احتمال و عملیات بر پیشامدها

تنها یک مسئله است که آن را ریشه ی شاخه ی احتمالات می دانند و به مسئله امتیازها معروف است. در این مسئله چگونگی تقسیم جایزه ی بازی شانسی نیمه تمام بین دو بازیکن فرضی هم قدرت ، با داشتن امتیازهای دو بازیکن در موقع قطع بازی و تعداد امتیازهای لازم برای بردن بازی خواسته شده است.این مسئله را کاردانو و تارتاگلیا نیز مورد بررسی قرار داده بودند،اما پیشرفت واقعی در سال ١٩۵۴ رخ داد. یک قمارباز حرفه ای زیرک طی نامه ای به بلز پاسکال علت عدم تطبیق تجربه شخصی با واقعیت تئوری این مسئله را جویا شده بود. پاسکال به مسئله علاقمند شد و طی نامه ای آن را به اطلاع پی یر فرما رساند.از اینجا به بعد مکاتبات زیادی بین این دو بزرگ مرد تاریخ ریاضیات شکل گرفت که شالوده ی احتمالات را تشکیل دادند. فرما و پاسکال مسئله را جداگانه حل کردند با این تفاوت که پاسکال مسئله را در حالت کلی حل کرد. پدیده های پیرامون ما در حالت کلی به دو دسته تقسیم می شوند:

در بحث احتمال پدیده های تصادفی بررسی می شوند و با پدیده های قطعی کاری نخواهیم داشت. منظور از یک آزمایشی تصادفی در تمام این فصل آزمایشی است که نتیجه ی آن از قبل قابل پیش بینی نباشد. در هر آزمایش تصادفی مجموعه ای وجود دارد که شامل تمام نتایج ممکنه در آن آزمایش تصادفی است. به چنین مجموعه ای فضای نمونه گوییم.

در هر آزمایش تصادفی به مجموعه ای که شامل تمام حالات ممکنه از آن آزمایش تصادفی باشد فضای نمونه گوییم و آن را با حرف S نشان می دهیم. همچنین به هر زیرمجموعه دلخواه از S یک پیشامد یا رخداد گوییم. پس A یک پیشامد است هرگاه: $A \subseteq S$  باشد.

چون پیشامدها زیرمجموعه های فضای نمونه هستند ، امکان ترکیب کردن آنها و ساختن پیشامدهای جدید وجود دارد.

اشتراک دو پیشامد: اگر $A,B \subseteq S$  دو پیشامد دلخواه باشند $A \cap B$  پشامد وقوع هردوی A و B بطور همزمان است. مثلا در پرتاب یک تاس اگر A پیشامد آمدن عدد زوج و B پیشامد اینکه عدد اول بیاید باشد آنگاه $A \cap B$  به معنای زوج و اول آمدن است. و لذا:

$A \cap B = \left\{ 2 \right\}$

اجتماع دو پیشامد: پیشامد $A \cup B$  به معنای وقوع A یا B یا هردوی آنها است. مانند حالت قبل داریم:

$A \cup B = \left\{ {2,3,4,5,6} \right\}$

تفاضل دو پیشامد: پیشامد $A - B$ به معنای رخ دادن A و رخ ندادن B است.مانند حالت قبل داریم:

$A - B = \left\{ {4,6} \right\}$

متمم یک پیشامد: پیشامد $A'$ به معنای رخ ندادن A است. مانند حالت قبل داریم:

$A' = \left\{ {1,3,5} \right\}$

تفاضل متقارن دو پیشامد: می دانیم $A\Delta B = \left( {A - B} \right) \cup \left( {B - A} \right)$ . پس پیشامد $A\Delta B$ به معنای رخ دادن A و رخ ندادن B یا رخ دادنB و رخ ندادن A است. بعبارت دیگر فقط یکی از A یا B رخ دهد. مانند حالت قبل:

$A\Delta B = \left\{ {3,4,5,6} \right\}$

یشامدهای ناسازگار: دو پیشامد A و B را ناسازگار گوییم هرگاه: $A \cap B = \emptyset$