نمونه سوالات فصل 3 ریاضی هشتم همراه با جواب تشریحی

1) شکل یک 9 ضلعی است.

2) شکل یک چند ضلعی نیست، زیرا اضلاع آن یکدیگر را قطع کرده اند.

3) یک بیضی، چند ضلعی نیست زیرا از خطوط شکسته تشکیل نشده است.

4) شکل یک 4 ضلعی است.

5) شکل یک 3 ضلعی است.

6) شکل چند ضلعی نیست، زیرا اضلاع آن یکدیگر را قطع می کنند.

1) لوزی لزوماً یک چند ضلعی منتظم نیست زیرا زوایای آن با هم برابر نیستند. توجه کنید که تنها چهارضلعی منتظم مربع است.

2) شش ضلعی با اضلاع مساوی، لزوما منتظم نیست. زیرا زوایای آنها با هم مساوی نیستند.

3) یک لوزی با یک زاویۀ قائمه، یک مربع است، پس منتظم می باشد. دقت کنید که اضلاع لوزی با هم برابر است و حالا که یک ضلع آن قائمه است، پس زوایای دیگر آن نیز قائمه هستند. توجه کنید که زوایای مجاور یک لوزی مانند متوازی الاضلاع مکمل هستند.

1) هر پاره خط دو محور تقارن دارد. یکی روی آن و یکی هم عمود برآن و گذرنده از وسط آن. به شکل نگاه کنید چون محور های تقارن آن بر هم عمودند، پس محل تقاطع آن ها مرکز تقارن می باشد:

2) بیضی تنها دو محور تقارن دارد که بر هم عمودند و محل تقارن آن ها مرکز تقارن نیز می باشد:

3) با توجه به تساوی اضلاع این 6 ضلعی، این شکل سه محور تقارن دارد، اما مرکز تقارن ندارد. در واقع با دوران 180 درجه ، این شکل روی خودش قرار نمی گیرد ( بر خودش منطبق نمی شود)

1) در شکل \(a\parallel b\) و d مورب است. پس زوایای باز (منفرجه) با هم برابرند. در نتیجه \(\hat x = 30^\circ \)

2) شکل یک متوازی الاضلاع است و می دانیم در هر متوازی الاضلاع، زاویه های رو به رو با هم برابرند و زوایای مجاور مکمل هستند:

\(\widehat d = 60,\widehat e + 60^\circ = 180^\circ \Rightarrow \widehat e = 120^\circ \)

3) خطی موازی a و 'a از راس زاویۀ مجهول g می گذرانیم:

از رابطۀ مجموع زوایا استفاده می کنیم(n=7):

\((n - 2) \times 180^\circ = (7 - 2) \times 180^\circ = 900^\circ \)

از رابطۀ مجموع زوایا استفاده می کنیم (n=13):

\((n - 1) \times 180^\circ = (13 - 2) \times 180^\circ = 11 \times 180^\circ = 1980^\circ \)

از رابطه زیر هر n ضلعی منتظم استفاده می کنیم:

\(\frac{{(n - 2) \times 180^\circ }}{n} = \frac{{(7 - 2) \times 180^\circ }}{7} = \frac{{5 \times 180^\circ }}{7} = \frac{{900^\circ }}{7}\)

\( = (n - 2) \times 180^\circ = 900^\circ \Rightarrow n - 2 = \frac{{900^\circ }}{{180^\circ }} = 5 \Rightarrow n = 7\)مجموع زوایای یک n ضلعی

1) خطی موازی خطوط شکل رسم می کنیم:

2) با توجه به شکل و زاویه های متقابل به راس داریم:\({\hat A_1} = 30^\circ \)

و درباره زاویه C می توان گفت که C1 و 130 درجه مکمل یکدیگر هستند: \({\hat C_1} = 50^\circ \)

در مثلث ABC مجموع زوایا 180 درجه است و داریم:

\(\begin{array}{l}{{\hat A}_1} + \hat B + {{\hat C}_1} = 180^\circ \Rightarrow 30^\circ + 2K + 50^\circ = 180^\circ \\\\2K = 100^\circ \Rightarrow K = 50^\circ \end{array}\)

حالا در مثلث ABM، زاویه m یک زاویه خارجی است:

\(\hat K + {\hat A_1} = m \Rightarrow = 50^\circ + 30^\circ = 80^\circ \)

\( = \frac{{(n - 2)180^\circ }}{n} = 140^\circ \)اندازه هر زاویه داخل یک n ضلعی منتظم

\(180n - 360 = 140n \Rightarrow 40n = 360 \Rightarrow n = \frac{{360}}{{40}} = 9\)

\( = \frac{{(n - 2)180^\circ }}{n} = 140^\circ \)اندازه هر زاویه داخل یک n ضلعی منتظم

\(180n - 360 = 120n \Rightarrow 60n = 360^\circ \Rightarrow n = \frac{{360^\circ }}{{60^\circ }} = 6\)

یک 6 ضلعی منتظم، 6 محور تقارن دارد.

از رابطه زاویه خارجی هر n ضلعی منتظم یعنی \(\frac{{360^\circ }}{n}\) استفاده می کنیم که در این سوال n=5 است:

\(\frac{{360^\circ }}{n} = \frac{{360^\circ }}{5} = 72^\circ \)

مجموع زوایای خارجی هر چند ضلعی 360 درجه است و فرقی نمی کند که تعداد اضلاع آن n ضلعی چند تا باشد.

1) در مثلث ABC زاویه 90 درجه زاویه خارجی است:

\(\hat B + 30^\circ = 90^\circ = \hat B = 60^\circ \)

و در مثلث ADE، مجموع زوایای داخلی 180 درجه است:

\(\begin{array}{l}\hat b + 70^\circ + \hat B = 180^\circ \Rightarrow \hat B = 60^\circ \\\\\hat b = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \end{array}\)

2) مجموع زوایای خارجی هر مثلث 360 درجه می باشد، پس با توجه به این که هر سه زاویه شکل زوایای خارجی آن شکل هستند:

\(\begin{array}{l}120^\circ + 120^\circ + f = 360^\circ \Rightarrow 240^\circ + f = 360^\circ \\\\f = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ \end{array}\)

تعداد محور های تقارن یک n ضلعی منتظم با تعداد اضلاع یا راس های آن (n) برابر است که یعنی چون 72 محور تقارن دارد، پس 72 ضلعی منتظم است، پس 72 راس دارد.

برای آن که O مرکز تقارن باشد، باید از هر نقطه از شکل که به O وصل می کنیم و امتداد می دهیم، به نقطه ای از خود شکل برسیم. پس از هر راس مانند  A،B  و C به O وصل می کنیم و پاره خطAO ، B'O=OB و C'O=OC . شکل حاصل ABCOA'B'C به گونه ای است که O مرکز تقارن آن باشد:

الف) دایره بی شمار محور تقارن دارد که قطر های آن هستند و مرکز تقارن آن ها مرکز دایره است.

ب) در این شکل یک محور تقارن افقی وجود دارد، اما مرکز تقارن اصلا وجود ندارد.

\(\frac{{360^\circ }}{n} = 20^\circ \) و در نتیجه 18=n می باشد که یعنی چند ضلعی 18 راس دارد. اما دقت کنید که 20 درجه می تواند مضرب 5 درجه، 4 درجه و ... نیز باشد؛ یعنی شکل می تواند با قرار دادن \(\frac{{360^\circ }}{n} = 4^\circ \) و 90=n، یک 90 ضلعی نیز باشد و ... . پس در این سوال تنها می توان مطمئن بود که تعداد رئوس n ضلعی، مضرب 18 است.

در شکل، AO و BO نیم ساز هستند و در ضمن می دانیم که مجموع زوایای مجاور A و B در یک متوازی الاضلاع 180 درجه است.

\(\left\{ \begin{array}{l}\hat A = 2y\\\\\hat B = 2x\\\\\hat A + \hat B = 180^\circ \end{array} \right. \Rightarrow 2x + 2y = 180^\circ \Rightarrow x + y = 90^\circ \)

پس مجموع زوایای مجهول x و y ، 90 درجه می باشد.

مربع ABCD را رسم و وسط اضلاع را به صورت متوالی به یکدیگر وصل می کنیم تا چهار ضلعی MNPQ حاصل شود. با توجه به شکل، می توان نتیجه گرفت که این شکل 4 محور تقارن دارد. با توجه به محور تقارن 2 می توان نتیجه گرفت که اضلاع NP و MQ از 4 ضلعی MNPQ با هم برابر هستند و هم چنین می توان نتیجه گرفت که زوایای N و M و زوایای P و Q با هم برابرند. به همین ترتیب و با استفاده و توجه به سایر محور های تقارن می توان نتیجه گرفت که تمامی اضلاع و زاویه های چهار ضلعی MNPQ برابر هستند؛ پس MNPQ یک مربع است.

مربع

مثلث متساوی الاضلاع

n

مرکز تقارن

زوج

وجود ندارد

محل تقاطع

دوران

n ضلعی منتظم

\(a\parallel b\)

\(a \bot b\)

رو به رو

قطر ها

مکمل

مستطیل

عمود منصف

180 درجه

360 درجه

تنها سه ضلعی منتظم، متساوی الاضلاع است.

تمام n ضلعی های منتظم با n زوج دارای مرکز تقارن هستند.

اگر شکلی دو محور تقارن عمود بر هم داشته باشد، مرکز تقارن محل تقاطع آن دو محور است.

هر n ضلعی منتظم، یک چند ضلعی با n ضلع و n زاویه مساوی است.

در هر متوازی الاضلاع، زوایای مجاور، مکمل یکدیگر هستند.

دو زاویه 45 و 135 مکمل یکدیگر هستند، چرا که مجموعشان برابر 180 درجه می شود.

یک چند ضلعی از خطوط شکسته تشکیل شده است. اما گزینه های دایره و بیضی منحنی هستند و در ضمن پاره خط اصلا یک شکل دارای ضلع نیست.

هر n ضلعی منتظم n محور تقارن دارد، پس هشت ضلعی منتظم، 8 محور تقارن دارد.

یک فرد ضلعی مرکز تقارن ندارد که در بین گزینه ها فقط (2) یک فرد ضلعی است.

600 ضلعی منتظم، 600 محور تقارن دارد و یک مرکز تقارن دارد: \(600 + 1 = 601\)

قطر های هر زوج ضلعی منتظم، محور تقارن های آن چند ضلعی منتظم می توانند باشند.

چند ضلعی های مقعر، یک یا چند زاویه بزرگتر از 180 درجه دارند:

متوازی الاضلاع محور تقارن ندارد. در مستطیل قطر ها محور تقارن نیستند و در مربع علاوه بر قطر ها، عمود منصف های هر دو ضلع رو به رو نیز محور تقارن هستند.

به جز مثلث و پنج ضلعی، در شکل های دیگر، نقاط مشخص شده، مرکز تقارن است.

از راس زاویه مجهول موازی با دیگر خطوط موازی شکل، خطی رسم می کنیم:

از خطوط موازی مورب استفاده می کنیم:

اگر قطر ها برابر هستند، پس شکل دارای خطوط تقارن بیشتری می شود که مربع بودن با رسم شکل واضح است.

اگر در لوزی یک زاویه قائمه باشد، بقیه زوایا نیز قائمه می شوند و چون همه اضلاع با هم برابرند پس این لوزی یک مربع است.

اگر \({d_1} \bot {d_3}\) و \({d_2} \bot {d_3}\)، آن گاه می توان نتیجه گرفت که \({d_1}\parallel {d_2}\) است.

هر دو درست است.

چون زاویه های مقابل لوزی هر دو یا باز هستند یا هر دو تند، بنابراین مکمل هم نمی شوند.

مجموعه زاویه های خارجی هر شکل 360 درجه است:

\(\begin{array}{l}110^\circ + 125^\circ + y = 360^\circ \Rightarrow y = 360^\circ - 235^\circ = 125^\circ \\\\x + y = 180^\circ \Rightarrow x + 125^\circ = 180^\circ \Rightarrow x = 55^\circ \end{array}\)

می دانیم در هر مثلث اندازه هر زاویه خارجی برابر است با مجموع دو زاویه داخلی غیر مجاور، بنابراین باید داشته باشیم:

\(\begin{array}{l}4x - 5^\circ = x + 40^\circ + 2x - 10^\circ \Rightarrow 4x - 3x = 30^\circ + 5^\circ \\\\x = 35^\circ \Rightarrow B = 2x - 10^\circ = 2 \times 35^\circ - 10^\circ = 60^\circ \end{array}\)

در یک چند ضلعی منتظم اندازه هر زاویه خارجی از تقسیم 360 درجه بر تعداد اضلاع به دست می آید پس اگر این چند ضلعی منتظم n ضلع داشته باشد، داریم:

\(\frac{{360^\circ }}{n} = 20^\circ \Rightarrow n = \frac{{360^\circ }}{{20^\circ }} \Rightarrow n = 18\)