شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | متمم یک مجموعه](https://dl2.my-dars.com/upload/image/04 (5)1738503213.jpg)
در هر مبحث مجموعه ای که همه مجموعه های مورد بحث زیر مجموعه آن باشند را مجموعه مرجع یا مجموعه جهانی می نامند و با حرف U نشان می دهند. در این حالت اگر A⊆U مجموعه ای دلخواه باشد، U−A را با نماد A′ نشان می دهیم و آن را متمم A می نامیم. به عبارت بهتر A′ شامل اعضایی از U است که در A نیستند.
در شکل زیر رابطه بین مجموعه های A,A′,U دیده می شود.
بطور معمول در هر بحثی مجموعه مرجع را معرفی می کنند. چنانچه در بحثی مجموعه مرجع را معرفی نکردیم شما می توانید بزرگترین مجموعه موجود را به عنوان مجموعه مرجع در نظر بگیرید. وقتی صحبت از اعداد باشد بزرگترین مجموعه ممکن همان R است.
مثال
1 متمم هر یک از مجموعه های زیر را بنویسید.
الف A={1,3,5,...},U=N
A′={2,4,6,...}
ب B=N,U=Z
B′={...,−2,−1,0}
2 اگر U مجموعه مرجع دلخواهی باشد و A⊆U باشند طرف دوم تساوی های زیر را بنویسید.
الف A∪A′=
A∪A′=U
ب A∩A′=
A∩A′=∅
فرض کنید تعداد اعضای مجموعه های A ,B معلوم باشد. می خواهیم تعداد اعضای مجموعه A∪B را بر حسب n(A) و n(B) بیابیم. (تعداد اعضای یک مجموعه را هم با نماد |A| و هم با نماد n(A)نشان می دهند) ممکن است تصور کنید که جواب واضح است و برابر است با عدد n(A)+n(B) اما این نادرست است، چرا که اگر U=N,A={1,2,3},B={2,3,4} آنگاه:
4=n(A∪B)≠n(A)+n(B)=3+3=6
دلیل آن ها ساده است. هنگامی که می نویسیم n(A)+n(B) در واقع اعضای مشترک دوبار شمارش شده اند. یعنی n(A∩B) یکبار در هنگام شمارش اعضای A و یک بار در شمارش اعضای B حساب شده است. لذا برای یافتن تعداد درست باید یکبار n(A∩B) را از n(A)+n(B) کم کنیم. پس جواب درست بصورت زیر است:
n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)
به شکل زیر دقت کنید. می توان درستی رابطه فوق را از روی نمودار ون زیر تحقیق کرد.
از روی شکل فوق روابط جالب دیگری بین اعضای مجموعه های A−B و A∩B به دست می آید. این روابط به صورت زیر هستند:
n(A−B)+n(A∩B)+n(B−A)=n(A∪B)n(A−B)=n(A)−n(A∩B)n(B−A)=n(B)−n(A∩B)
1 در یک کلاس مدرسه ٣٠ دانش آموز وجود دارد. ٢٢ نفر از آنها فوتبال بازی می کنند و ١٨ نفر هم والیبال بازی می کنند. چند نفر هم فوتبال بازی می کنند و هم والیبال؟
n(F)=22n(V)=18n(F∪V)=30n(F∩V)=?n(F∪V)=n(F)+n(V)−n(F∩V)30=22+18−n(F∩V)→n(F∩V)=10
2 از بین اعداد ١ تا ٢٠٠ چند عدد وجود دارد که بر ۵ یا ٧ بخش پذیر باشد؟
n(5)=40n(7)=28n(35)=5n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)→n(A∪B)=40+28−5=63→n(A∪B)=63
الف چند عدد بر ۵ بخش پذیر است اما بر ٧ بخش پذیر نیست؟
n(A−B)=n(A)−n(A∩B)→n(5−7)=40−5=35→n(5−7)=35
3 در يک کلاس ٣٠ نفری، ٢١ نفر به زبان انگليسی، ١٧ نفر به زبان فرانسه و ١٠ نفر به هـر دو زبان می توانند صحبت کنند. در اين کلاس چند نفر هستند که به هيچ يک از ايـن دو زبـان صـحبت نمی کنند؟
n(U)=30n(E)=21n(F)=17n(E∩F)=10n(E∪F)=n(E)+n(F)−n(E∩F)n(E∪F)=21+17−10=28→n(E∪F)=28n(U)−n(E∪F)→30−28=2
4 در یک نظرسنجی از ١١٠ مشتری یک فروشگاه زنجیره ای مشخص شد که ٧٠ نفر آنها در یک ماه گذشته از محصولات شرکت A و ۵٧ نفرشان از محصولات شرکت B خرید کرده اند. همچنین ٣٢ نفر از آنان نیز اعلام کردند که در این مدت از هر دو شرکت خرید داشته اند. چه تعداد از این ١١٠ نفر در یک ماه گذشته :
الف دست کم از یکی از این دو شرکت خرید داشته باشند؟
n(A)=70n(B)=57n(A∩B)=32n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)n(A∪B)=70+57−32→n(A∪B)=95
ب فقط از شرکت A خرید داشته اند.
n(A−B)=n(A)−n(A∩B)n(A−B)=70−32→n(A−B)=38
پ دقیقاً از یکی از این دو شرکت خرید داشته اند.
n(B−A)=n(B)−n(A∩B)n(B−A)=57−32n(B−A)=25n(A−B)=3825+38=63
تهیه کننده: فرهاد صمدی
1736019749.png)
