گام به گام تمرین صفحه 21 درس تابع حسابان (2)

1)

 الف)

ب)

تابع f یک تابع یک به یک است؛ در نتیجه

پ)

\(\begin{array}{l}f(x) = y = {(x - 2)^3} + 1 \Rightarrow y - 1 = {(x - 2)^3}\\ \Rightarrow x - 2 = \sqrt[3]{{y - 1}} \Rightarrow x = \sqrt[3]{{y - 1}} + 2\\ \Rightarrow y = \sqrt[3]{{x - 1}} + 2\\ \Rightarrow {f^{ - 1}}(x) = \sqrt[3]{{x - 1}} + 2\end{array}\)

2)

الف)

تابع f در بازه های \(\left( { - \infty \;,\;3} \right]\) و اکیداً صعودی و در تمام نقاط صعودی است.

ب)

تابع g در بازه های \(\left[ { - 2\;,\;0} \right]\) اکیداً نزولی و در بازه های \(\left( { - \infty \;,\; - 2} \right]\) و \(\left[ {2,\;\infty } \right)\) نزولی است.

پ)

تابع h در بازه های \(\left( { - \infty \;,\;0} \right)\) و \(\left( {0,\;\infty } \right)\) اکیداً نزولی است.

3)

همه اکیداً یکنوا هستند.

)4

الف)

بله؛ مثال

تابع ثابت \(f(x) = 2\) در فاصله \(\left[ { - 2\;,\;3} \right]\) هم صعودی است و هم نزولی.

ب)

5)

تابع f روی فاصله I اکیدا صعودی است؛ بنابراین

\(\forall \;a\;,\;b \in I\quad ,\quad a < b\quad  \Rightarrow f(a) < f(b)\)

تابع g روی فاصله I اکیدا صعودی است؛ بنابراین

\(\forall \;a\;,\;b \in I\quad ,\quad a < b\quad  \Rightarrow g(a) < g(b)\)

داریم)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f(a) + g(a) < f(b) + g(b)\\ \Rightarrow \forall \;a\;,\;b \in I\quad ,\quad a < b\quad :\quad \\(f + g)(a) < (f + g)(b)\end{array}\)

در نتیجه تابع \(f + g\) روی فاصله I اکیدا صعودی است.

برای تابع \(f - g\)  داریم

نمی توان گفت همواره تابع \(f - g\) نیز اکیداً صعودی است. مثال نقض

توابع \(f(x) = 2x + 4\) و \(g(x) = 5x + 4\) روی دامنه خود اکیداً صعودی هستند ولی

\((f - g)(x) = (2x + 4) - (5x + 4) =  - 3x\)

که یک تابع اکیداً نزولی می باشد.

6)

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}f(x) = {x^3} + k{x^2} + 2\\p(x) = x - 2\\r(x) = 6\end{array} \right\} \Rightarrow p(x) = 0\\\\ \Rightarrow x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\\ \Rightarrow r(x) = f(2) \Rightarrow 6 = 4k + 10\\ \Rightarrow k =  - 1\end{array}\)

7)

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}f(x) = {x^3} + a{x^2} + bx + 1\\x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow f(2) = 0\\x + 1 = 0 \Rightarrow x =  - 1 \Rightarrow f( - 1) = 0\end{array} \right\}\\\\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4a + 2b =  - 9}\\{a - b = 0\quad \;\;}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a =  - 1/5}\\{b =  - 1/5}\end{array}} \right.\end{array}\)

8)

الف)

\({x^6} - 1 = {x^6} - {1^6} = (x - 1)({x^5} + {x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1)\)

ب)

\({x^6} - 1 = {x^6} - {1^6} = (x + 1)({x^5} - {x^4} + {x^3} - {x^2} + x - 1)\)

پ)

\({x^5} + 32 = {x^5} + {2^5} = (x + 2)({x^4} - 2{x^3} + 4{x^2} - 8x + 16)\)

9)

الف)

اثبات (برهان خلف))

فرض \(a{ \ge }b\) نیست؛ بنابراین \(a < b\) می باشد؛ از طرفی چون f  روی فاصله مذکور اکیداً نزولی است، بنابراین برای هر a و b عضو این فاصله \(a < b\) نتیجه می شود \(f(a) > f(b)\) و این خلاف فرض \(f(a) \le f(b) \) موجود در صورت سوال می باشد. از این تناقض نتیجه می شود فرض برهان خلف باطل است و \(a \ge b\) می باشد.

ب)

\(\begin{array}{l}{(\frac{1}{2})^{3x - 2}} \le \frac{1}{{64}} \Rightarrow {(\frac{1}{2})^{3x - 2}} \le {(\frac{1}{2})^6}\\ \Rightarrow {(2)^{ - (3x - 2)}} \le {(2)^{ - 6}}\\ \Rightarrow  - (3x - 2) \le  - 6\\ \Rightarrow 3x - 2 \ge 6 \Rightarrow x \ge \frac{8}{3}\end{array}\)