نمونه سوالات فصل 2 ریاضی و آمار دهم انسانی همراه با جواب تشریحی

مولفه اول زوج های اول و چهارم برابر است پس:

\(\begin{array}{l}{m^2} - 2m = 3 \Rightarrow m = 3, - 1\\ \Rightarrow m = - 1\end{array}\)

ولی اگر\(m = 3\)  باشد، باز هم تابع نمی باشد.(زوج دوم و سوم)

چون زوج مرتب اول و سوم دارای مولفه های اول یکسان هستند، باید \(y\)  های مساوی داشته باشند:

\({m^2} + 4 = - m - 6 \Rightarrow {m^2} + m + 10 = 0 \Rightarrow \Delta < 0\)

به ازاء هیچ مقدار\(m\) تابع نیست.

بله، زیرا از هر عضو یک پیکان خارج شده است.

خیر تابع نیست. از عدد 2 دو پیکان خارج شده است.

خیر تابع نیست. زیرا دو زوج مرتب متمایز دارای مولفه ی اول برابر هستند.

\(f = \left\{ {\underline {\left( {2,1} \right)} ,\overline {\left( {3,2} \right)} \underline {\left( {2,2} \right)} ,\overline {\left( {3,4} \right)} ,\left( {5,1} \right)} \right\}\)

بله تابع است زیرا به هر شخص یک شماره ی ملی نسبت داده می شود.  

باید \(d\) یا  \({d'}\) حذف شود تا نمودار پیکانی نمودار یک تابع شود.

نکته: اگر \(c\) یا  \({c'}\) حذف شود به هیچ عضو وصل نمی شود و باز هم نمودار یک تابع نخواهد بود.

خیر تابع نیست. زیرا به هر عضو از مجموعه اول دو عضو از مجموعه ی دوم نسبت داده شده است.         

بله تابع است زیرا به هر فرد یک عضو نسبت داده شده است.

خیر تابع نیست زیرا به عدد2 از مجموعه اول دو عضو از مجموعه دوم نسبت داده شده است.

خیر تابع نیست.یک شهر ممکن است چند سوغاتی داشته باشد.

بله تابع است. هر فرد یک روز تولد دارد.

خیر تابع نیست. چون ممکن است یک شهر چند نماینده داشته باشد.

بله تابع است. زیرا هر مسلمان یک قبله دارد.

بله تابع است.

خیر تابع نیست.

\(\begin{array}{l}\left( {2,x + y} \right) = \left( {2,4} \right) \Rightarrow x + y = 4\\\left( {5,2} \right) = \left( {5,x - y} \right) \Rightarrow x - y = 2\\\underline {\left\{ \begin{array}{l}x + y = 4\\x - y = 2\end{array} \right.} \\2x = 6 \Rightarrow x = \frac{6}{2} \Rightarrow x = 3\\3 + y = 4 \Rightarrow y = 4 - 3 \Rightarrow y = 1\\{x^2} + {y^2} = {\left( 3 \right)^2} + {\left( 1 \right)^2} = 9 + 1 = 10 \Rightarrow f = \left\{ {\left( {2,4} \right),\left( {5,2} \right),\left( {3,4} \right)} \right\}\end{array}\)

فقط نمودار     تابع است. زیرا اگر در نمودار های دیگرخطی موازی محور  yها را رسم کنیم،نمودار را در دو نقطه قطع می کند.

اگر خطوط موازی محورy ها را رسم کنیم آن گاه متوجه می شویم در نمودار(1) و (4) خطی وجود دارد که منحنی را بیش از یک بار قطع می کنند پس تابع نیستند، یعنی فقط (2) و (3) تابع اند.

\(\begin{array}{l}f\left( 2 \right) = 3 & f\left( 1 \right) = - 1\\f\left( 3 \right) = 2 & f\left( { - 1} \right) = 0\end{array}\)

\(f\left( {\sqrt 2 - 1} \right) = \sqrt 2 + \left( {\sqrt 2 - 1} \right) = 2\sqrt 2 - 1\)

\(f\left( {3 - \sqrt 2 } \right) = \sqrt 2 + \left( {3 - \sqrt 2 } \right) = 3\)

\(f\left( { - \sqrt 2 } \right) = \sqrt 2 - \left( { - \sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 \)

\(\left. \begin{array}{l}f\left( {g\left( 2 \right)} \right) = f\left( { - 2} \right) = - 1\\g\left( {f\left( { - 1} \right)} \right) = g\left( 1 \right) = - 3\end{array} \right\} \Rightarrow \frac{{f\left( {g\left( 2 \right)} \right)}}{{g\left( {f\left( { - 1} \right)} \right)}} = \frac{1}{3}\)

\(f\left( 0 \right) = {0^2} + 0 + 1 = 1\)(الف

\(f\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^2} + \left( { - 1} \right) + 1 = 1 - 1 + 1 = 1\)

\(\begin{array}{l}f\left( 1 \right) = {\left( 1 \right)^2} + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3\\f\left( 2 \right) = {\left( 2 \right)^2} + 2 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7\end{array}\)

\(B = \left\{ {1,3,7} \right\}\)

\(B = \left\{ {3,2,0,\frac{3}{2},\frac{1}{2}} \right\}\)(ب

\(\begin{array}{l}f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{\frac{1}{2} + 1}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{\frac{3}{2}}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{3}{1} = 3\\f\left( 2 \right) = \frac{{2 + 1}}{2} = \frac{3}{2}\\f\left( 1 \right) = \frac{{1 + 1}}{1} = 2\\f\left( { - 1} \right) = \frac{{ - 1 + 1}}{{ - 1}} = \frac{0}{{ - 1}} = 0\\f\left( { - 2} \right) = \frac{{ - 2 + 1}}{{ - 2}} = \frac{{ - 1}}{{ - 2}} = \frac{1}{2}\\\\f\left( 1 \right) = \sqrt {1 + 1} = \sqrt 2 \\f\left( 2 \right) = \sqrt {2 + 1} = \sqrt 3 \\f\left( 3 \right) = \sqrt {3 + 1} = \sqrt 4 = 2\\f\left( 4 \right) = \sqrt {4 + 1} = \sqrt 5 \\f\left( 8 \right) = \sqrt {8 + 1} = \sqrt 9 = 3\\B = \left\{ {1,\sqrt 2 ,\sqrt 3 ,2,\sqrt 5 ,3} \right\}\end{array}\)

\(f\left( 0 \right) = 0\)(الف

\(\begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 1\\B = w = \left\{ {0,1,2,...} \right\}\end{array}\)

\(f\left( 0 \right) = 0\)(ب

\(\begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 0\\f\left( { - 100} \right) = 0\\f\left( {500} \right) = 0\\B = \left\{ 0 \right\}\end{array}\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = 2\)\(\begin{array}{l}{D_f} = \left\{ {0,1,2,3,4} \right\}\\{R_f} = \left\{ 2 \right\}\end{array}\)\(f = \left\{ {\left( {0,2} \right),\left( {1,2} \right),\left( {2,2} \right),\left( {3,2} \right),\left( {4,2} \right)} \right\} \Rightarrow \)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = x\)\(\begin{array}{l}{D_f} = \left[ { - 1,4} \right]\\{R_f} = \left[ { - 1,4} \right]\end{array}\)

\(2x + 3y - 5 = 0 \Rightarrow 3y = - 2x + 5 \Rightarrow y = - \frac{2}{3}x + \frac{5}{3} \Rightarrow m = \frac{{ - 2}}{3}\)

\(:y - 2 = \frac{{ - 2}}{3}\left( {x - 1} \right)\)معادله خط\(m = m' \Rightarrow m' = \frac{{ - 2}}{3} \Rightarrow \) دوخط موازی شیب های مساوی دارند.

\( \Rightarrow 3y - 6 = - 2x + 2 \Rightarrow 3y + 2x - 8 = 0 \)

\(y - 0 = \frac{{5 - 0}}{{2 - 0}}\left( {x - 0} \right) \Rightarrow y = \frac{5}{2}x\)

در خطوط موازی با محور y ها شیب، تعریف نشده است و معادله آنها به صورت x=x  می باشد بنابراین معادله خط مزبور به صورت  2=x می باشد.

\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y - 5 = 0\\4x + 2y - 1 = 0\end{array} \right.\)

دو خط متقاطع هستند\( \Rightarrow \)\(\begin{array}{l}2x + 3y - 5 = 0 \Rightarrow {m_1} = \frac{{ - a}}{b} \Rightarrow {m_1} = \frac{{ - 2}}{3}\\4x + 2y - 1 = 0 \Rightarrow {m_2} = \frac{{ - 4}}{2} = - 2\end{array}\)

دو خط متقاطع هستند\( \Rightarrow \)\(\begin{array}{l}2x + 3y - 5 = 0 \Rightarrow {m_1} = \frac{{ - a}}{b} \Rightarrow {m_1} = \frac{{ - 2}}{3}\\4x + 2y - 1 = 0 \Rightarrow {m_2} = \frac{{ - 4}}{2} = - 2\end{array}\)

\(y = x + 3 \Rightarrow m = 1\)

 \( \Rightarrow m' = \frac{{ - 1}}{m} \Rightarrow m' = \frac{{ - 1}}{1} = - 1\)خطوط عمود

\(\begin{array}{l} \Rightarrow y - {y_A} = m'\left( {x - {x_A}} \right) \Rightarrow \\y - 3 = - 1\left( {x - 2} \right) \Rightarrow \\y = - x + 2 + 3 \Rightarrow y = - x + 5\end{array}\)

\(\begin{array}{l}m = \frac{{{y_B} - {y_A}}}{{{x_B} - {x_A}}} = \frac{{0 - 2}}{{ - 2 - 0}} = 1\\y - {y_A} = m\left( {x - {x_A}} \right) \Rightarrow \\y - 2 = 1\left( {x - 0} \right) \Rightarrow y = x + 2\end{array} \)

\( = {m_1} = \frac{{{y_B} - {y_A}}}{{{x_B} - {x_A}}} = \frac{{0 - 3}}{{4 - 0}} \Rightarrow {m_1} = \frac{{ - 3}}{4}\)شیب خط \({D_1}\)

\(\begin{array}{l}y - {y_A} = {m_1}\left( {x - {x_A}} \right) \Rightarrow \\y - 3 = \frac{{ - 3}}{4}\left( {x - 0} \right)\\ \Rightarrow y = \frac{{ - 3}}{4}x + 3{D_1}\end{array}\)معادله خط\({D_1}\)

شیب دو خط عمود بر هم، عکس و قرینه یکدیگرند:\( = {m_2} = \frac{{ - 1}}{{{m_1}}} \Rightarrow {m_2} = \frac{4}{3}\)شیب خط  \({D_1} \bot {D_2} \Rightarrow {D_2}\)

معادله خط   \(y = ax \Rightarrow {D_2}\) معادله خطی که از مبدأ می گذرد.

برای این که خطی از نقطه ای بگذرد و یا به عبارتی دیگر برای این که نقطه ای روی خطی قرار داشته باشد بایستی مختصات آن نقطه در معادله ی خط صدق کند.پس مختصات نقطه A را در معادله قرار می دهیم:

\(\begin{array}{l} - 2 + n\left( { - 3} \right) - n + 8 = 0\\ \Rightarrow - 4n + 6 = 0 \Rightarrow n = \frac{3}{2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left( {a - 2} \right)x - y + 5 = 0 & \\\left( {3a + 2} \right)x - y = 0\\\frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} \Rightarrow \frac{{a - 2}}{{3a + 2}} = \frac{{ - 1}}{{ - 1}} = 1 \Rightarrow \\a - 2 = 3a + 2 \Rightarrow a = - 2\end{array}\)

شرط توازی دو خط:                                                                                           

\(\frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} \ne \frac{c}{{c'}}\)

\( y = 2x - 3\)

\(m = \frac{{4 - 0}}{{0 - 2}} \Rightarrow m = - 2\)

\(\begin{array}{l}m = \frac{{8 - 5}}{{2 - 1}} = 3\\5 = 3 \times 1 + h \Rightarrow h = 5 - 3 \Rightarrow h = 2\end{array}\)

\(y = f\left( x \right) = 3x + 2\) معادله خط

\(\begin{array}{l}f\left( { - 3} \right) = 3\left( { - 3} \right) + 2 = - 9 + 2 = - 7\\f\left( 5 \right) = 3\left( 5 \right) + 2 = 15 + 2 = 17\end{array}\)

الف)                                                                                                                 \(R\left( x \right) = 70x\):درآمد

\(P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right)\):سود

\(P\left( x \right) = 70x - \left( {3000 + 50x} \right)\)

\(P\left( x \right) = 20x - 3000\):سود

ب)                                                                           \(\begin{array}{l}p\left( x \right) = 0\\20x - 3000 = 0 \Rightarrow \frac{{\not 20x}}{{\not 20}} = \frac{{3000}}{{20}} \Rightarrow x = 150\end{array}\)

پس باید حداقل یکی بیش تر، یعنی 151 کالا بفروشد تا سود دهی آغاز شود.                                       

\( \Rightarrow 2a = 6 \Rightarrow a = 3 \to b = - 6\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 - 2b = + 6\\4a + 2b = 0\end{array} \right.\)\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 3 \Rightarrow c = 3\\f\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow a + b + c = 0 \Rightarrow a + b = - 3\\f\left( 2 \right) = 3 \Rightarrow 4a + 2b + c = 3 \Rightarrow 4a + 2b = 0\end{array} \right.\)

\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}4 - {x^2} & x < 0\\x + 4 & x \ge 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow 3 = a \times {\left( 0 \right)^2} + b \times \left( 0 \right) + c \Rightarrow c = 3\) سهمی \(\left( {0,3} \right) \in \)

\( \Rightarrow 0 = a \times {\left( 1 \right)^2} + b \times \left( 1 \right) + c\) سهمی \(\left( {1,0} \right) \in \)

\( \Rightarrow 3 = a \times {\left( 2 \right)^2} + b \times \left( 2 \right) + c\) سهمی \(\left( {2,3} \right) \in \)

\(\left\{ \begin{array}{l}a + b = - 3\\2a + b = 0\end{array} \right. \Rightarrow a = 3,b = - 6\)

طول راس    \(y = - {x^2} + 6x - 10 \Rightarrow x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 6}}{{2\left( { - 1} \right)}} = 3\)

طول راس     \(y = 2{x^2} + 4x + 1 \Rightarrow x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 4}}{{2\left( 2 \right)}} = - 1\)

هزینه \( - C\left( x \right)\) درآمد \(R\left( x \right)\) = سود \(P\left( x \right)\)

درجه ی 2 سهمی ، ماکزیمم در رأس اتفاق می افتد.

\(\begin{array}{l}x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - \left( { + 12} \right)}}{{\not 2\left( { - \frac{1}{{\not 2}}} \right)}} = + 12 \Rightarrow x = 12\\P\left( { + 12} \right) = \frac{{ - 1}}{2}{\left( {12} \right)^2} + 12\left( {12} \right) - 40\end{array}\)

ماکسیمم مقدار سود \(P\left( {12} \right) = 32\)

درآمد \(R\left( x \right) = 200x\) (الف

سود    \(\begin{array}{l}P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = 200x - \left( {{x^2} + 40x + 100} \right)\\ \Rightarrow P\left( x \right) = - {x^2} + 160x - 100\end{array}\)

ب) تابع سود ، درجه 2 و سهمی است، پس ماکزیمم در رأس آن اتفاق می افتد:

 طول راس \(x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 160}}{{2\left( { - 1} \right)}} \Rightarrow x = 80\)

یعنی 80 لامپ در روز تولید کند تا بیش ترین سود را داشته باشد.

پ) \(x = 80\)  را در تابع سود جایگزین می کنیم.

بیش ترین سود روزانه ی کارگاه   \(P\left( {80} \right) = - {80^2} + 160\left( {80} \right) - 100 \Rightarrow P\left( {80} \right) = 6300\)

 طول راس    \(y = - {x^2} + 6x + 10 \Rightarrow x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 6}}{{2\left( 1 \right)}} = 3\)

طول راس   \(y = {x^2} + 4x - 2 \Rightarrow x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 4}}{{2\left( 1 \right)}} = - 2\)

این دو سهمی نقطه برخورد ندارند (همدیگر را قطع نمی کنند.)

\(x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 0}}{{2\left( { - 1} \right)}} \Rightarrow x = 0 \Rightarrow y = 4 - {0^2} \Rightarrow y = 4\) (ب

 راس  \(\left( {0,4} \right)\)

\(x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - \left( { - 4} \right)}}{{2\left( 2 \right)}} \Rightarrow x = 1 \Rightarrow y = 2{\left( 1 \right)^2} - 4\left( 1 \right) + 1 \Rightarrow y = - 1\) (پ

\(\begin{array}{l}y = 2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + = 2{x^2} - 4x + 2 + 1\\y = 2{x^2} - 4x + 3\end{array}\) : اول ساده کردن اتحاد مربع دو جمله ای (ت

راس  \(\left( {1,1} \right)\)      \(x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - \left( { - 4} \right)}}{{2\left( 2 \right)}} \Rightarrow x = 1 \Rightarrow y = 2{\left( 1 \right)^2} - 4\left( 1 \right) + 3 \Rightarrow y = 1\)

توجه:طول رأس همان قرینه عدد داخل پرانتز دارای توان 2 است.

عرض رأس ، همان عدد بعد از پرانتز دارای توان 2 است.

\(C\left( x \right) = 3000 + 200x\) هزینه

تومان \( = 1200 - 200 = 1000\)قیمت \(x = 200 \Rightarrow \) (الف

تومان\(1200 - 300 = 900\)قیمت \(x = 300 \Rightarrow \)

هزینه \(C\left( {300} \right) = 30000 + 200 \times 200 = 70/000\)\(x = 200 \Rightarrow \) (ب

\(C\left( {300} \right) = 30000 + 200 \times 300 = 90/000\)هزینه \(x = 300 \Rightarrow \)

\(P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right)\) (پ

\(\begin{array}{l}P\left( x \right) = x\left( {1200 - x} \right) - \left( {3000 + 200x} \right)\\P\left( {100} \right) = 100\left( {1200 - 100} \right) - \left( {3000 + 200 \times 100} \right) = 60/000\\P\left( {200} \right) = 200\left( {1200 - 200} \right) - \left( {3000 + 200 \times 200} \right) = 130/000\\P\left( {300} \right) = 300\left( {1200 - 300} \right) - \left( {3000 + 200 \times 100} \right) = 180/000\end{array}\)

\(P\left( x \right) = x\left( {1200 - x} \right) - \left( {3000 + 200x} \right) = 1000x - {x^2} - 30/000\)

(متراژی که رنگ می کند) \( \times X\)  ((قیمت) X  -1200)=\(R\left( x \right)\) درآمد

نیازی به ضرب کردن نیست چون در قسمت (پ) شده است.