مجانب افقی تابع

1

$\begin{array}{l}1 - {x^2} > 0 \to - {x^2} > - 1 \to {x^2} < 1 \to - 1 < x < 1\\\\{D_f} = ( - 1,1) - \left\{ 0 \right\}\end{array}$

دامنه ی تابع محدود است. پس X نمی تواند به سمت $\pm \infty$میل کند پس تابع مجانب افقی ندارد.

2

$\begin{array}{l}{D_f} = R - \left\{ { - 1} \right\}\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{1 - {x^3}}}{{3 + 3{x^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{ - {x^3}}}{{3{x^3}}} = - \frac{1}{3}\end{array}$

در نتیجه خط$y = - \frac{1}{3}$  مجانب افقی است.

3

${x^2} + 2x + 5 = 0 \to ({x^2} + 2x + 5) + 1 = 0 \to {(x + 2)^2} + 1 = 0 \to {(x + 2)^2} = - 1$

معادله ریشه ندارد و عبارت زیر رادیکال همواره مثبت است. لذا ${D_f} = R$‏

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 5} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{{x + (\frac{2}{2})}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{x} = 1\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 5} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{x}{{ - (x + \frac{2}{2})}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{{ - x}} = - 1\end{array}$

 پس خط های y=1و  y=-1مجانب های افقی هستند.

4

$\begin{array}{l}4{x^2} - 1 \ge 0 \to 4{x^2} \ge 1 \to {x^2} - 1 \ge \frac{1}{4} \to x \le - \frac{1}{2}\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (2x + \sqrt {4{x^2} - 1} ) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (2x + \sqrt {4(x + \frac{0}{8}} ))\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (2x + \sqrt {4{x^2} - 1} ) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (2x + \sqrt {4(x + \frac{0}{8}} ))\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (2x - 2x) = 0\end{array}$

‏پس تابع در شاخه ی $+ \infty$ مجانب افقی ندارد ولی در شاخه ی $- \infty$مجانب افقی دارد و خط ۰ = y مجانب

افقی آن است.

$\begin{array}{l}y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x)\left[ {mx + n + \sqrt 4 (x + \frac{{ - 48}}{8})} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } = (mx + n + 2x - 12)\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x)\left[ {(m + 2)x + + (n - 12)} \right] = 2\left\langle \begin{array}{l}m + 2 = 0 \to m = - 2\\\\n - 12 = 2 \to n = 14\end{array} \right.\end{array}$