تعیین علامت چندجمله ای ها

به دقت به شکل زیر نگاه کنید. نمودار یک منحنی در دستگاه مختصات ترسیم شده است. نام منحنی $p\left( x \right)$ است و در برخی بازه ها بالای محور x هاست و لذا مثبت است و در برخی بازه ها زیر محور x هاست و لذا منفی است. اگر دقت کنید نقاطی که منحنی محور طولها را در آن ها قطع کرده است نقشی اساسی در تعیین اینکه p مثبت است یا منفی بازی می کند. چنین نقاطی را ریشه های p گوییم. در حالت کلی نقاط حاصل از حل معادله $p\left( x \right) = 0$ را ریشه های p گوییم.

تعیین علامت دوجمله ای درجه اول

می خواهیم عبارت $p\left( x \right) = ax + b$ را تعیین علامت کنیم. ابتدا ریشه یا ریشه های آن را بدست می آوریم:

$p\left( x \right) = 0 \to ax + b = 0 \to x = - \frac{b}{a}$

در حالت کلی نمودار  $p\left( x \right) = y = ax + b$ یکی از دو حالت زیر را دارد:

ازنمودار فوق می توان نتیجه گرفت:

خلاصه بحث فوق در جدول زیر که آن را جدول تعیین علامت می نامیم آمده است.

تعیین علامت سه جمله ای درجه دوم

همان طور که تا الان متوجه شدید یک سه جمله ای درجه دوم را می توان با تجزیه به عامل های درجه اول تعیین علامت کرد. اما این زمانی شدنی است که عبارت تجزیه شود . در صورتیکه عبارت تجزیه نشود راه حل چیست؟ راه حل یافتن روشی است که به کمک آن بتوان سه جمله ای ها را مستقیما تعیین علامت کرد. در حالت کلی یک سه جمله ای درجه دوم یا همان سهمی به یکی از صورت های زیر است:

الف: اگر $\Delta \rangle 0$

ب: اگر $\Delta = 0$

ج: اگر $\Delta \langle 0$

پس برای تعیین علامت سه جمله ای $p\left( x \right)$ ابتدا باید $p\left( x \right) = 0$ را حل کنیم. پس اولین گام یافتن مبین معادله درجه دوم است یعنی $\Delta = {b^2} - 4ac$ است که بسته به علامت $\Delta$ یکی از جداول زیر را تشکیل می دهیم.

اگر $\Delta \rangle 0$ باشد:

اگر $\Delta = 0$ باشد:

اگر $\Delta \langle 0$ باشد:

نتایج حاصل از بررسی نمودارهای یک سه جمله ای درجه دوم را می توان از روی معادله سه جمله ای درجه دوم $p\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ نیز بدست آورد. برای این منظور فرم تبدیل شده ی عبارت p را که قبلا محاسبه کرده ایم بصورت زیر می نویسیم:

$\begin{array}{l}p\left( x \right) = a{x^2} + bx + c = a\left( {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2} - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4{a^2}}}} \right) = a\left( {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2} - \frac{\Delta }{{4{a^2}}}} \right) \to \frac{{p\left( x \right)}}{a} = \left( {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2} - \frac{\Delta }{{4{a^2}}}} \right)\\\end{array}$

حال اگر $\Delta \langle 0$ باشد عبارت ${\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} - \frac{\Delta }{{4{a^2}}}$ همواره مثبت است پس $\frac{{p\left( x \right)}}{a}$ هم مثبت است و این یعنی اگر a مثبت باشد آنگاه $p\left( x \right)$ هم مثبت است.و اگر a منفی باشد آنگاه $p\left( x \right)$ هم منفی است.

حال اگر $\Delta = 0$ باشد عبارت حاصل بصورت ${\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2}$ درمی آید و باز $\frac{{p\left( x \right)}}{a}$ مثبت است و مانند حالت قبل نتیجه حاصل می شود.

سرانجام اگر $\Delta \rangle 0$ باشد، پس $\sqrt \Delta$ با معنی است و داریم:

$\begin{array}{l}1)\frac{{p\left( x \right)}}{a} = \left( {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2} - \frac{\Delta }{{4{a^2}}}} \right)\\\frac{{p\left( x \right)}}{a} = \left( {x + \frac{b}{{2a}} - \frac{{\sqrt \Delta }}{{2a}}} \right)\left( {x + \frac{b}{{2a}} + \frac{{\sqrt \Delta }}{{2a}}} \right)\end{array}$

عبارت های داخل پرانتز که بلافاصله بعد از x آمده اند همان ریشه های معادله $p\left( x \right) = 0$ هستند. اگر قرار دهیم: ${x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}$ و ${x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}$

آنگاه معادله (1) بصورت زیر تبدیل می شود:

$\frac{{p\left( x \right)}}{a} = \left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)$

بدون آنکه استدلال دچار نقصان شود می توان فرض کرد ${x_1}\langle {x_2}$ است. حال برای بررسی علامت $\frac{{p\left( x \right)}}{a}$ باید حالات زیر را بررسی کرد.

1) اگر ${x_1}\langle x\langle {x_2}$ باشد عبارت $\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)$ منفی است و لذا $\frac{{p\left( x \right)}}{a}$ منفی است و این یعنی $p\left( x \right)$ و a از نظر علامت مخالف هم هستند.

2) اگر ${x_1}\langle x\langle {x_2}$ باشد و یا ${x_1}\langle {x_2}\langle x$ باشد عبارت $\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)$ مثبت است و لذا $\frac{{p\left( x \right)}}{a}$ هم مثبت است و این یعنی $p\left( x \right)$ و a هم علامت هستند.

همان طور که مشاهده کردید نتایج بدست آمده در این حالت منطبق بر نتایج بدست آمده از نمودارهای هندسی است.