نمونه سوالات فصل 3 ریاضی و آمار دهم انسانی همراه با جواب تشریحی

نکته (پارامتر جامعه) یک مشخصه عددی است که توصیف کننده جنبه خاصی از جامعه است و در صورتی که داده های کل جامعه در اختیار باشد قابل محاسبه است.

نکته: مشخصه عددی توصیف کننده جنبه خاصی از نمونه را «آماره نمونه» می گویند آماره از یک نمونه به نمونه دیگر می تواند تغییر کند. در بسیاری از موارد آمارگیری از یک جامعه امکان پذیر نیست بنابراین پارامتر مقداری مجهول است و به همین دلیل از آماره ها برای تخمین پارامتر استفاده می کنند.

با توجه به نکات بالا، گزینه ۳ پاسخ است

گزینه ۲ پاسخ صحیح است هر ویژگی از اشخاص با اشیاء که قرار است بررسی شود متغیر جامعه گفته می شود.

گزینه ۳ پاسخ صحیح است. نکته متغیر کمی متغیرهایی هستند که مقادیر عددی می گیرند و برای آنها عملیات ریاضی از قبیل جمع تفریق و معدل گیری قابل انجام است.

نکته متغیر کیفی متغیرهایی هستند که صرفاً برای دسته بندی افراد یا اشیاء در گروه ها به کار می روند و لزوماً مقدار عددی نمی گیرند.

با توجه به نکات تک تک گزینه ها را بررسی می کنیم:

گزینه 1 متغیر کیفی است.

گزینه ۲ متغیر کیفی است.

گزینه ۳ متغیر کمی است.

گزینه ۴ متغیر کیفی است. 

گزینه ۱ پاسخ صحیح است. نکته (جامعه آماری) : مجموعه کل واحدهای آماری را جامعه آماری می نامند.

با توجه به نکته جامعه آماری این مطالعه تمام کودکان مبتلا به اوتیسم در کشور مورد مطالعه است. همچنین با توجه به تعریف متغیرکمی نوع متغیر در این مطالعه کشی است بنابر این گزینه ۱ درست است.

گزینه ۳ پاسخ صحیح است. نکته (مقیاس اسمی): این مقیاس برای متغیرهایی است که شامل نام ها، برچسب ها و گروه ها می باشد.

نکته (مقیاس ترتیبی): این مقیاس با استفاده از الفاظ ضمن ایجاد تفکیک بین افراد و اشیاء ارجحیت نیز قائل می شود.

این مقیاس برای متغیرهایی است که قابل مرتب کردن هستند ولی اختلاف بین مقادیر داده ها امکان پذیر نیست یا بی معنا است.

نکته (مقیاس فاصله ای): برای داده هایی است که قابل مرتب کردن هستند و همچنین اختلاف بین مقادیر داده ها با معنا است.

نکته (مقیاس نسبتی): برای داده هایی است که قابل مرتب کردن هستند اختلاف بین مقادیر داده ها و نسبت بین داده ها با معنا است.

میانگین میزان بارندگی قابل مرتب کردن است و اختلاف بین مقادیر داده ها نیز در آن با معنا است، پس مقیاس این متغیر نسبتی است. ماه های سال ۹۴ قابل مرتب کردن است ولی محاسبه اختلاف بین مقادیر داده ها در آن بی معنا است، بنابراین مقیاس متغير آن ترتیبی است.

گزینه ۳ پاسخ صحیح است. متغیرهای گروه خون وضعیت تاهل (مجرد، متاهل) و جنسیت افراد (مرد، زن) هر سه متغیرهای کیفی اسمی اند اما متغیر دمای بدن انسان یک متغیر کمی فاصله ای است.

گزینه ۲ پاسخ صحیح است. نکته (دادگان ها) شامل مجموعه ای از اطلاعات ذخیره شده اند. در بسیاری از موارد، داده ها را میتوان از اطلاعاتی که قبلا ذخیره شده اند، به دست آورد.

با مراجعه به اطلاعات ذخیره شده از دانشجویان ورودی سال اول به رشته های مهندسی یک دانشگاه می توان از طریق روش دادگان ها به بررسی رتبه کنکور این دانشجویان پرداخت. ولی در سایر موارد یعنی گزینه های 1،3،4به روش های دیگر جمع آوری اطلاعات نیاز داریم.

گزینه ۲ پاسخ صحیح است. مرکز آمار ایران هر ۱۰ سال یک بار با استفاده از پرسش نامه اطلاعات همه خانوارهای ساکن در ایران را جمع آوری میکند به این فرآیند سرشماری نفوس و مسکن می گوییم.

گزینه ۳ پاسخ صحیح است.

نکته : متغیر کیفی، متغیری است که صرفا برای دسته بندی افراد یا اشیاء در گروه ها به کار میرود و لزوماً مقدار عددی نمی گیرد.

نکته: متغیر کمی متغیری است که مقادیر عددی می گیرد و برای آن عملیات ریاضی از قبیل جمع، تفریق و معدل گیری قابل انجام است.

با توجه به نکات بالا این « افراد - درآمد - دمای هوا » متغیر کمی و جنسیت - شماره پرسنلی - رتبه کنکور متغير کیفی هستند.

گزینه ۳ پاسخ صحیح است. انرژی موجود در غذا قابل اندازه گیری است و چهار عمل جمع و ضرب و تقسیم و تفریق در آن با معنا است. پس متغیر کمی - نسبتی است.

گزینه ۱ پاسخ صحیح است.

الف و ب: متغیرهای کیفی اسمی هستند.

ت: کیفی ترتیبی ب: کمی پیوسته

گزینه ی ۳ پاسخ صحیح است. ابتدا داده ها را از کوچک به بزرگ مرتب می کنیم.

19 و 17 و 17 و 15 و14  و12 و 11 و 10 و 9 و 7 و 7 و 5 و 4 و 3

حال میانه برابر است با داده وسط یعنی داده ی هشتم.

گزینه ۱ پاسخ صحیح است. ابتدا داده ها را به ترتیب از کوچک به بزرگ مرتب میکنیم چون تعداد داده ها زوج است.

پس میانه آنها برابر میانگین دو داده وسط است.

پس میانه داده های \(4,6,15,14,x\) باید مقدار ۸ باشد.

چون تعداد داده ها فرد است پس داده وسطی میانه است چون در بین داده ها هیچ کدام مقدار ۸ ندارد. پس x  داده وسطی است و مقدار آن نیز برابر ۸ است. یعنی:                                                                                                          \(4,6,x = 8,14,15\)

نکته: پس از مرتب کردن داده ها مقداری که تعداد داده های بعد از آن با تعداد داده های قبل از آن برابر است. میانه است. اگر تعداد داده ها فرد باشد میانه برابر داده وسطی است و اگر تعداد داده ها زوج باشد میانه برابر با میانگین دو داده وسطی است.

با توجه به نکته ابتدا داده های هر دو کلاس را مرتب میکنیم سپس میانه هر دو را محاسبه می کنیم:

20 و 17 و 15 و 13 و 13 و 11 و 7: کلاس A

20 و 19 و 18 و 18 و 14 و 11 و 10:کلاس B

بنابراین اختلاف دو میانه برابر 5 است.

گزینه ۴ پاسخ صحیح است.

نکته : پس از مرتب کردن داده ها مقداری که تعداد داده های بعد از آن با تعداد داده های قبل از آن برابر است. میانه است. اگر تعداد داده ها فرد باشد. میانه برابر داده وسطی است و اگر تعداد داده ها زوج باشد میانه برابر با میانگین دو داده وسطی است.

ابتدا داده ها را بدون در نظر گرفتن a  به صورت مرتب شده می نویسیم :                                          20 و 17 و 11 و 8 و 5 و 1

میانه این داده ها برابر ۸ است. پس باید تعداد داده های قبل از ۸ با تعداد داده های بعد از ۸ با هم برابر باشد. چون تعداد داده های بعد از ۸ برابر ۳ است. پس باید تعداد داده های قبل از ۸ هم برابر ۳ باشد. بنابراین باید قبل از ۸ باشد. در بین گزینه ها تنها عددی که کوچک تر یا مساوی ۸ است. عدد ۴ است.

\(a = 4 \Rightarrow \underbrace {1,4,5}_{},8,\underbrace {11,17,20}_{}\)\(\)

\(\begin{array}{l}\frac{{40 + 10 + 14 + 26 + 18 + 12 + a + 23 + 7}}{9} = 21 \Rightarrow 150 + a = 189 \Rightarrow a = 39\\3 + 9 = 12\end{array}\)

\(\bar x = \frac{{\sum xifi}}{n}\)

\(\bar x = \frac{{6 \times 3 + 10 \times 4 + 14 \times 5 + 18 \times 2 + 22 + 1}}{{15}} = \frac{{18 + 40 + 70 + 36 + 22}}{{15}} = \frac{{186}}{{15}} = 12/4\)

\( \to 50580 - 180 = 50400\)  مجموع 45 داده مقدار اشتباه شده \(\begin{array}{l}1124 \times 45 = 50580\\1204 - 1024 = 180\\\frac{{50400}}{{45}} = 1120\end{array}\)

گزینه ۱ پاسخ صحیح است. راه حل اول:

 نکته : اگر مقدار هر کدام از داده ها n برابر شود. میانگین نیز گزینه n برابر میشود. برای اثبات این نکته فرض کنید داده های\({x_n},...,{x_2},{x_1}\) و برابر \(n\) کنیم طبق رابطه میانگین داریم :

راه حل دوم:

ابتدا میانگین چهار نوع ماهی را بدست می آوریم:                                                              \(\bar x = \frac{{86 + 110 + 96 + 100}}{4} = 98\)

اگر تعداد ماهی ها در سال بعد 2 برابر شود، داده ها به صورت 200، 192 ، 220 و 172 می شوند که میانگین آن ها برابر است با :   

                                                       \(\bar x = \frac{{172 + 220 + 192 + 200}}{4} = 196\)

چون \(\frac{{196}}{{98}} = 2\) ، پس میانگین آن ها در سال بعد 2 برابر می شود.

گزینه ۱ پاسخ صحیح است. نکته: اگر n داده به صورت \({x_n},....,{x_2},{x_1}\) داشته باشیم، میانگین آنها که با نماد\(\bar x\) نشان میدهیم به صورت زیر تعریف می شود :                                                                                     

         \(\bar x = \frac{{{x_1} + {x_2} + {x_3} + .... + {x_n}}}{n}\)

 ابتدا به کمک نکته مقدار x را می یابیم :

با جایگذاری مقدار 4 به جای x داده ها به صورت 9,7,6,14 به دست می آیند. از آنجایی که تعداد داده ها زوج است. میانه آنها برابر میانگین دو داده وسطی مرتب شده است. بنابراین داریم:

\(6,\underbrace {7,9}_{{Q_2} = \frac{{9 + 7}}{2} = 8},13\)

گزینه ۳ پاسخ صحیح است.

نکته : میانگین داده های \(..{x_2},{x_1}\) و \({x_n}\)   برابر است با :                                            

\(\bar x = \frac{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}}}{n}\)  

راه حل اول:   

  \( = 9 \times 15 = 135\)مجموع 9 دادۀ آماری

اگر میانگین را به داده ها اضافه کنیم ، تغییری در مقدار میانگین داده های جدید به وجود نمی آید، بنابراین برای گزینه ۳ داریم:

                                                                                                         میانگین جدید \(\frac{{135 + 15}}{{10}} = \frac{{150}}{{10}} = 15\)

راه حل دوم :

اگر عدد مورد نظر را x در نظر بگیریم، می توان نوشت : 

\(\frac{{135 + x}}{{10}} = 15 \Rightarrow 135 + x = 150 \Rightarrow x = 15\)

گزینه ۲ پاسخ صحیح است

\(\frac{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_{10}}}}{{10}} = 12 \Rightarrow {x_1} + {x_2} + ... + {x_{10}} = 120\)

\({x_1} + {x_2} + ... + {x_{30}} = 120 + 180 = 300 \Rightarrow \frac{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_{30}}}}{{30}} = \frac{{300}}{{30}} = 10\)

گزینه ۲ پاسخ صحیح است.

\(\bar x = \frac{{12 + 11 + 15 + 18 + 13 + 13 + 16}}{7} = \frac{{98}}{7} = 14\)

داده های 15 و 16 و 18 از میانگین بیشترند یعنی 3 داده.

گزینه ۲ پاسخ صحیح است.

نکته: پس از مرتب کردن داده ها مقداری که تعداد داده های بعد از آن با تعداد داده های قبل از آن برابر است. میانه است. اگر تعداد داده ها فرد باشد. میانه برابر داده وسطی است و اگر تعداد داده ها زوج باشد میانه برابر با میانگین دو داده وسطی است.

نکته : چارک اول، میانه داده های قبل از میانه و چارک سوم میانه داده های بعد از میانه است.

نکته: دامنه میان چارکی یک معیار پراکندگی است که تفاضل چارک اول از چارک سوم است.  

\( = {Q_3} - {Q_1}\)IQR

ابتدا میانه چارک اول و چارک سوم را مشخص میکنیم چون داده ها مرتب شده هستند، پس داریم:

مطابق فرض سؤال دامنه میان چارکی دو برابر میانه است. پس:

گزینه ی ۳ پاسخ صحیح است.

ترتیب داده ها در نمودار جعبه ای به صورت رو به رو است:    

که در آن \({x_8}\) چارک اول، \({x_{16}}\) میانه و \({x_{24}}\) چارک سوم است.

\(\frac{{7 \times 12 + 17 \times 15 + 7 \times 21}}{{31}} = \frac{{486}}{{31}} \cong 15/67\) :پذیرش

گزینه ۴ پاسخ صحیح است.

نکته : به اختلاف میان چارک اول و سوم داده ها، دامنه میان چارکی می گوییم که با \(IQR\) نشان می دهیم. باید مطابق نکته چارک اول و سوم را به دست آوریم پس ابتدا داده ها را مرتب می کنیم :

41 و 35 و 29 و 26 و 25 و 12 و 7 و 3

تعداد داده ها ۸ است، پس میانه (چارک دوم) برابر با میانگین دو داده چهارم و پنجم است. حال نیمه اول و دوم داده ها را مشخص می کنیم:

از آنجایی که این دو نیمه هر کدام دارای ۴ داده است. پس میانگین دو داده وسط در نیمه اول چارک اول و میانگین در داده وسط در نیمه دوم چارک سوم است:

گزینه ۴ پاسخ صحیح است.

نکته ۱: پس از مرتب کردن داده ها مقداری که تعداد داده های بعد از آن با تعداد داده های قبل از آن برابر است. میانه است. اگر تعداد داده ها فرد باشد میانه برابر داده وسطی است و اگر تعداد داده ها زوج باشد میانه برابر با میانگین دو داده وسطی است.

نکته ۲: چارک اول میانه داده های قبل از میانه و چارک سوم میانه داده های بعد از میانه است.

نکته3 : دامنه میان چارکی یک معیار پراکندگی است که تفاضل چارک اول از چارک سوم است.

با توجه به نکات ۱ و ۲ ابتدا میانه چارک اول و چارک سوم داده های مرتب شده را به دست می آوریم.

با توجه به نکتۀ 3 داریم : 

\( = 32 - 22 = 10\) \(IQR\)

گزینه ۲ پاسخ صحیح است. تعریف: اگر داده را به صورت n و  \({x_n},....,{x_2},{x_1}\)  داشته باشیم، انحراف معیار آن به صورت زیر تعریف می شود:               

      \(\sigma = \sqrt {\frac{{{{\left( {{x_1} - \bar x} \right)}^2} + {{\left( {{x_2} + \bar x} \right)}^2} + ... + {{\left( {{x_n} - \bar x} \right)}^2}}}{n}} \)

توان دوم انحراف معیار را واریانس گویند, ابتدا میانگین داده ها را به دست می آوریم سپس به کمک نکته مقدار واریانس را به دست می آوریم : 

\(\begin{array}{l}\bar x = \frac{{7 + 10 + 0 + 3 + 5}}{5} = \frac{{25}}{5} = 5\\{\sigma ^2} = \frac{{{{\left( {7 - 5} \right)}^2} + {{\left( {10 - 5} \right)}^2} + {{\left( {0 - 5} \right)}^2} + {{\left( {3 - 5} \right)}^2} + {{\left( {5 - 5} \right)}^2}}}{5} = \frac{{4 + 25 + 25 + 4 + 0}}{5} = \frac{{58}}{5} = 11/6\end{array}\)

گزینه ۲ پاسخ صحیح است. نکته اگر داده ها با هم برابر باشند انحراف معیار و واریانس آنها برابر صفر خواهند شد و بالعكس ، یعنی اگر انحراف معیار و با واریانس تعدادی داده صفر باشد تمام داده ها با یکدیگر برابرند.

بنابر نکته فوق داریم :                                                     

\(x + 5 = 7 = 3 - 2y \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 5 = 7 \Rightarrow x = 2\\3 - 2y = 7 \Rightarrow y = - 2\end{array} \right.\)

حال با جایگذاری مقادیر x و y در داده های x+y و \(2 - y\)، به داده های 0و 4 و2 می رسیم که میانگین آن ها برابر است با:                                                                                                    \(\bar x = \frac{{2 + 4 + 0}}{3} = 2\)

گزینه ۲ پاسخ صحیح است.

 نکته: انحراف معیار داده های \({x_n},....,{x_2},{x_1}\) و \({x_n}\) که با نماد \(\sigma \)(سیگما) نشان داده میشود به صورت زیر تعریف می شود:

ابتدا میانگین داده ها را به دست می آوریم: 

\(\bar x = \frac{{ - 3 - 2 - 1 + 0 + 1 + 2 + 3}}{7} = 0\)

حال با توجه به نکته می توان نوشت:

\(\sigma = \sqrt {\frac{{{{\left( {0 + 3} \right)}^2} + {{\left( {0 + 2} \right)}^2} + {{\left( {0 + 1} \right)}^2} + 0 + {{\left( {0 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 2} \right)}^2} + {{\left( {0 - 3} \right)}^2}}}{7}} \)

گزینه ۳ پاسخ صحیح است.

راه حل اول:

 نکته: اگر داده ها با هم برابر باشند انحراف معیار آنها صفر است و برعکس.

 طبق فرض انحراف معیار ۵ داده آماری برابر صفر شده است پس این داده ها با هم برابر هستند. از طرفی میانگین هر تعداد داده مساوی برابر با خود داده ها است. بنابراین هر ۵ داده برابر ۶ هستند و مجموع آنها برابر است با :

 \(5 \times 6 = 30\)

راه حل دوم:

نکته اگرn  به صورت\({x_n},....,{x_2},{x_1}\) داشته باشیم انحراف معیار آنها را با نماد \(\sigma \)  نشان می دهند و به صورت زیر تعریف می کنند:

\(\sigma = \sqrt {\frac{{{{\left( {{x_1} - \bar x} \right)}^2} + {{\left( {{x_2} + \bar x} \right)}^2} + ... + {{\left( {{x_n} - \bar x} \right)}^2}}}{n}} \)

با توجه به نکته داریم:

دقت کنید که چون مجموع تعداد عدد نامنفی صفر شده است. پس حتما همه آنها صفر هستند. بنابراین تمام داده ها برابر ۶ هستند. پس مجموع آنها برابر ۳۰ = ۵×۶ است.

گزینه ۲ پاسخ صحیح است.

تقریباً ۹/۹۹ درصد از مشاهدات بین سه انحراف معیار از میانگین قرار دارند.

گزینه 2 پاسخ صحیح است.

داده های مرتب شده : \(\underbrace {7 - 8 - 9 - 10 - 10 - 11}_{} - \underbrace {12 - 14 - 15 - 17 - 18 - 18}_{}\)

\(\begin{array}{l}{Q_1} = 9/5\\{Q_2} = 16\end{array}\)

گزینه ۴ پاسخ صحیح است.

اعداد ۲0و ۹ حذف می شوند.

\(11,12,14,14,15,15,15,16 - 3, - 2,0,0,1,1,1,2 \Rightarrow \bar x = 0\)

گزینه ۳ پاسخ صحیح است. چون واریانس داده ها برابر صفر است. پس تمام داده ها با هم برابرند.

\(a = b = c = d = e = f = 5\)

و مد داده ها برابر 6 است.