گام به گام تمرین صفحه 23 درس 1 ریاضی (2) (هندسۀ تحلیلی و جبر)

1)

(الف \(\frac{1}{x} + \frac{1}{{x - 2}} = 5\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{x} \times x\left( {x - 2} \right) + \frac{1}{{x - 2}} \times x\left( {x - 2} \right)\\ = 5 \times x\left( {x - 2} \right) \Rightarrow x - 2 + x = 5{x^2} - 10x\\ \Rightarrow 5{x^2} - 12x + 2 = 0\\ \Rightarrow \Delta  = 104 \Rightarrow x = \frac{{12 \pm 2\sqrt {26} }}{{10}}\end{array}\)

هر دو جواب قابل قبول هستند؛ زیرا مخرج را صفر نمی کنند.

(ب \(\frac{{10}}{r} - \frac{{15}}{2} = \frac{2}{{3r}} – 5\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{10}}{r} \times 6r - \frac{{15}}{2} \times 6r = \frac{{20}}{{3r}} \times 6r - 5 \times 6r\\ \Rightarrow 60 - 45r = 40 - 30r\\ \Rightarrow 15r = 20 \Rightarrow r = \frac{{20}}{{15}} = \frac{4}{3}\\r = \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{{10}}{{\frac{4}{3}}} - \frac{{15}}{2} = \frac{{20}}{{3 \times \frac{4}{3}}} - 5\\ \Rightarrow \frac{{15}}{2} - \frac{{15}}{2} = 5 - 5 \Rightarrow 0 = 0\end{array}\)

(پ \(\frac{{2x}}{{x - 3}} + \frac{{x + 1}}{{x + 4}} = \frac{{x - 1}}{{x - 3}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{2x}}{{x - 3}} \times \left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right) + \frac{{x + 1}}{{x + 4}} \times \left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right)\\ = \frac{{x - 1}}{{x - 3}} \times \left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right)\\ \Rightarrow 2{x^2} + {x^2} - 2x - 3 = {x^2} + 3x - 4\\ \Rightarrow 2{x^2} - 5x + 1 = 0 \Rightarrow \Delta  = 17 \Rightarrow x = \frac{{5 \pm \sqrt {17} }}{4}\end{array}\)

هر دو جواب قابل قبول هستند؛ زیرا مخرج را صفر نمی کنند.

(ت \(k = \sqrt {t + 4}  - 2\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {\sqrt {t + 4} } \right)^2} = {3^2} \Rightarrow t + 4 = 9 \Rightarrow t = 5\\t = 5 \Rightarrow \sqrt {5 + 4}  = 3 \Rightarrow \sqrt 9  = 3 \Rightarrow 3 = 3\end{array}\)

(ث \(k = \sqrt {6k - 8}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {k^2} = {\left( {\sqrt {6k - 8} } \right)^2} \Rightarrow {k^2} = 6k - 8\\ \Rightarrow {k^2} - 6k + 8 = 0 \Rightarrow \left( {k - 2} \right)\left( {k - 4} \right) = 0\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 2\\k = 4\end{array} \right.\\k = 2 \Rightarrow 2 = \sqrt {6\left( 2 \right) - 8}  \Rightarrow 2 = \sqrt 4 \\ \Rightarrow 2 = 2\\k = 4 \Rightarrow 4 = \sqrt {6\left( 4 \right) - 8}  \Rightarrow 4 = \sqrt {16} \\ \Rightarrow 4 = 4\end{array}\)

هر دو جواب قابل قبول هستند:

(ج \(x + \sqrt x  = 6\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt x  = 6 - x \Rightarrow {\left( {\sqrt x } \right)^2} = {\left( {6 - x} \right)^2}\\ \Rightarrow x = 36 - 12x + {x^2} \Rightarrow {x^2} - 13x + 36 = 0\\ \Rightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {x - 9} \right) = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\x = 9\end{array} \right.\\x = 4 \Rightarrow 4 + \sqrt 4  = 6 \Rightarrow 4 + 2 = 6 \Rightarrow 6 = 6\\x = 9 \Rightarrow 9 + \sqrt 9  = 6 \Rightarrow 9 + 3 = 6 \Rightarrow 12 = 6\end{array}\)

واضح است که x=9 قابل قبول نیست

(ج \(\sqrt {x + 1}  - \sqrt {2x - 5}  = 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {2x - 5}  = 1 - \sqrt {x + 1}  \Rightarrow {\left( {\sqrt {2x - 5} } \right)^2} = {\left( {1 - \sqrt {x + 1} } \right)^2}\\ \Rightarrow 2x - 5 = 1 - 2\sqrt {x + 1}  + x + 1 \Rightarrow 2\sqrt {x + 1}  = 7 - x\\ \Rightarrow {\left( {2\sqrt {x + 1} } \right)^2} = {\left( {7 - x} \right)^2} \Rightarrow 4x + 4 = {x^2} - 14x + 49\\ \Rightarrow {x^2} - 18x + 45 = 0 \Rightarrow \left( {x - 15} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 15\\x = 3\end{array} \right.\\x = 15 \Rightarrow \sqrt {15 + 1}  - \sqrt {2\left( {15} \right) - 5}  = 1\\ \Rightarrow \sqrt {16}  - \sqrt {25}  = 1 \Rightarrow  - 1 = 1\\x = 3 \Rightarrow \sqrt {3 + 1}  - \sqrt {2\left( 3 \right) - 5}  = 1\\ \Rightarrow \sqrt 4  - \sqrt 1  = 1 \Rightarrow 1 = 1\end{array}\)

واضح است که x=1 قابل قبول نیست

 (ح \(\sqrt m  + \frac{1}{{\sqrt m }} = 2\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt m  \times \sqrt m  + \frac{1}{{\sqrt m }} \times \sqrt m  = 2 \times \sqrt m \\ \Rightarrow m + 1 = 2\sqrt m  \Rightarrow m - 2\sqrt m  + 1 = 0\\ \Rightarrow {\left( {\sqrt m  - 1} \right)^2} = 0 \Rightarrow \sqrt m  = 1 \Rightarrow m = 1\\m = 1 \Rightarrow \sqrt 1  + \frac{1}{{\sqrt 1 }} = 2 \Rightarrow 1 + 1 = 2 \Rightarrow 2 = 2\end{array}\)

2)

زمانی را که علی برای 16 صفحه صرف می کند 2 ساعت یا 120 دقیقه است؛ پس در 1 دقیقه \(\frac{{16}}{{120}}\)  صفحه ویرایش می کند. زمانی را که علی و رضا برای ویرایش 16 صفحه صرف می کنند 1ساعت 20 دقیقه یا 80 دقیقه است.پس در 1 دقیقه با هم \(\frac{{16}}{{80}}\) صفحه ویرایش می کنند. اگر زمانی را که رضا صرف ویرایش 16 صفحه به تنهایی می کند x در نظر بگیریم، پس در 1 دقیقه \(\frac{{16}}{x}\) صفحه ویرایش می کند. پس داریم:

\(\begin{array}{l}\frac{{16}}{{120}} + \frac{{16}}{x} = \frac{{16}}{{80}} \Rightarrow \frac{{16}}{{120}} \times 240 + \frac{{16}}{x} \times 240 = \frac{{16}}{{80}} \times 240\\ \Rightarrow 2x + 240 = 3x \Rightarrow x = 240\end{array}\)

3)

\(t = 1 \Rightarrow 1 = \sqrt {10 - \frac{h}{5}}  \Rightarrow {1^2} = {\left( {\sqrt {10 - \frac{h}{5}} } \right)^2} \\\Rightarrow 1 = 10 - \frac{h}{5} \Rightarrow h = 45\)

4)

الف)

\(\begin{array}{l}\sqrt x  - x = \frac{x}{2} \Rightarrow 2\sqrt x  - 2x = x \Rightarrow 2\sqrt x  = 3x\\ \Rightarrow {\left( {2\sqrt x } \right)^2} = {\left( {3x} \right)^2} \Rightarrow 4x = 9{x^2} \Rightarrow 9{x^2} - 4x = 0\\ \Rightarrow x\left( {9x - 4} \right) = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{9}{4}\end{array} \right.\end{array}\)

با توجه به اینکه عدد بدست آمده باید صحیح باشد، بنابراین فقط جواب 0= x قابل قبول است .

ب)

\(\begin{array}{l}x - \sqrt x  = \frac{x}{2} \Rightarrow 2x - 2\sqrt x  = x \Rightarrow 2\sqrt x  = x\\ \Rightarrow {\left( {2\sqrt x } \right)^2} = {x^2} \Rightarrow {x^2} = 4x \Rightarrow {x^2} - 4x = 0\\x\left( {x - 4} \right) = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right.\end{array}\)

این مسئله دو جواب دارد.

5)

\(\begin{array}{l}\sqrt {2 - x}  + \sqrt {x + 3}  = 3 \Rightarrow \sqrt {2 - x}  = 3 - \sqrt {x + 3} \\ \Rightarrow {\left( {\sqrt {2 - x} } \right)^2} = {\left( {3 - \sqrt {x + 3} } \right)^2} \Rightarrow \\2 - x = 9 - 6\sqrt {x + 3}  + x + 3\\ \Rightarrow 6\sqrt {x + 3}  = 2x + 10\\ \Rightarrow 3\sqrt {x + 3}  = x + 5\\ \Rightarrow {\left( {3\left( {\sqrt {x + 3} } \right)} \right)^2} = {\left( {x + 5} \right)^2}\\ \Rightarrow 9x + 27 = {x^2} + 10x + 25\\ \Rightarrow {x^2} + x - 2 = 0 \Rightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 2\end{array} \right.\\x = 1 \Rightarrow \sqrt {2 - 1}  + \sqrt {1 + 3}  = 3\\ \Rightarrow \sqrt 1  + \sqrt 4  = 3 \Rightarrow 1 + 2 = 3\\ \Rightarrow 3 = 3\\x =  - 2 \Rightarrow \sqrt {2 - \left( { - 2} \right)}  + \sqrt { - 2 + 3}  = 3\\ \Rightarrow \sqrt 4  + \sqrt 1  = 3 \Rightarrow 2 + 1 = 3 \Rightarrow 3 = 3\end{array}\)