نمونه سوالات فصل 1 هندسه یازدهم همراه با جواب تشریحی

زاویه محاطی : زاویه ای است که راس آن روی دایره و اضلاع آن شامل دو وتر از دایره باشند.

قطاع : ناحیه ای از درون و روی دایره را ، که به دو شعاع دایره و آن محدود است یک قطاع دایره نامیده می شود 

ابتدا یک پاره خط از AبهB رسم می کنیم ، بنا به قضیه خطوط موازی زاویه های D=A

زاویه های DوA محاطی هستند در نتیجه : \(A = \frac{{CD}}{2}\) و \(D = \frac{{AB}}{2}\)

\(\frac{{CD}}{2} = \frac{{AB}}{2} \to CD = AB\;\)

\(\hat M = \frac{{y - x}}{2} \Rightarrow 2 \times {31^ \circ } = y - x\)

\(\hat N = \frac{{y + x}}{2} \Rightarrow 2 \times {91^ \circ } = y + x\)

\(\left\{ \begin{array}{l}y - x = {62^ \circ }\\y + x = {182^ \circ }\end{array} \right. \Rightarrow 2y = {244^ \circ } \Rightarrow y = {122^ \circ } \Rightarrow x = {60^ \circ }\)

فرض : ذوزنقه متساوی الساقین است         حکم : ذوزنقه محاطی است

ABCDمحاطی است\(\left\{ \begin{array}{l}\hat A + \hat D = 180\hat A + \hat C = 180\\\hat A + \hat D = 180\hat B + \hat D = 180\end{array} \right.\left. {} \right\} \Rightarrow \)

فرض: ذوزنقه محاطی است                 حکم ذوزنقه متساوی الساقین است

\(ABCDAD\left. \begin{array}{l}A + D = 180\\A + C = 180\end{array} \right\} \Rightarrow A + D = A + C \Rightarrow D = C \to A = B\)

\(OB \cdot OM = ON \cdot ON' \Rightarrow R(R - 16) = (R - 10)(R - 10)\)

\( \Rightarrow {R^2} - 16R = {R^2} - 20R + 100 \Rightarrow 4R = 100 \Rightarrow R = 25\)

\(R' = \frac{{MB}}{2} \Rightarrow R' = \frac{{2R - 16}}{2} \Rightarrow R' = \frac{{50 - 16}}{2} = 17\)

بنا به قضیه خطوط موازی CMD=EBF

\(CMD = EBF = \frac{{EB}}{2} = \frac{{BC - CE}}{2}CMD = EBF = \frac{{BC - AB}}{2}\) 

مثلث OAB متساوی الساقین است و O=60 پس این مثلث متساوی الضلاع است.

مساحت مثلث OAB- مساحت قطاع 60 درجه - قسمت رنگی

\( \Rightarrow A = \frac{{16\pi }}{{360}} \times 60 - 4\sqrt 3 = \frac{8}{3}\pi - 4\sqrt 3 \)\(A = \frac{{\pi {R^2}}}{{360}}\alpha - \frac{{\sqrt 3 }}{4} \times {r^2}\)