نمونه سوالات فصل 9 ریاضی هشتم همراه با جواب تشریحی

1) زوایای A و B هر دو زاویه محاطی رو به رو به کمان CD هستند:

\(\hat A = \hat B = 20^\circ \)

در مثلث BOC، زاویه COD، یک زاویه خارجی است و برابر مجموع دو زاویه داخلی غیر مجاور آن می باشد:

\(C\hat OD = x = \hat B + \hat C \Rightarrow x = 20^\circ + 40^\circ = 60^\circ \)

2) زوایای O و A به ترتیب زوایای مرکزی و محاطی رو به رو به کمان BC هستند:

\( \Rightarrow y = \hat O = 2\hat A = 2 \times 60^\circ = 120^\circ \)

مثلث OAB متساوی الساقین است:

\(\hat B = \hat A = 70^\circ \)

AD قطر دایره است؛ بنابراین:

\(\begin{array}{l}\hat A + \hat B = 50^\circ + 2y + 10^\circ \Rightarrow 70^\circ + 70^\circ = 2y + 60^\circ \\\\ \Rightarrow 2y + 60^\circ = 140^\circ \Rightarrow 2y = 140^\circ - 60^\circ = 80^\circ \Rightarrow y = 40^\circ \\\\ \Rightarrow 2x = 2y + 10^\circ = 2 \times 40^\circ + 10^\circ = 90^\circ \end{array}\)

می دانیم که زاویه کمان رو به زاویه محاطی، 2 برابر همان زاویه محاطی می باشد؛ بنابراین:

\(\left\{ \begin{array}{l}\hat A = \frac{{}}{2}\\\\\hat B = \frac{{}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \hat A = \hat B\)

\(\left\{ \begin{array}{l}\hat O = 40^\circ \Rightarrow = 40^\circ \\\\ = 2\hat A = 2 \times 60^\circ = 120^\circ \end{array} \right. \Rightarrow = - = 80^\circ \)

1) شش صلعی منتظم، 6 کمان مساوی روی دایره ایجاد می کند که اندازه هر کمان \(\frac{{360^\circ }}{6} = 60^\circ \)  می باشد.

زاویه ABC محاطی رو به رو به 4 کمان 60 درجه می باشد:

\(A\hat BC = \frac{{4 \times 60^\circ }}{2} = \frac{{240^\circ }}{2} = 120^\circ \)

2) زاویه BDE محاطی رو به رو به 3 کمان 60 درجه می باشد:

\(B\hat DE = \frac{{3 \times 60^\circ }}{2} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \)

3) زاویه ADF محاطی رو به رو 1 کمان 60 درجه می باشد:

\(A\hat DF = \frac{{1 \times 60^\circ }}{2} = 30^\circ \)

زاویه E زاویه محاطی رو به رو به کمان AD می باشد، بنابراین:

\(\hat E = 15^\circ = \frac{{BD}}{2} \Rightarrow BD = 2 \times 15^\circ \Rightarrow BD = 30^\circ \)

به دلیل اینکه وتر های AB و CD موازی هستند، کمان های AC و BD مساوی هستند:

\(AC = BD \Rightarrow AC = 30^\circ \)

شکل زیر را در نظر بگیرید.

زوایای D و B، دو زاویه رو به رو در چهارضلعی محاطی بر دایره ABCD می باشد.

می دانیم دو زاویه زمانی مکمل هستند که مجموع این دو زاویه برابر 180 درجه باشد؛ بنابراین:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\hat B = \frac{{ADC}}{2}\\\\\hat D = \frac{{ABC}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \hat B + \hat D = \frac{{ADC}}{2} + \frac{{ABC}}{2} = \\\\ \Rightarrow \frac{{ADC + ABC}}{2} = \frac{{360^\circ }}{2} = 180^\circ \end{array}\)

شکل را به صورت زیر نام گذاری می کنیم:

\(\begin{array}{l}x = {{\hat C}_2}\\\\{{\hat C}_1} + {{\hat C}_2} = 90^\circ \\\\\left\{ \begin{array}{l}{{\hat C}_1} = \frac{{ED}}{2}\\\\\hat A = \frac{{ED}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow {{\hat C}_1} = \hat A = 10^\circ \\\\ \Rightarrow 10 + {{\hat C}_2} = 90^\circ \Rightarrow {{\hat C}_2} = 80^\circ \Rightarrow x = 80^\circ \end{array}\)

طبق قضیه فیثاغورس داریم:

\(\begin{array}{l}\mathop {OAB}\limits^\Delta :O{A^2} = O{B^2} + A{B^2}\\\\ \Rightarrow {17^2} = {8^2} + A{B^2} \Rightarrow 289 = 64 + A{B^2}\\\\ \Rightarrow A{B^2} = 225 \Rightarrow AB = 15\end{array}\)

دایره ای دلخواه مثلا به شکل زیر در نظر بگیرید. برای یافتن مرکز این دایره، دو وتر غیر متوازن از دایره را رسم کرده و سپس عمود منصف آن دو را رسم می کنیم. محل تقاطع دو عمود منصف، مرکز دایره است:

دایره زیر را در نظر بگیرید و نقطه دلخواه A که بر روی محیط آن می باشد. برای رسم خط مماس بر دایره از نقطه A، از مرکز دایره به A، خطی متصل می کنیم و سپس بر پاره خط OA از نقظه A یک خط عمود رسم می کنیم. خط عمود بر پاره خط OA، مماس مورد نظر می باشد:

می دانیم که ضلع مقابل به زاویه 30 درجه، نصف وتر می باشد؛ بنابراین داریم:

\(\begin{array}{l}OA = \frac{{OB}}{2} \Rightarrow 10 = \frac{{OB}}{2} \Rightarrow OB = 20\\\\O{A^2} + A{B^2} = O{B^2} \Rightarrow {10^2} + A{B^2} = {20^2} \Rightarrow 100 + A{B^2} = 400\\\\A{B^2} = 300 \Rightarrow AB = 10\sqrt 3 \\\\x = AB \Rightarrow x = 10\sqrt 3 \end{array}\)

در شکل ها همانطور که می بینیم دو خط AB و AC در نقاط Cو Bبر دایره مماس هستند؛ بنابراین:

\(\left\{ \begin{array}{l}\hat A = 90^\circ \\\\\hat B = \hat C = 90^\circ \end{array} \right. \Rightarrow \hat O = 90^\circ \)

مربع است\(\left\{ \begin{array}{l}\hat O = 90^\circ \\\\AB = AC\\\\OB = OC\end{array} \right. \Rightarrow OABC\)

\( \Rightarrow OB = AB \Rightarrow OB = 10\)

شعاع این دایره 10 می باشد.

\(\begin{array}{l}{x^2} + {7^2} = {(7 + 18)^2}\\\\{x^2} + 49 = {25^2} = 625\\\\{x^2} = 625 - 49 = 576 \Rightarrow x = 24\end{array}\)

\(\begin{array}{l}O{A^2} + A{B^2} = O{B^2}\\\\ \Rightarrow {3^2} + A{B^2} = {5^2} \Rightarrow 9 + A{B^2} = 25\\\\ \Rightarrow A{B^2} = 25 - 9 = 16 \Rightarrow AB = 4\end{array}\)

به هر پاره خط که دو سر آن روی یک دایره باشد، وتر آن دایره می گویند.

به هر زاویه که راس آن روی مرکز یک دایره باشد و دو ضلع آن شعاع های آن دایره باشند، یک زاویه مرکزی می گویند.

اگر راس زاویه ای روی محیط دایره و دو ضلع زاویه، وتر های دایره باشند، آن زاویه، یک زاویه محاطی است.

دایره زیر را در نظر بگیرید که دو وتر AB و CD با هم موازی هستند. میخواهیم ثابت کنیم که:

\(AC = BD\)

ابتدا از نقطه C به نقطه B یک خط وصل می کنیم:

\(\begin{array}{l}{{\hat C}_1} = \frac{{BD}}{2}\\\\{{\hat B}_1} = \frac{{AC}}{2}\end{array}\)

می دانیم \(AB\parallel CD\)  و خط BC یک خط مورب می باشد؛ بنابراین:

\({\hat B_1} = {\hat C_1} \Rightarrow \frac{{AC}}{2} = \frac{{BD}}{2} \Rightarrow AC = BD\)

وتر AB قطر دایره است؛ بنابراین:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AB = 180^\circ \\\\AB = AC + CD + DB = x + CD + x = 2x + CD\\\\CD = 2 \times 60^\circ = 120^\circ \end{array} \right.\\\\ \Rightarrow 2x + = 180^\circ \Rightarrow 2x + 120^\circ = 180^\circ \\\\ \Rightarrow 2x = 60^\circ \Rightarrow x = 30^\circ \end{array}\)

شعاع و دایره

سه

متقاطع

مماس

عمود

شعاع

قطر

یک

وتر

عمود

زوایه مرکزی

یک

برابر

\(\frac{{360^\circ }}{n}\)

زاویه محاطی

نصف

قائمه (90 درجه)

کمان

مکمل

دو برابر

مرکز آن O و شعاع آن r می باشد.

اندازه قطر دایره دو برابر شعاع آن است.

فقط با یک نقطه از دایره در تماس است.

زاویه مرکزی گویند.

معادل یک چرخش 360 درجه می باشد.

برابر 60 درجه می باشد.

زاویه محاطی می باشد.

\(\begin{array}{l}\hat O = BC \Rightarrow \hat O = 180^\circ - (90^\circ + 40^\circ ) = 50^\circ \\\\ \Rightarrow BC = x = 50^\circ \end{array}\)

\(\begin{array}{l}2x + 3 = 4x - 5 \Rightarrow 3 + 5 = 4x - 2x\\\\ \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 4\end{array}\)

از نقطه A دو مماس بر دایره رسم شده است:

\(\begin{array}{l}AM = AM' \Rightarrow 8 + 3 = x + 4\\\\ \Rightarrow x = 8 + 3 - 4 \Rightarrow x = 7\end{array}\)

\({2^2} + {5^2} = {r^2} \Rightarrow {r^2} = 4 + 25 = 29 \Rightarrow r = \sqrt {29} \)

\(\begin{array}{l}360^\circ - 140^\circ = 220^\circ \\\\x = \frac{{220^\circ }}{2} = 110^\circ \end{array}\)

چهار ضلعی ABCD در دایره محاط است پس زوایای A و C مکمل هستند:

\(\begin{array}{l}AB = CD \Rightarrow \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over A} \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over B} = \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over C} \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over D} \Rightarrow 3x + 20^\circ = 80^\circ \\\\ \Rightarrow 3x = 80^\circ - 20^\circ = 60^\circ \Rightarrow x = 20^\circ \end{array}\)

\(\begin{array}{l}AB\parallel CD \Rightarrow \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over A} \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over C} = \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over B} \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over D} = x\\\\\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over A} \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over B} + \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over B} \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over D} + \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over C} \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over D} + \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over A} \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over C} = 360^\circ \Rightarrow 2x + 160^\circ = 360^\circ \\\\ \Rightarrow 70 + x + 90 + x = 360^\circ \Rightarrow 2x + 160^\circ = 360^\circ \\\\ \Rightarrow 2x = 200^\circ \Rightarrow x = 100^\circ \end{array}\)

\(\begin{array}{l}120^\circ + 120^\circ + 2x = 360^\circ \Rightarrow 2x + 240^\circ = 360^\circ \\\\ \Rightarrow 2x = 120^\circ \Rightarrow x = 60^\circ \end{array}\)

اگر وتری مانند AB مساوی شعاع باشد، کمان محدود به آن AB)=60 درجه) خواهد بود. CD قطر دایره است؛ بنابراین داریم:

\(\begin{array}{l}x + 60^\circ + x = 180^\circ \Rightarrow 2x + 60^\circ = 180^\circ \\\\ \Rightarrow 2x = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \Rightarrow x = 60^\circ \end{array}\)

از نقطه O مرکز دایره به نقاط A و B وصل می کنیم. با توجه به این که مثلث های OBC و AOB متساوی الساقین اند، داریم:

\(\begin{array}{l}OBC:OB = BC \Rightarrow {{\hat O}_1} = \hat C\\\\{{\hat B}_1} = {{\hat O}_1} + C = 2\hat C\\\\AOB:OA = OB \Rightarrow \hat A = {{\hat B}_1} = 2\hat C\\\\{{\hat O}_2} = \hat A + \hat C = 3\hat C \Rightarrow {{\hat O}_2} = 60^\circ \Rightarrow {{\hat O}_2} = AD = 60^\circ \end{array}\)

\(\begin{array}{l}ATO:O{A^2} = A{T^2} + O{T^2}\\\\ \Rightarrow O{A^2} = {(8\sqrt 3 )^2} + {8^2} = 64 \times 3 + 64 = 64 \times 4\\\\ \Rightarrow OA = \sqrt {64 \times 4} = 8 \times 2 = 16\\\\OT = \frac{1}{2}OA \Rightarrow {{\hat A}_1} = 30^\circ \Rightarrow {{\hat A}_1} = {{\hat A}_2}\\\\T\hat AT' = 2{{\hat A}_1} = 60^\circ \end{array}\)

از مرکز دایره دو عمود OP و OP' را بر دو مماس وارد می کنیم. با توجه به اینکه مثلث های OAP و OAP' همنهشت اند، می توان گفت که مساحت OPAP' دو برابر مساحت مثلث OAP است. لذا طبق قضیه فیثاغورس داریم:

\(\begin{array}{l}O\mathop A\limits^\Delta B = O{A^2} = O{P^2} + A{P^2} \Rightarrow {5^2} = {3^2} + A{P^2}\\\\ \Rightarrow A{P^2} = 16 \Rightarrow AP = 4\\\\{S_{O\mathop A\limits^\Delta P}} = \frac{{OP \times AP}}{2} = \frac{{3 \times 4}}{2} = 6 \Rightarrow {S_{OPAP'}} = 2{S_{O\mathop A\limits^\Delta P}} = 12\end{array}\)

می دانیم در هر دایره، خط عمودی که از یک دایره بر وتر وارد می شود، آن وتر را نصف می کند (زیرا در مثلث متساوی الساقین از تفاع و میانه وارد بر قاعده بر هم منطبق اند)؛ بنابراین طبق قضیه فیثاغورس داریم:

\(\begin{array}{l}OAH = O{A^2} = O{H^2} = A{H^2} \Rightarrow {5^2} = {3^2} + A{H^2}\\\\ \Rightarrow A{H^2} = 25 - 9 = 16 \Rightarrow AH = 4\\\\ \Rightarrow AB = 2AH \Rightarrow AB = 8\end{array}\)

می دانیم در هر دایره، خط عمودی که از مرکز دایره بر یک وتر وارد می شود، آن وتر را نصف می کند. پس طبق قضیه فیثاغورس داریم:

\(\begin{array}{l}AOB = O{A^2} = A{B^2} + O{B^2} \Rightarrow {10^2} = A{B^2} = {8^2}\\\\ \Rightarrow A{B^2} = {10^2} - {8^2} = 100 - 64 = 36 \Rightarrow AB = \sqrt {36} \\\\ \Rightarrow AB = 6 \Rightarrow AC = 2AB \Rightarrow AC = 12\end{array}\)

از O به A وصل می کنیم. با توجه به این که مثلث AOB متساوی الساقین است، داریم:

با توجه به این که اندازه هر زاویه محاطی برابر با نصف اندازه کمان مقابلش است، داریم:

\(\begin{array}{l}AC = CD \Rightarrow \hat A = \hat D = 30^\circ \\\\{{\hat C}_1} = \hat A + \hat D = 60^\circ \\\\{{\hat C}_1} = \frac{{AB}}{2} \Rightarrow \frac{{AB}}{2} = 60^\circ \Rightarrow AB = 120^\circ \end{array}\)

می دانیم اندازه زاویه محاطی برابر؛ نصف کمان مقابلش است، بنابراین:

\(\begin{array}{l}\hat B = \frac{{CD}}{2} \Rightarrow 35^\circ = \frac{{CD}}{2} \Rightarrow CD = 70^\circ \Rightarrow AD = CD\\\\ \Rightarrow AD = 70^\circ \Rightarrow AB = 180^\circ - 2AD = 40^\circ \\\\ \Rightarrow \hat C = \frac{{AB}}{2} = \frac{{40^\circ }}{2} = 20^\circ \end{array}\)

با توجه به این که مثلث AOC، متساوی الساقین است، بنابراین:

\(\begin{array}{l}AOC:OA = OC = r \Rightarrow {{\hat A}_1} = {{\hat C}_1} = 28^\circ \Rightarrow AOC = 124^\circ \\\\ \Rightarrow \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over A} \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over C} = AOC \Rightarrow \hat B = \frac{{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over A} \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over C} }}{2} = \frac{{124^\circ }}{2} = 62^\circ \end{array}\)

از B به C وصل می کنیم، طبق قضیه خطوط موازی و مورب داریم: