x) = L\)و \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g(x) = + \infty \)آنگاه

الف : اگر L مثبت باشد.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) \times g(x)) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) \times \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g(x) = + \infty \)

ب : اگرL  منفی باشد.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) \times g(x)) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) \times \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g(x) = - \infty \)

تذکر : این قضیه برای \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g(x) = - \infty \)به طور مشابه برقرار است.

و به طور کلی قضیه ی فوق را میتوان به شکل جدول زیر تعمیم داد.

اکنون با توجه به این قضیه مثال زیر را می توان عنوان کرد.

به کمک قضایای قبل میتوان حد توابع چند جمله ای در بی نهایت را نیز محاسبه کرد. به مثال زیر توجه کنید.

‏\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (3{x^4} + 2{x^2} - 5x + 7) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^4}(3 + \frac{2}{{{x^2}}} - \frac{5}{{{x^3}}} + \frac{5}{{{x^4}}})\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^4} \times \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (3 + \frac{2}{{{x^2}}} - \frac{5}{{{x^3}}} + \frac{7}{{{x^4}}}) = ( + \infty ) \times (3 + 0 + 0 + 0) = + \infty \end{array}\)

 با این روش می توان حد هر تابع چند جمله ای را به دست آورد به قضیه ی زیر توجه کنید.

قضیه ۴ : حد هر چند جمله ای به صورت

\(f(x) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + {a_{n - 2}}{x^{n - 2}} + ...{a_n}x + {a_0}\)

در برابر حد جمله ای از آن است که دارای بزرگترین درجه است. یعنی :

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } ({a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + {a_{n - 2}}{x^{n - 2}} + ...{a_n}x + {a_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {a_n}{x^n}\)

به استدلال زیر توجه کنید.

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } ({a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + {a_{n - 2}}{x^{n - 2}} + ...{a_n}x + {a_0})\\\\\mathop { = \lim }\limits_{x \to \pm \infty } {x^n}({a_n} + \frac{{{a_{n - 1}}}}{x} + \frac{{{a_{n - 2}}}}{x} + ...\frac{{{a_1}}}{{{x^{n - 1}}}} + \frac{{{a_0}}}{{{x^n}}})\\\\\mathop { = \lim }\limits_{x \to \pm \infty } {x^n} \times \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } ({a_n} + \frac{{{a_{n - 1}}}}{x} + \frac{{{a_{n - 2}}}}{x} + ...\frac{{{a_1}}}{{{x^{n - 1}}}} + \frac{{{a_0}}}{{{x^n}}})\\\\\mathop { = \lim }\limits_{x \to \pm \infty } {x^n} \times ({a_n} + 0 + 0 + ...0 + 0) = \mathop { = \lim }\limits_{x \to \pm \infty } {a_n}{x^n}\end{array}\)

لذا در حد توابع چند جمله ای با توجه به روش فاکتورگیری نتیجه میشود که حد تابع چند جمله ای ، با حد جمله ای از آن که دارای بیشترین توان باشد برابر است. از این به بعد در یک چند جمله ای ، جمله ای که دارای بیشترین توان باشد را جمله ی ارشد نام گذاری می کنیم.

به طور مشابه برای محاسبه ی حد توابع کسری مانند توابع چند جمله ای ابتدا جملات ارشد را از صورت ومخرج انتخاب نموده و پس از ساده کردن حد را محاسبه میکنیم به استدلال زیر توجه کنید.

در محاسبه ی حد توابع کسری نظیر \(f(x) = \frac{{p(x)}}{{q(x)}}\)وقتی که \(x \to \pm \infty \) به شکل زیر عمل می کنیم. ‏

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{p(x)}}{{q(x)}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } p(x)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } q(x)}} = \frac{{a\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {x^n}}}{{b\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {x^n}}} = \frac{a}{b}\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {x^{n - m}}\)

که در آن \(b{x^n}\)جمله ی ارشد صورت و \(a{x^n}\)جمله ی ارشد مخرج فرض شده است.

برای محاسبه ی حد تابع رادیکالی با فرجه ی ۳ (اسم) با توجه به روش فاکتورگیری هم ارزی های زیر حاصل می شود. این هم ارزیها را هم ارزیهای نیوتن مینامند. توجه داشته باشید که دو تابع را هم ارز گویند هرگاه حد برابر داشته باشند.

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {a{x^2} + bx + c} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt a (x + \frac{b}{{2a}})\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to + - \infty } \sqrt {a{x^2} + bx + c} = - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \sqrt a (x + \frac{b}{{2a}})\end{array}\)

در این دو هم ارزی عدد aمثبت فرض شده است و اگر منفی باشد تابع دارای حد نیست.

خط 1 = y را مجانب نمودار (y = f(x می نامیم هرگاه حداقل یکی از دو شرط زیر برقرار باشد.

                                             \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = L\) (الف

 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = L\) (ب

به عنوان مثال، در هر یک از شکل های زیر خط ۱ = مجانب افقی نمودارها است. چرا؟

اگر  y=f(x)یک تابع پیوسته در نقطه ی x = a باشد. در این صورت مشتق تابع  y=f(x)در نقطه ی a=xرا به صورت زیر تعریف میکنند و آنرا با \(f'(a)\) یا \({\left. {\frac{{df}}{{dx}}} \right|_{x = a}}\) نمایش می دهند

\(f'(a) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}}\)

مشتق تابع (y = f(x در نقطه ی x = a با شیب خط مماس بر نمودار تابع در این نقطه برابر است.

معادله ی خط مماس بر نمودار تابع (y = f(x در نقطه ی x = a از رابطه ی زیر به دست می آید.

مسئله ی یافتن خط مماس در نقطه ی A به مسئله ی یافتن شیب خط مماس در این نقطه منجر می شود.برای یافتن خط مماس بر منحنی تابع y=f(x) در نقطه ی A باید نقطه ای مانند B را روی منحنی در نزدیکی A در نظر بگیریم و با رسم خط قاطع AB، نقطه ی B را به نقطه ی A نزدیک کنیم و ببینیم که آیا این خط  هابه خط خاصی نزدیک میشوند یانه؟ واضح است که این خط همان خط مماس بر منحنی در نقطه ی Aاست. این عمل دقیقاً یک عمل حدگیری است .

\(B = \left[ \begin{array}{l}a + h\\f(a + h)\end{array} \right] \to {m_{ab}} = \frac{{f(a + h) - f(a)}}{h}\) و \(A = \left[ \begin{array}{l}a\\f(a)\end{array} \right]\)

\(m = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(a + h) - f(a)}}{h}\)شیب خط مماس در صورت وجود

اگر تابع fبر بازه ی بازی شامل aتعریف شده باشد و حد زیر موجود باشد آنگاه خطی که از نقطه \(A = \left[ \begin{array}{l}a\\f(a)\end{array} \right]\)گذشته و به شیب می باشد. خط مماس بر نمودار fدر نقطه ی A نامیده می شود.

\(m = \mathop {\lim }\limits_{h \to a} \frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}}\)

اگر تابع fدر نقطه ی a و یک همسایگی راست a تعریف شده باشد، حد یک طرفه ی \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a + } \frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}}\)را در صورت وجود مشتق راست تابع fو در نقطه ی a می نامند و آن را با \({f'_ + }(a)\) نماد (1) نمایش می دهند.

\({f'_ + }(a) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a + } \frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}}\)

اگر تابع در نقطه ی f و یک همسایگی چپ aتعریف شده باشد، حد یک طرفه ی \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} \frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}}\)را در صورت وجود مشتق چپ تابع f در نقطه ی a می نامند و آن را با نماد  \({f'_ - }(a)\)نمایش می دهند.

\({f'_ - }(a) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} \frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}}\)

تابع (y = f(x در نقطه ی x=aمشتق پذیر گویند، هرگاه

‏الف) در این نقطه پیوسته باشد \((\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = f(a))\)‏

ب( مشتق راست و مشتق چپ آن در این نقطه موجود و برابر باشند. \(({f'_ + }(a) = ({f'_ - }(a))\)

در غیر این صورت تابع در نقطه ی x=aمشتق پذیر نیست.

۱ : عکس قضیه ی فوق الزاماً برقرار نیست یعنی ممکن است یک تابع در یک نقطه پیوسته باشد ولی در آن نقطه مشتق پذیر نیست مانند تابع \(f(x) = \left| x \right|\) که در نقطه ی x=0پیوسته است ولی در این نقطه مشتق پذیر نیست.

۲ : اگر تابعی در یک نقطه پیوسته نباشد در آن نقطه مشتق پذیر نیست.

استفاده از تعریف مشتق برای محاسبه ی مشتق توابع در اکثر مواقع وقت گیر و مشکل است، لذا جهت رفع این مشکل قضایای مشتق که همگی به کمک تعریف قابل اثبات هستند به صورت زیر مطرح می شوند.

قضیه : اگر f(x)=kیک تابع ثابت باشد. ثابت کنید که‏ \(f'(a) = 0\)

اثبات :

\(f'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{k - k}}{{x - a}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{0}{{x - a}} = 0\)

قضیه : اگرf(x)=x یک تابع همانی باشد ثابت کنید که \(f'(a) = 1\)‏

اثبات :

\(f'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{x - a}}{{x - a}} = 1\)

قضیه : اگر توابع g و fدر نقطه ی a مشتق پذیر باشند. در این صورت

(۱) تابع kfنیز در aمشتق پذیر است و \((kf')(a) = kf'(a)\)

‏(2تابع f+g مشتق پذیر است و \((f + g)'(a) = f'(a) + g'(a)\)

(3تابع f-g نیز در  مشتق پذیر است و \((f - g)'(a) = f'(a) - g'(a)\)

‏( 4تابعfg نیز درa مشتق پذیر است و \((fg)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a)\)

(5تابع \(\frac{1}{f}\) نیز )به شرط (\(f(a) \ne 0\) درa مشتقپذیر است و \((\frac{1}{f})'(a) = - \frac{{f'(a)}}{{{f^2}(a)}}\)

‏تابع \(\frac{f}{g}\)  نیز به شرط \((g(a) \ne 0)\) در مشتق پذیر است و \((\frac{f}{g})'(a) = - \frac{{f'(a)g(a) - g'(a)f(a)}}{{{g^2}(a)}}\)

اثبات

\(\begin{array}{l}(1)\\(kf)'(a) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{kf(x) - kf(a)}}{{x - a}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{k(f(x) - f(a))}}{{x - a}}\\\\\mathop {k\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}} = (kf)'(a)\\\\(2)\\(f + g)'(a) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{(f + g)(x) - (f + g)(a)}}{{x - a}}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) + g(x) - f(a) - g(a)}}{{x - a}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} (\frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}} + \frac{{g(x) - g(a)}}{{x - a}})\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{g(x) - g(a)}}{{x - a}} = f'(a) + g'(a)\\\\(3)\\(f - g)'(a) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{(f - g)(x) - (f - g)(a)}}{{x - a}}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) - g(x) - f(a) + g(a)}}{{x - a}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} (\frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}} - \frac{{g(x) - g(a)}}{{x - a}})\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}} - \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{g(x) - g(a)}}{{x - a}} = f'(a) - g'(a)\\\end{array}\)

\(\begin{array}{l}(4)\\(f.g)'(a) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{(f.g)(x) - (f.g)(a)}}{{x - a}}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x).g(x) - f(a).g(a)}}{{x - a}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} (\frac{{f(x).g(a) - f(a).g(x) + f(a)g(a) - f(a).g(a)}}{{x - a}}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}} - \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}}.g(x) + f(a).\frac{{g(x) - g(a)}}{{x - a}}\\\\ = f'(a).g\left( a \right) + f(a).g'\left( a \right)\\\\\left( 5 \right)\\(\frac{1}{f})'(a) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{(\frac{1}{f})(x) - (\frac{1}{f})(a)}}{{x - a}}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\frac{1}{{f(x)}} - \frac{1}{{f(a)}}}}{{x - a}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\frac{{f(a) - f(x)}}{{f(x)f(a)}}}}{{x - a}}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{1}{{f(x)f(a)}} \times \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(a) - f(x)}}{{x - a}} = - \frac{1}{{{f^2}(a)}} \times f'(a) = - \frac{{{f^2}(a)}}{{{f^2}(a)}}\\\\\left( 6 \right)\\(\frac{f}{g})'(a) = (f \times \frac{1}{g})'\left( a \right)\\\\ = (f)'(a) \times (\frac{1}{g})\left( a \right) + f(a) \times (\frac{1}{g})'\left( a \right) = f'(a) \times \frac{1}{{g(a)}} + f(a) \times \frac{{ - g'(a)}}{{{g^2}(a)}}\\\\ = \frac{{f'(a)}}{{g(a)}} - \frac{{ - g'(a)f(a)}}{{{g^2}(a)}} = \frac{{f'(a) - g'(a)f(a)}}{{{g^2}(a)}}\end{array}\)

قضیه : فرض کنید تابع gدر نقطه ی a و تابع در g(a) مشتق پذیر باشند، در این صورت

تابع ‏fog در aمشتق پذیر است و \((fog)'(a) = g'(a)f'(g(a))\)

اثبات : قرار میدهیم u=g(x)و (b = g(a آنگاه

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} u = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = g(a) = b\)

از طرفی\(x \to a\) نتیجه می دهد \(u \to b\) . بنابراین

\(\begin{array}{l}(fog)'(a) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{(fog)(x) - (fog)(a)}}{{x - a}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{(f(g)x)) - (f(g(a))}}{{x - a}} = \\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(u) - f(b)}}{{x - a}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to b} \frac{{f(u) - f(b)}}{{x - b}} \times \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{u - b}}{{x - a}}\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to b} \frac{{f(u) - f(b)}}{{u - b}} \times \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{g(x) - g(a)}}{{x - a}} = f'(b)g'(a) = f'(g(a)g'(a)\end{array}\)

اگر xعضو از دامنه ی تابع (y = f(x باشد و تابعf درx مشتق پذیر باشد. در این صورت متناظر آن تابع دیگری تحت عنوان تابع مشتق ( مشتق اول ) به صورت زیر تعریف می شود.

\(f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h}\)

‏ تابع مشتق را به اختصار مشتق تابع مینامیم و آن را به صورت \(f'(x)\) یا \(y'\) یا \(\frac{{df}}{{dx}}\) کل نمایش می دهیم.

دامنه ی تابع مشتق زیر مجموعه ای از دامنه ی تابع fاست که در آن تابع مشتق پذیر باشد. یعنی

\({D'_f} = {D_f} - \left\{ f \right\}\)

fنقاط مشتق ناپذیر تابع

اگر uو vو w توابعی مشتق پذیر برحسبx باشند در این صورت میتوان قضایای زیر را برای مشتق بیان و اثبات کرد.

قضیه ی ۱ : ضریب تابع در مشتق گیری شرکت نمی کند. یعنی مشتق تابع y = an می شود \(y' = au'\) 

اثبات :

\(\begin{array}{l}y' = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{au(x + h) - au(x)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(u(x + h) - u(x))}}{h}\\\\a\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{u(x + h) - u(x)}}{h} = au'\end{array}\)

قضیه ی ۲ مشتق مجموع یا تفاضل دو یا چند تابع

‏\(y = u + v + w + ... \to y' = u' + v' + w' + ...\)

اثبات : اثبات برای مجموع دو تابع یعنی (f(x) =u (x) + v(x‏

\(\begin{array}{l}f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{(u + v)\left( {x + h} \right) - \left( {u + v} \right)\left( x \right)}}{h}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{}}{h}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{u(x + h) + v\left( {x + h} \right) - u\left( x \right) - v(x)}}{h}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{u(x + h) - u\left( x \right)}}{h} + \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{v\left( {x + h} \right) - v(x)}}{h}\\\\u'(x) + v'(x)\end{array}\)

قضیه ی ۳ : مشتق حاصل ضرب دو یا چند تابع

\(\begin{array}{l}y = u.v \to y' = u'.v + v'.u\\\\y = u.v.w \to y' = u'.vw + v'.u.w + w'.u.v\end{array}\)

اثبات :

\(\begin{array}{l}f(x) = u(x).v(x)\\\\f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{(u.v)\left( {x + h} \right) - \left( {u.v} \right)\left( x \right)}}{h}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{u(x + h).v\left( {x + h} \right) - u\left( x \right).v(x)}}{h}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{u(x + h).v\left( {x + h} \right) - u(x).v(x) + v(x).u(x + h) - v(x).u(x + h)}}{h}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{u(x).v\left( {x + h} \right) - u(x).v(x) + u(x + h).v(x + h) - v(x).u(x + h)}}{h}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\left[ {u(x) - u(x)} \right]v(x) + \left[ {v(x + h) - v(x)} \right]u(x + h)}}{h}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{u(x + h) - u(x)}}{h}.v(x) + \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{v(x + h) - v(x)}}{h}.u(x + h)\\\\u'(x).v(x) + v'(x).u(x)\end{array}\)

توجه: اگرu تابعی بر حسبx باشد در این صورت مشتق تابع \(y = a{u^n}\) را میتوان به شکل زیر نوشت

\(y' = a.n.u'.{u^{n - 1}}\)

اثبات :

\(\begin{array}{l}y = a.{u^n} \to y = \underbrace {a \times u \times u \times ... \times u}_n\\\\y' = \underbrace {\underbrace {(a \times u' \times u \times ... \times u)}_{n - 1} + (a \times u \times u' \times u \times ... \times u) + (a \times \times u \times ... \times u')}_n\\\\ = a.u.u'.{u^{n - 1}}\end{array}\)

قضیه ی ۴ : مشتق تابع کسری

\(y = \frac{1}{v} \to y' = - \frac{{v'}}{{{v^2}}}\)

اثبات :

\(\begin{array}{l}f(x) = \frac{1}{{v(x)}}\\\\f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{y = \frac{1}{{v(x + h)}} - \frac{1}{{v(x)}}}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{y = \frac{{v(x) - v(x + h)}}{{v(x + h)v(x)}}}}{h}\\\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{ - \frac{{v(x) - v(x + h)}}{h}}}{{v(x + h)v(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{v(x) - v(x + h)}}{h} \times \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{ - 1}}{{v(x + h)v(x)}}\\\\ = - v'(x) \times \frac{1}{{{v^2}(x)}} = - \frac{{v'(x)}}{{{v^2}(x)}}\end{array}\)

قضیه ی ۵ : مشتق خارج قسمت دو تابع

\(y = \frac{u}{v} \to y' = - \frac{{u.v' - v'.u}}{{{v^2}}}\)

اثبات :

\(\begin{array}{l}f(x) = \frac{{u(x)}}{{v(x)}}\\\\f(x) = \frac{{u(x)}}{{v(x)}} = u(x) \times \frac{1}{{v(x)}} \to f'(x) = u'(x) \times \frac{1}{{v(x)}} + u(x) \times \frac{{ - v'(x)}}{{{v^2}(x)}}\\\\ = \frac{{u'(x)v(x) - v'(x)u(x)}}{{{v^2}(x)}}\end{array}\)

اکنون میتوان مشتق توابع تانژانت و کتانژانت را از طریق تبدیل آنها به تابع کسری نیز به سادگی اثبات کرد.

\(\begin{array}{l}y = {\mathop{\rm tanx}\nolimits} \to y = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\\\\y' = \frac{{(\cos x)(\cos x) - \left( {\sin x} \right)\left( {\sin x} \right)}}{{{{(\cos x)}^2}}} = \frac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x\\\\y = \cot x \to y = \frac{{\cos x}}{{\sin x}}\\\\y' = \frac{{\left( { - \sin x} \right)\left( {\sin x} \right) - (\cos x)(\cos x)}}{{{{(\cos x)}^2}}} = \frac{{ - {{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}\\\\ = - \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = - (1 + {\cot ^2}x)\end{array}\)

قضیه ی ۶ مشتق تابع رادیکالی با فرجه ی ۲

\(y = \sqrt x \to y' = - \frac{{u'}}{{2\sqrt v }}\)

اثبات :

\(\begin{array}{l}f(x) = \sqrt {u(x)} \\\\f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sqrt {u(x + h)} - \sqrt {u(x)} }}{h}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} (\frac{{\sqrt {u(x + h)} - \sqrt {u(x)} }}{h} \times \frac{{\sqrt {u(x + h)} + \sqrt {u(x)} }}{{\sqrt {u(x + h)} + \sqrt {u(x)} }})\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} (\frac{{u(x + h) - u(x)}}{h} \times \frac{1}{{u(x + h) - u(x)}})\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} (\frac{{u(x + h) - u(x)}}{h} \times \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{{\sqrt {u(x + h) + \sqrt {u(x)} } }}) = u'(x) \times \frac{1}{{2\sqrt {u(x} )}}\end{array}\)

قضیه ی ۷ مشتق تابع رادیکالی با فرجه ی بالاتر از ۲

\(y{ = ^m}\sqrt {{u^n}} ,m > n \to y' = \frac{{nu'}}{{{m^m}\sqrt {{u^{m - n}}} }}\)

قضیه ی ۸ مشتق تابع تابع ( تابع مرکب )

\(y = f(u) \to y' = u'f(u)\)

اثبات : قرار می دهیم u=g(x)‏

\(\begin{array}{l}(fog)'\\x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{(fog)(x + h) - (fog)(x + h)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{(f(g(x + h)) - (f(g(x))}}{h}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} (\frac{{(f(g(x + h)) - (f(g(x))}}{h} \times \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{g(x + h) - g(x)}}{h} = f'(g(x)) \times g'(x)\\\\ = f'(u) \times u'\end{array}\)

نتیجه ی ۱ : اگرu تابعی مشتق پذیر بر حسبx باشد. در این صورت

\(y = a.{u^n} \to y' = a.n.u'.{u^{n - 1}}\)

اثبات قرار می دهیم \(f(x) = a.{x^n}\)و \(g(x) = u\) در این صورت \(f'(x) = a.n.{x^{n - 1}}\)از طرفی :

نتیجه ی ۲ قاعده ی زنجیری : اگر yتابعی ازu و uتابعی از X باشد آنگاه مشتق yنسبت به X‏برابر است با حاصل ضرب مشتق yنسبت بهu در مشتق uنسبت به X یعنی

\(y = f(u) \to y' = u'f'(u)\)

یا به نمادی دیگر

\(\frac{{\partial y}}{{\partial x}} = \frac{{\partial y}}{{\partial x}} \times \frac{{\partial x}}{{\partial x}}\)

قضیه ی ۹ : مشتق توابع مثلثاتی

\(\begin{array}{l}y = \sin u \to y' = u'.cosu\\\\y = \cos u \to y' = - u'.\sin u\\\\y = \tan u \to y' = u'.(1 + {\tan ^2}u)\\\\y = \cot u \to y' = u'.(1 + {\cot ^2}u)\end{array}\)

در این قسمت فقط به اثبات یک مورد اکتفا می شود.

\(\begin{array}{l}f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin u(x + h) - sinu(x)}}{h}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\frac{{2\sin (x + h) - u(x + h) - u(x)}}{2}\cos \frac{{u(x + h) - u(x)}}{2}}}{h}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} (\frac{{\frac{{u(x + h) - u(x)}}{2}}}{{\frac{{u(x + h) - u(x)}}{2}}} \times \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{u(x + h) - u(x)}}{h} \times \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \cos \frac{{u(x + h) - u(x)}}{h}\\\\ = 1 \times u'(x) \times \cos \frac{{u(x + 0) - u(x)}}{2} = u'(x) \times \cos (x)\end{array}\)

استفاده از تعریف تابع مشتق برای تعیین مشتق یک تابع، قدری طولانی و گاهی مشکل است. لذا در ادامه برخی از فرمولهای مشتق گیری از توابع را برای سهولت کار مشتق گیری مجدداً بیان می کنیم.

(الف) فرمول های مقدماتی مشتق

مشتق تابع ثابت

\(f(x) = c \to f'(x) = 0\)

یعنی مشتق هر تابع ثابت عدد ثابت برابر صفر است.

مشتق تابع یک جمله ای درجه ی اول

\(2)f(x) = ax \to f'(x) = a\)

یعنی مشتق هر تابع یک جمله ای درجه ی اول برابر ضریب x است.

مشتق تابع یک جمله ای

\(3)f(x) = a{x^n} \to f'(x) = a{x^{n - 1}}\)

مشتق تابع کسری

\(f(x) = \frac{1}{x} \to f'(x) = - \frac{1}{{{x^2}}}\)

مشتق تابع رادیکالی

\(\begin{array}{l}5)f(x) = \sqrt x \to f'(x) = - \frac{1}{{2\sqrt x }}\\\\6)f(x){ = ^m}\sqrt {{x^n}} \to f'(x) = - \frac{n}{{{m^m}\sqrt {{x^{m - n}}} }}\end{array}\)

مشتق توابع مثلثاتی

\(\begin{array}{l}7)f(x) = \sin u \to f'(x) = cosu\\\\8)f(x) = {\mathop{\rm cosx}\nolimits} \to f'(x) = - {\mathop{\rm sinx}\nolimits} \\\\9)f(x) = {\mathop{\rm tanx}\nolimits} \to f'(x) = 1 + {\tan ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\\\10)f(x) = {\mathop{\rm cotx}\nolimits} \to f'(x) = - (1 + {\cot ^2}x) = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\end{array}\)

ب (فرمولهای تکمیلی مشتق روش های مشتقگیری

اگر u و vو w توابعی مشتق پذیر بر حسب xباشند در این صورت میتوان فرمول های زیر را برای مشتق بیان کرد.

مشتق حاصل ضرب یک عدد در یک تابع

\(1)y = au \to y' = a'u'\)

یعنی مشتق حاصل ضرب یک عدد در یک تابع با حاصل ضرب آن عدد در مشتق تابع برابر است.

مشتق مجموع دو یا چند تابع

\(\begin{array}{l}2)y = u + v \to y' = u' + v'\\\\3)y = u + v + w + ... \to y' = u' + v' + w' + ...\end{array}\)

مشتق مجموع دو یا چند تابع با مجموع مشتقهای هر یک از آنها برابر است.

مشتق حاصل ضرب دو یا چند تابع

\(\begin{array}{l}4)y = u.v \to y' = u'.v' + v'.u'\\\\5)y = u.v.w \to y' = u'.v'.w'\end{array}\)

مشتق تابع توان دار

‏\(6)y = a.{u^n} \to y' = a.n.u'.{u^{n - 1}}\)

مشتق خارج قسمت دو تابع

‏\(7)y = \frac{u}{v} \to y' = \frac{{u'.v - v'.u}}{{{v^2}}}\)

مشتق توابع رادیکالی

\(9)y = \sqrt u \to y' = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\)

مشتق توابع مثلثاتی

\(\begin{array}{l}15)y = \sin u \to y' = u'.\cos u\\\\16)y = \cos u \to y' = - u'.\cos u\\\\17)u = \tan u \to y' = u'(1 + {\tan ^2}u) = \frac{{u'}}{{{{\cos }^2}u}}\\\\18)u = \cot u \to y' = - u'(1 + {\cot ^2}u) = \frac{{ - u'}}{{{{\sin }^2}u}}\end{array}\)

با توجه به آنچه که در مورد مشتق توابع تواندار گفته شد میتوان مشتق توابع مثلثاتی تواندار را به شکل زیربدست آورد.

کم کردن یک واحد از توان مشتق نسبت مثلثاتی مشتق زاویه) (توان) (ضریب تابع) =

برای بررسی مشتق پذیری تابع در یک بازه میتوان از تعاریف زیر استفاده نمود.

تابعf را روی بازه ی \(\left( {a,b} \right)\)مشتق پذیر گویند هرگاه در هر نقطه از این بازه مشتق پذیر باشد.

تابعf را روی بازه ی \(\left[ {a,b} \right]\) مشتق پذیر گویند هرگاه در بازه ی\(\left( {a,b} \right)\)  مشتق پذیر بوده و در نقطه ی آن aمشتق راست و در نقطه یb مشتق چپ داشته باشد.

تابع fرا روی بازه ی \(\left[ {\left. {a,b} \right)} \right.\) مشتق پذیر گویند هرگاه در بازه ی \(\left( {a,b} \right)\) مشتق پذیر بوده و در نقطه ی آن a مشتق راست داشته باشد.

تابعf را روی بازه ی \(\left( {a,b} \right]\) مشتق پذیر گویند هرگاه در بازه ی \(\left( {a,b} \right)\) مشتق پذیر بوده و در نقطه ی b‏ مشتق چپ داشته باشد.

تابع مشتق هر تابعی را مشتق مرتبه ی اول می نامند. حال اگر از مشتق تابعی مشتق دیگری گرفته شود. مشتق مرتبه ی دوم بدست می آید و اگر از مشتق مرتبه ی دوم مشتق دیگری بگیریم، مشتق مرتبه ی سوم حاصل میشود به همین ترتیب میتوان مشتق مراتب بالاتر را تعیین کرد به جدول زیر توجه کنید.