نمونه سوالات تشریحی فصل 5 ریاضی هشتم همراه با جواب تشریحی

از تعریف بردارها استفاده می کنیم:

\(\begin{array}{l}1)\,\overrightarrow {AB} = B - \,A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}\\3\end{array}} \right]\, - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}4\\3\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2 - 4}\\{3 - 3}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 6}\\0\end{array}} \right]\\\\\\2)\,\overrightarrow {AB} = B - \,A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}x\\3\end{array}} \right]\, - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2\\y\end{array}} \right] \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}5\\1\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2}\\{3 - y}\end{array}} \right]\\\\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2 = 5}\\{3 - y = 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 7}\\{y = 2}\end{array}} \right. \Rightarrow A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2\\2\end{array}} \right]\,\,,B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}7\\3\end{array}} \right]\end{array}\)

1) بردار \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}5\\0\end{array}} \right]\)، عرضش صفر است؛ پس موازی محور طول ها است.

2) بردار \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3\\2\end{array}} \right]\) هیچ یک از مؤلفه هایش صفر نیست؛ پس موازی هیچ کدام از محورها نیست.

3) برای اینکه برداری موازی محور y باشد، باید طول آن صفر باشد؛ پس \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\{ - 4}\end{array}} \right]\) موازی محور y است.

ابتدا بردار \(\vec a = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2\\{ - 1}\end{array}} \right]\) با نقطه ابتدا مبدأ را رسم می کنیم که یعنی از مبدأ دو واحد به راست و یک واحد به پایین می رویم:

برای رسم \(3\vec a\) و \( - \vec a\) می توانیم مختصات \(\vec a\) را در 3 و \( - 1\) ضرب کنیم؛ یعنی \(\;3\vec a = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 \times 2}\\{3 \times \left( { - 1} \right)}\end{array}} \right]\) و \( - \vec a = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( { - 1} \right) \times 2}\\{\left( { - 1} \right) \times \left( { - 1} \right)}\end{array}} \right]\)؛ در نتیجه:

\(\;3\vec a = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}6\\{ - 3}\end{array}} \right]\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\; - \vec a = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}\\1\end{array}} \right]\)

این دو بردار را جداگانه رسم می کنیم:

\(\begin{array}{l}1)\,\,\frac{1}{3}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}9\\{ - 6}\end{array}} \right] = \,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{9}{3}}\\{\frac{{ - 6}}{3}}\end{array}} \right]\, = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3\\{ - 2}\end{array}} \right] = 3\vec i - 2\vec j\\\\2)\,\,2\vec i - 3\vec j + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}5\\4\end{array}} \right] = 2\vec i - 3\vec j + 5\vec i + 4\vec j = \\\left( {2 + 5} \right)\vec i + \left( { - 3 + 4} \right)\vec j = 7\vec i + \vec j\\\\3)\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2\\0\end{array}} \right] - 2\vec j = 2\vec i + 0\vec j - 2\vec j = 2\vec i - 2\vec j\\\\4)\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\3\end{array}} \right] - 3\vec j = 0\vec i + 3\vec j - 3\vec j = 0\vec i + 0\vec j\end{array}\)

دو بردار مساوی دارای طول و عرض مساوی هستند.

\(\begin{array}{l}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{5m - 2}\\{3n + 1}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}8\\{2n}\end{array}} \right] \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5m - 2 = 8}\\{3n + 1 = 2n}\end{array}} \right.\\\\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5m = 10}\\{3n - 2n = - 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 2}\\{n = - 1}\end{array}} \right.\end{array}\)

\(\begin{array}{l}1)\,\,2\vec x + \vec i = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}5\\6\end{array}} \right] \Rightarrow 2\vec x = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}5\\6\end{array}} \right] - \vec i = \\\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}5\\6\end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}4\\6\end{array}} \right] \Rightarrow \vec x\frac{1}{2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}4\\6\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2\\3\end{array}} \right]\\\\2)\,\,\vec i + \vec x = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3\\5\end{array}} \right] \Rightarrow \vec x = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3\\5\end{array}} \right] - \vec i = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3\\5\end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}} \right]\\ \Rightarrow \vec x = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2\\5\end{array}} \right]\\\\3)\,\,3\vec i + 2\vec j + 2\vec x = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}5\\6\end{array}} \right] \Rightarrow 2\vec x = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}5\\6\end{array}} \right] - 3\vec i - 2\vec j = \\\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}5\\6\end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3\\0\end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\2\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2\\4\end{array}} \right] \Rightarrow \vec x = \frac{1}{2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2\\4\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\2\end{array}} \right]\end{array}\)

\(1)\,\vec b + \vec c = \vec a\)

\(2)\,\vec a + \vec b + \vec c = \vec d\)

توضیح 1) از A دو خط مشخص شده رسم می کنیم تا نقاط B و C مشخص شوند؛ پس بردارهای OB و OC تجزیه بردار OA هستند.

توضیح 2) \(\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} \)

\(1)\,\vec c = \vec a + \vec b\)

\(2)\,\vec d = - 2\vec a + 3\vec b \)

بردار  را 3 بار به نقطه A اضافه می کنیم تا نقطه B به دست آید:

\(\begin{array}{l}B = A + 3\vec v = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\3\end{array}} \right] + 3\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\{ - 2}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\3\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3\\{ - 6}\end{array}} \right] = \\\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + 3}\\{3 - 6}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}4\\{ - 3}\end{array}} \right]\end{array}\)

مجموع بردارهای \({\overrightarrow F _1}\) و \({\overrightarrow F _2}\) را به دست می آوریم (به روش جمع برداری) تا جهت حرکت یعنی همان \({\overrightarrow F _1} + {\overrightarrow F _2}\) به دست آید:

از رابطه بردارها استفاده می کنیم:

نقطه ابتدا – نقطه انتها = بردار

\(\vec c = B - A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3\\4\end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\2\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 - 1}\\{4 - 2}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2\\2\end{array}} \right]\)

\(\begin{array}{l}B = A + \vec a = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3\\{ - 4}\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\2\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 + 1}\\{ - 4 + 2}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}4\\{ - 2}\end{array}} \right]\\\\C = B + \vec b = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}4\\{ - 2}\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}\\1\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 - 2}\\{ - 2 + 1}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2\\{ - 1}\end{array}} \right]\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\vec c = 2\vec a - 3\vec b = 2\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2\\3\end{array}} \right] - 3\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\{ - 4}\end{array}} \right] = \\\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 \times 2}\\{3 \times 2}\end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 \times 3}\\{ - 4 \times 3}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}4\\6\end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3\\{ - 12}\end{array}} \right] = \\\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 - 3}\\{6 + 12}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\{18}\end{array}} \right]\end{array}\)

بردار \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}4\\{ - 1}\end{array}} \right]\) بعنی چهار واحد به سمت راست و یک واحد به سمت پایین؛ یعنی به صورت:

\(\begin{array}{l}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2\\{ - 4}\end{array}} \right] + 3\vec x = 3\vec i + 5\vec j - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2\\1\end{array}} \right] - \vec x\\\\ \Rightarrow 3\vec x + \vec x = 3\vec i + 5\vec j - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2\\1\end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2\\{ - 4}\end{array}} \right]\\\\ \Rightarrow 4\vec x = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3\\0\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\5\end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2\\1\end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2\\{ - 4}\end{array}} \right] = \\\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 + 0 - 2 - 2}\\{0 + 5 - 1 - \left( { - 4} \right)}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}\\8\end{array}} \right]\\\\ \Rightarrow \vec x = \frac{1}{4}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}\\8\end{array}} \right] \Rightarrow \vec x = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{1}{4}}\\2\end{array}} \right]\end{array}\)

\(\begin{array}{l}1)\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5}\\6\end{array}} \right] = - 5\vec i + 6\vec j\\\\2)\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3\\{ - 4}\end{array}} \right] = 3\vec i - 4\vec j\end{array}\)

\(\begin{array}{l}1)\,3\vec i - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2\\1\end{array}} \right] + 4\vec j = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3\\0\end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2\\1\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\4\end{array}} \right] = \\\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 - 2 + 0}\\{0 - 1 + 4}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\3\end{array}} \right]\\\\2)\, - 5\vec j + 3\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\2\end{array}} \right] - 2\vec i = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\{ - 5}\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 \times 3}\\{2 \times 3}\end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2\\0\end{array}} \right] = \\\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 + 3 - 2}\\{ - 5 + 6 - 0}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\1\end{array}} \right]\end{array}\)

مساوی

راستا، جهت، اندازه

موازی

برابر

صفر

صفر

نیمساز ناحیه اول و سوم

نیمساز ناحیه دوم و چهارم

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}} \right]\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\1\end{array}} \right]\)

جمع برداری

مثلث، متوازی الاضلاع

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{kx}\\{ky}\end{array}} \right]\)

تجزیه بردار

بردار

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\1\end{array}} \right]\)

طول ها (یا x ها)

عرض ها (یا y ها)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{3}{2}}\\{\frac{5}{2}}\end{array}} \right]\)

راست، پایین