ب.م.م و ک.م.م

دو مفهوم ب.م.م و ک.م.م کاربردهای زيادی در نظريه اعداد دارند.

ب.م.م اعداد

فرض كنيد a و b دو عدد صحيح باشند كه لااقل یكی از آنها غيـر صـفر اسـت. عـدد طبيعـی d را (ب.م.م) يعنـی بزرگترين مقسوم عليه مشترک اين دو عدد گوئيم، هرگاه:

1) $d|b,d|a$

2) ساير مقسوم عليه های مشترک a و b از d كوچكتر باشند. در اين صورت می نويسيم:

$(a,b) = d$

در حالت خاص:

اگر $a|b$ ، آنگاه $(a,b) = \left| a \right|$  است. به ویژه:

$(a,a) = \left| a \right|,(a,0) = \left| a \right|$

البته عبارت $(0,0)$  بی معنی است.

حالت خاص زير در مورد ب.م.م اعداد اهميت بسياری دارد.

اعداد متباين:

دو عدد a و b را نسبت به هم اول يا (مُتَبايِن) گوئيم، هرگاه:

$(a,b) = 1$

به دو مورد در ارتباط با اين مفهوم توجه کنيد:

واضح است که $(4,9) = 1$  و بنابراين متباين بودن اعداد ربطی به اول بودن تک تک آنها ندارد.

ولی عکس آن صحيح است:

اگر p و q دو عدد اول مختلف باشند، همواره: $(p,q) = 1$ .

دو عدد a و b وقتی نسبت به هم اول هستند که در تجزيه ی اين دو عدد به عددهای اول، عامـل اول مـشترکی وجود نداشته باشد. برای نمونه؛

چون $35 = 5 \times 7,48 = {2^2} \times 3$ ، بنابراین $(48,35) = 1$  است.

اکنون مضرب های مشترک دو عدد صحيح را بررسی می کنيم:

ک.م.م اعداد

فرض كنيم a و b دو عدد صحيح باشند كه هر دو غير صفر هستند. عدد طبيعـی c را (ک.م.م) يعنـی کوچـکتـرين مضرب مشترک اين دو عدد گوئيم، هرگاه:

1) $b|c,a|c$

2) ساير مضرب های مثبت و مشترک a و b از c بزرگتر باشند. در اين صورت می نويسيم:

$[a,b] = c$

در يک حالت خاص

هر گاه $a|b$ ، آنگاه $[a,b] = \left| b \right|$  است؛ به ویژه:

$[a, \pm a] = |a|,[ \pm 1,a] = |a|$

تکنیک $a'$ و $b'$

ابتدا توجه کنيد:

اگر a و b دو عدد صحيح و $(a,b) = d$  باشد، آنگاه $(\frac{a}{d},\frac{b}{d}) = 1$  است.

اکنون فرض کنيد $(a,b) = d$  باشد، آنگاه:

قرار می دهيم: $\frac{b}{d} = b',\frac{a}{d} = a'$

طبق مرحله ی قبل خواهيم داشت: $a = a'd$  و $b = b'd$  و البته $(a',b') = 1$

ک.م.م بر حسب  $a'$ و $b'$

ک.م.م برابر $[a,b] = a'b'd$  است، زیرا:

$[a,b] = \frac{{a'd \times b'd}}{d} \Rightarrow [a,b] = a'b'd$