نمونه سوالات تستی فصل 1 ریاضی هشتم همراه با جواب تشریحی

\(\frac{{11 - 2 \times ( - 3)}}{{1 - 2 - 5}} = \frac{{11 + ( - 2) \times ( - 3)}}{{1 + ( - 2) + ( - 5)}} = - \frac{{17}}{6}\)

 \(1 - ( - 2) = 1 + 2 = 3 \to - 3\)

3 قرینه شده است

\(a + b = 0 \Rightarrow a = - b \Rightarrow \frac{a}{b} = - 1\)

گزینه (1): اگر دو عدد مثبت باشند، حاصل جمع آن ها از دو عدد بزرگتر است: \(2,3,2 + 3\)

گزینه (2): اگر دو عدد منفی باشند، حاصل جمع آن ها از دو عدد کوچکتر است: \( - 2, - 3,( - 2) + ( - 3)\)

گزینه (3): جمع دو عدد مثبت بر منفی، بین دو عدد قرار می گیرد: \( - 2,3, - 2 + 3 = 1 \Rightarrow - 2 < 1 < 3\)

گزینه (4): جمع صفر و یک عدد منفی، عددی منفی است، پس از صفر کوچکتر است، اما دقیقا مساوی عدد منفی است:\( - 2,0, - 2 + 0 = - 2\)

ابتدا حاصل را یقیین می کنیم، چون تعداد منفی ها زوج است، پس علامت حاصل مثبت است:

\( - \frac{{ - 91 \times ( - 133)}}{{49 \times ( - 95)}} = + \frac{{91 \times 133}}{{49 \times 95}} = \frac{{91 \times 7}}{{49 \times 5}} = \frac{{91 \times 1}}{{7 \times 5}} = \frac{{13}}{5}\)

همان طور که مشخص است، حرکت اول از صفر به سمت 7 بوده و سپس 12 واحد به سمت منفی و در آخر 8 واحد به سمت مثبت است، پس داری:

\(7 - 12 + 8\)

هرگاه نصف عددی از خود عدد بزرگتر باشد، حتما عدد منفی است، چون در اعداد منفی هر چه قدر به صفر نزدیکتر شویم، عدد بزرگتر می شود.

همانطور که می بینید حاصل جمع اعداد در سطر های با شمارۀ زوج، برابر صفر است و حاصل جمع اعداد در سطر های فرد، برابر قرینۀ شمارۀ سطر است.پس:

\(( - 1) + ( - 3) + ( - 5) + ... + ( - 25) = \)

اختلاف دمای دو شهر را به دست می آوریم:

درجه \( + 17 - ( - 19) = 17 + 19 = 36\)

میزان تغییر دما:

\( - 25 - ( - 4) = - 25 + 4 = - 21\)

زمانی که طول می کشد تا دمای سردخانه، 21 درجه کاهش یابد:

ساعت\( - 21 \div ( - 3) = 7\)

در ساعت 14، دما 25 درجه زیر صفر می شود: 7+7=14

ساعت 14 یعنی ساعت 2 بعد از ظهر

همه کسر ها گویا اند

\(\sqrt 4 = 2 = \frac{2}{1}, - 0/2 = \frac{{ - 2}}{{10}}, - \frac{{11}}{2}\)

\(\sqrt 3 \) گویا نیست.

\(2 < 2\frac{3}{5} < 3 - 3 < - 2\frac{3}{5} < - 2\)

\(2\frac{3}{5}\)  بین 2 و 3 است، پس \( - 2\frac{3}{5}\) بین 2- و 3- است.

همه اعداد صحیح گویا هستند.

با توجه به اینکه a می تواند هر عدد صحیح منفی باشد، برای مثال به جای a عدد -3 را در نظر می گیریم:

\(\begin{array}{l}\frac{a}{2} = - \frac{3}{2},\frac{a}{3} = \frac{{ - 3}}{3} = - 1, - \frac{a}{2} = - ( - \frac{3}{3}) = \frac{3}{2}, - \frac{a}{3} = \\ - (\frac{{ - 3}}{3}) = 1\end{array}\)

اگر اعداد را به ترتیب از کوچک به بزرگ مرتب کنیم، به صورت مقابل خواهد بود:

\(\frac{a}{2} < \frac{a}{3} < - \frac{a}{3} < - \frac{a}{2}\)

الف) هر عدد طبیعی ، یک عدد گویا است. این جمله درست است.

ب) همه اعداد گویا به غیر از صفر، معکوس دارند. صفر معکوس ندارد.

پ) بین هر دو عدد صحیح متوالی، بی شمار عدد گویا وجود دارد. این جمله درست است.

ت) مربع هر عدد بین صفر و یک، از خود عدد کوچکتر است. این جمله درست است.

پس عبارت الف، پ و ت درست هستد.

\( - 1 - \frac{1}{2} = - 1 + - \frac{1}{2} = - \frac{2}{2} + - \frac{1}{2} = \frac{{ - 2 + ( - 1)}}{2} = - \frac{3}{2}\)

\(\begin{array}{l} - 2\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = - \frac{{2 \times 2 + 1}}{2} + \frac{1}{3} = - \frac{5}{2} + \frac{1}{3} = \frac{{ - 5}}{2} + \frac{1}{3} = \\\frac{{ - 5 \times 3 + 2 \times 1}}{6} = \frac{{ - 15 + 2}}{6} = \frac{{ - 13}}{6}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}1 - \frac{2}{3} \times \frac{9}{4} \div 1 = 1 + \frac{{ - 2}}{3} \times \frac{9}{4} \times \frac{1}{1} = 1 + \frac{{( - 2) \times 9 \times 1}}{{3 \times 4 \times 1}} = 1 + \frac{{ - 3}}{2} = \\\frac{2}{2} + \frac{{ - 3}}{2} = \frac{{2 + ( - 3)}}{2} = \frac{{ - 1}}{2}\end{array}\)

 \(- 4 <  - 3\frac{1}{{17}} <  - 3\)

حاصلضرب سه عدد فرد متوالی حتما عددی فرد است، پس باقیمانده آن بر عدد 2، همواره عدد یک است. همچنین الزاما یکی از مقسوم علیه های این عبارت مضرب سه است. بنابراین این عدد همواره مضرب سه و باقی مانده تقسیم آن بر عدد سه، صفر است بنابراین عدد a، عدد 2 یا 3 است.

\(\begin{array}{l}A = - 47 - 46 - 45 - \ldots - 8 - 7\\B = 12 + 13 + 14 + \ldots + 52 + 53\\\\ \to A + B = 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 - 11 - 10 - 9 - 8 - 7 = 258\end{array}\)

چون میانگین دو عدد 11 است. پس حاصل جمع دو عدد 22 = 11 × 2 است. زیرا:

عدد بزرگتر + عدد کوچکتر = 2 × میانگین = 2 × 11 = 22

عدد بزرگتر – عدد کوچکتر = 58

با جمع کردن دو عبارت فوق نتیجه می شود که:

2 × عدد بزرگتر = 22 + 58 = 80  " عدد بزرگتر = 80 + 2 = 40

بنابراین:

عدد کوچکتر = 40 – 58 = 18-

بزرگترین عدد صحیح منفی برابر (1-) است و بزرگترین عدد طبیعی تک رقمی برابر 9 که مجموع آنها می شود:

-1 + 9 = 8

ابتدا حاصل هریک از گزینه ها را محاسبه می کنیم:

گزینه 1 :

\(\begin{array}{l}\left( { - 2\frac{1}{2} + 1\frac{1}{3}} \right) \div \left[ { - 1\frac{1}{4} \times \left( { - \frac{2}{5}} \right)} \right] = \left( { - \frac{5}{2} + \frac{4}{3}} \right) \div \left( { - \frac{5}{4} \times \left( { - \frac{2}{5}} \right)} \right)\\\\ = \left( { - \frac{{15}}{6} + \frac{8}{6}} \right) \div \left( {\frac{2}{4}} \right) =  - \frac{7}{6} \times \frac{4}{2} =  - \frac{7}{3} =  - 2\frac{1}{3} \to \\\\ - 3 <  - 2\frac{1}{3} <  - 2\end{array}\)

گزینه 2 :

\(\begin{array}{l}1 - \frac{{1 - 1\frac{1}{2}}}{{ - 1 + 1\frac{1}{3}}} = 1 - \frac{{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}}}{{ - \frac{2}{3} + \frac{4}{3}}} = 1 - \frac{{ - \frac{1}{2}}}{{\frac{1}{3}}} = 1 + \frac{3}{2} = 2\frac{1}{2}\\\\ \to 2 < 2\frac{1}{2} < 3\end{array}\)

گزینه 3 :

\(- 4\frac{1}{2} \div 2\frac{1}{4} =  - \frac{9}{2} \div \frac{9}{4} =  - \frac{9}{2} \times \frac{4}{9} =  - \frac{4}{2} =  - 2\)

گزینه 4 :

\(\begin{array}{l} - 1\frac{1}{3} - 1\frac{1}{4} \times \left( { - \frac{2}{5}} \right) =  - \frac{4}{3} - \frac{5}{4} \times \left( { - \frac{2}{5}} \right) =  - \frac{4}{3} + \frac{1}{2} =  - \frac{8}{6} + \frac{2}{6} =  - \frac{5}{6}\\\\ \to  - 1 <  - \frac{5}{6} < 0\end{array}\)

با توجه به پاسخ های بدست آمده، گزینه 4 صحیح می باشد.

\(\begin{array}{l} - \frac{{ - 21}}{{ - 28}} = \frac{{ - 18}}{a} \to  - \frac{{21}}{{28}} = \frac{{ - 18}}{a} \to  - \frac{3}{4} = \frac{{ - 18}}{a}\\\\ \to a = \left( { - 18} \right) \times \left( { - \frac{4}{3}} \right) = 24\end{array}\)

\(\begin{array}{l}A =  - 5 - \left( { - 6} \right) - 2 =  - 5 + 6 - 2 =  - 1\\\\B =  - 6 + \left( { - 5} \right) - \left( { - 2} \right) =  - 6 - 5 + 2 =  - 9\\\\ \to A - B =  - 1 - \left( { - 9} \right) =  - 1 + 9 = 8\end{array}\)

تقدم ضرب و تقسیم بر جمع و تفریق را باید رعایت کنیم.

\(\begin{array}{l}A = 5 + 7 - 2 \times 3 + 3 + \left( { - 3} \right) \div 3 - 4 = 5 + 7\\\\ - \left( {2 \times 3} \right) + 3 + \left( {\left( { - 3} \right) \div 3} \right) - 4\\\\ = 12 - 6 + 3 + \left( { - 1} \right) - 4 = 4\end{array}\)

 \(A = 1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{{1 + ...}}}}}} = 1 + \frac{1}{A} \to A - \frac{1}{A} = 1\)

عدد 13+ با هر دو بار قرینه شدن مجددا به خود 13+ تبدیل می شود. پس با 296 بار قرینه کردن نیز حاصل 13+ خواهد شد. بنابراین 297امین قرینه برابر 13- خواهد بود. پس داریم:

\(- 13 - \left( { - 13} \right) =  - 13 + 13 = 0\)

تعریف معکوس: معکوس یک عدد، عددی است که وقتی در عدد اصلی ضرب شود، حاصل ضرب برابر با 1 شود.

بررسی گزینه ها:

گزینه 1: برای مثال عدد 2 را در نظر می گیریم معکوس عدد 2 برابر \(\frac{1}{2}\) می شود و معکوس \(\frac{1}{2}\) برابر 2 یعنی خود عدد خواهد بود پس این گزینه صحیح است.

گزینه 2: طبق تعریف معکوس، باید هر دو عدد هم علامت باشند که جواب 1+ شود. پس این گزینه صحیح است.

گزینه 3: بله عدد صفر معکوس ندارد با بعبارتی معکوس آن خود عدد صفر است. این گزینه نیز صحیح است.

گزینه 4: عدد صفر تنها عددی است که با معکوس خود برابر است. این گزینه نادرست است.

گزینه 1 صحیح است

\(A{\rm{ }} =  - 5 -  - 6 + 3 -  - 9 =  - 5 + 6 + 3 + 9 =  + 13\)

بررسی گزینه ها

گزینه 1:

\(1\frac{2}{3} - 1\frac{1}{2} = \frac{5}{3} - \frac{3}{2} = \frac{{10 - 9}}{6} = \frac{1}{6}\)

گزینه 2:

\(3\frac{1}{4} - 2\frac{1}{2} = \frac{{13}}{4} - \frac{5}{2} = \frac{{26 - 20}}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\)

گزینه 3:

\(2\frac{3}{5} - 1\frac{2}{3} = \frac{{13}}{5} - \frac{5}{3} = \frac{{39 - 25}}{{15}} = \frac{{14}}{{15}}\)

گزینه 4:

\(5\frac{1}{3} - 5\frac{1}{4} = \frac{{16}}{3} - \frac{{21}}{4} = \frac{{64 - 63}}{{12}} = \frac{1}{{12}}\)

با توجه به اعداد به دست آمده، گزینه 2 از سایر گزینه ها بزگتر است و پاسخ مسئله می باشد.

\(\begin{array}{l}3a + \frac{{2b - 5a}}{{3a - \left( {2b + 1} \right)}} = 3\left( 2 \right) + \frac{{2\left( 3 \right) - 5\left( 2 \right)}}{{3\left( 2 \right) - \left( {2\left( 3 \right) + 1} \right)}}\\\\ = 6 + \frac{{6 - 10}}{{6 - 7}} = 6 + \frac{{ - 4}}{{ - 1}} = 6 + 4 = 10\end{array}\)

\( \begin{array}{l}\left[ {\left( { - \frac{2}{9}} \right) - \left( { - \frac{7}{9}} \right)} \right] \div \left( {\frac{{17}}{{24}}} \right) = \left[ { - \frac{2}{9} + \frac{7}{9}} \right] \div \frac{{17}}{{24}}\\\\ = \frac{5}{9} \div \frac{{17}}{{24}} = \frac{5}{9} \times \frac{{24}}{{17}} = \frac{5}{3} \times \frac{8}{{17}} = \frac{{40}}{{51}}\end{array}\)

گزینه 1 صحیح است چرا که اعداد منفی همگی از نصف، ثلث و ربع خود کوچکتر هستند.

\(- \frac{1}{3} >  - 1\)

گزینه 1 صحیح است.

طبق تعریف عدد گویا، \(\frac{a}{b}\) در صورتی گویا است که a و b صحیح باشند و \(b \ne 0\) باشد. یعنی در اینجا \(x - 3 \ne 0\) یعنی \(x \ne 3\) باشد. پس حاصل y به ازای x = 3 تعریف نشده است.

به ازای 3 گزینه دیگر صورت و مخرج داده شده عددی صحیح است.

\( \begin{array}{l} - ( - 3 - 2 \times \left( {4 - ?} \right) - 2) = 31 \to  - 3 - 2\left( {4 - ?} \right) - 2 =  - 31\\ \to  - 5 - 2\left( {4 - ?} \right) =  - 31 \to  - 8 + 2? =  - 26\\ \to 2? =  - 18 \to ? =  - 9\end{array}\)

مجذور \(\frac{1}{3}\):

\({\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{1}{9}\)

معکوس مکعب \(\frac{2}{3}\):

\({\left( {\frac{2}{3}} \right)^3} = \frac{8}{{27}} \to \frac{{27}}{8}\)

حاصل جمع:

\(\frac{1}{9} + \frac{{27}}{8} = \frac{{8 + 243}}{{72}} = \frac{{251}}{{72}}\)

\( \begin{array}{l}\left( { - 5} \right) \times \left[ { - \left( { - 6} \right) - 13 + \left( { + 2} \right)} \right] = \left( { - 5} \right) \times \left[ {6 - 13 + 2} \right]\\\\ = \left( { - 5} \right) \times \left[ { - 5} \right] =  + 25\end{array}\)

بررسی گزینه ها:

گزینه 1 : نادرست

نصف هر عدد صحیح منفی از خود آن عدد بزرگتر است.

گزینه 2 : نادرست

اعداد صحیح و طبیعی، همگی گویا هستند.

گزینه 3 : نادرست

بین هر دو عدد گویا، تعداد «نامحدودی» عدد گویا وجود دارد.

گزینه 4 : صحیح

\(\sqrt {100 - {6^2}}  = \sqrt {100 - 36}  = \sqrt {64}  = \sqrt {8 \times 8}  = 8\)

عددی صحیح است و تمام اعداد صحیح گویا هستند.

\(\frac{{1378 \times 1354 - 563 \times 1378}}{{1354 - 563}} = \frac{{1378\left( {1354 - 563} \right)}}{{1354 - 563}} = 1378\)

\(\begin{array}{l}1 - 2 \times 3 + 4 - 5 \times 6 + 7 - 8 \times 9\\\\ = 1 - \left( {2 \times 3} \right) + 4 - \left( {5 \times 6} \right) + 7 - \left( {8 \times 9} \right)\\\\ = 1 - 6 + 4 - 30 + 7 - 72 =  - 5 - 26 - 65 =  - 96\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{\frac{{2 + \frac{1}{2}}}{{3 - 5}}}}{{5 - 2 \div 3}} = \frac{{\frac{{\frac{5}{2}}}{{ - 2}}}}{{5 - \frac{2}{3}}} = \frac{{\frac{{\frac{5}{2}}}{{ - 2}}}}{{\frac{{13}}{3}}} = \frac{{\frac{5}{2} \times \frac{{ - 1}}{2}}}{{\frac{{13}}{2}}} = \frac{{\frac{{ - 5}}{4}}}{{\frac{{13}}{3}}}\\\\ =  - \frac{5}{4} \times \frac{3}{{13}} = \frac{{ - 15}}{{52}}\end{array}\)

از ابتدا تا انتهای محور به 16 بخش مساوی تقسیم شده است اختلاف اعداد \(\frac{1}{3}\) و \(\frac{1}{5}\) برابر است با:

\(\frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{2}{{15}}\)

پس هر واحد محور برابر است با:

\(\frac{{\frac{2}{{15}}}}{{\frac{{16}}{1}}} = \frac{1}{{120}}\)

از طرفی

\(\frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{{30}}{{120}} - \frac{{24}}{{120}} = \frac{6}{{120}}\)

پس نقطه \(\frac{1}{4}\) روی محور به اندازه 6 واحد جلوتر از \(\frac{1}{5}\) قرار دارد که معادل نقطه a است.

\(\begin{array}{l}101 - 102 + 103 - 104 +  \ldots  + 149 - 150\\\\ = \left( {101 - 102} \right) + \left( {103 - 104} \right) +  \ldots  + \left( {149 - 150} \right)\\\\ = \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) + ... + \left( { - 1} \right) = 25 \times \left( { - 1} \right) =  - 25\end{array}\)