نمونه سوالات فصل 1 آمار و احتمال یازدهم ریاضی همراه با جواب تشریحی

به کمک سطر دوم در جدول، گزینۀ ۲ حذف می شود. (ن : r و د : q و د : p )

به کمک سطر پنجم در جدول، گزینۀ ۳ حذف می شود. (د : r و د : q و ن : p )

به کمک سطر سوم در جدول، گزینۀ ۴ حذف می شود. (د : r و ن : q و د : p )

نکته : اگر در مجموعه ها داشته باشیم  \(A \times B = B \times A\) آنگاه  \(A = B\) .

بنابراین داریم : \(A = b = \left\{ {1,4,5} \right\}\)  

زیرا از آنجا که داریم : \(A = B \Rightarrow \left\{ {\frac{x}{2},\frac{y}{3},5} \right\} = \left\{ {z,t,1,4} \right\}\)  

می توان نتیجه گرفت هر دو مجموعه به صورت \(\left\{ {1,4,5} \right\}\)  می باشند،برای مقادیر x,y,z,t حالت های زیر را داریم:

بنابر این 4 حالت وجود دارد.

ابتدا دقت شود که :

\( \sim (p \Rightarrow q) \equiv \sim ( \sim p \vee q) \equiv p \wedge \sim q\)

پس : 

\(((q \vee r) \Rightarrow (q \wedge r) \wedge \sim p \equiv \sim (q \vee r) \vee (q \wedge r) \wedge \sim p\)

\( \equiv [( \sim q \wedge \sim r) \vee (q \wedge r)] \wedge \sim p \equiv ( \sim p \wedge \sim q \wedge \sim r) \vee ( \sim p \wedge q \wedge r)\)

گزینه 3 درست است .

برای ساده کردن گزاره فوق به ترتیب زیر عمل می کنیم : 

\( \sim [( \sim (p \vee \sim q) \vee (p \wedge \sim q)) \Rightarrow r] \equiv \sim [(( \sim p \wedge q) \vee (p \wedge \sim q)) \Rightarrow r]\)

\( \equiv \sim [ \sim (( \sim p \wedge q) \vee (p \wedge \sim q)) \vee r] \equiv (( \sim p \wedge q) \vee (p \wedge \sim q)) \wedge \sim r\)

\( \equiv ( \sim p \wedge q \wedge \sim r) \vee (p \wedge \sim q \wedge \sim r)\)

که با گزینه 4 برابر است .

می دانیم برای اینکه \(A \times B = B \times A\)  باشد لازم است A=B. یعنی :

\(\begin{array}{l}\{ a - 2,6,2b + 1,c\} = \{ \sqrt d ,5, - 1\} \\\end{array}\)

\(\sqrt d = 6 \Rightarrow d = 36\)

اولا A باید دارای 3 عضو باشد،پس :

\( \Rightarrow a - 2 = 6 \Rightarrow a = 8\)حالت اول

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1)\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2b + 1 = 5 \Rightarrow b = 2}\\{c = - 1}\end{array}} \right. \Rightarrow a + b + c = 9 \to true}\\{2)\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2b + 1 = - 1 \Rightarrow b = - 1}\\{c = 5}\end{array}} \right. \Rightarrow a + b + c = 12 \to untrue}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow 2b + 1 = 6 \Rightarrow b = \frac{5}{2}\)حالت دوم

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1)\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a - 2 = 5 \Rightarrow a = 7}\\{c = - 1}\end{array}} \right. \Rightarrow a + b + c = 8.5 \to untrue}\\{2)\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a - 2 = - 1 \Rightarrow a = 1}\\{c = 5}\end{array}} \right. \Rightarrow a + b + c = 8.5 \to untrue}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow c = 6\)حالت سوم

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1)\left\{ \begin{array}{l}2b + 1 = 5 \Rightarrow b = 2\\a - 2 = - 1 \Rightarrow a = 1\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = 9 \to true\\2)\left\{ \begin{array}{l}a - 2 = 5 \Rightarrow a = 7\\2b + 1 = - 1 \Rightarrow b = - 1\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = 12 \to untrue\end{array} \right.\)

البته ممکن است حالات زیر نیز رخ دهد.

\(1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 2 = c = 5 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{c = 5}\end{array}} \right.\\2b + 1 = - 1 \Rightarrow b = - 1\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = 11 \to untrue\)

\(2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 2 = c = - 1 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{c = - 1}\end{array}} \right.\\2b + 1 = 5 \Rightarrow b = 2\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = 2 \to untru\)

\(3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b + 1 = c = 5 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 1}\\{b = 2}\end{array}} \right.\\a - 2 = - 1 \Rightarrow a = 1\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = 8 \to untrue\)

\(4 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b + 1 = c = - 1 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = - 1}\\{b = - 1}\end{array}} \right.\\a - 2 = 5 \Rightarrow a = 7\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = 5 \to untrue\)

\(5 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b + 1 = a - 2 = 5 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 2}\\{a = 7}\end{array}} \right.\\c = - 1\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = 8 \to untrue\)

\(6 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b + 1 = a - 2 = - 1 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = - 1}\\{a = 1}\end{array}} \right.\\c = 5\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = 5 \to untrue\)

\([ \sim p \wedge ( \sim q \wedge r)] \vee (q \wedge r) \vee (p \wedge r)\)

\( \equiv [( \sim p \wedge \sim q) \wedge r] \vee [(q \vee p) \wedge r]\)

\( \equiv [ \sim (p \vee q) \wedge r] \vee [(p \vee q) \wedge r]\)

\( \equiv r \wedge [\underbrace { \sim (p \vee q) \vee (p \vee q)]}_T \equiv r\)