سهمی ها

ساده ترین سهمی دارای معادله ی $y = {x^2}$  است. اگر به متغیر x مقدار دهیم می توانیم نمودار آن را رسم کنیم. مثلا با فرض $x = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3$ مقادیر حاصل عبارتند از $y = 0,1,4,9$ اگر این نقاط را روی محورهای مختصات مشخص کنیم و نقاط حاصل را به هم وصل کنیم شکل زیر حاصل می شود.

منظور از یک سهمی معادله ای بصورت $y = a{x^2} + bx + c$ است که $a \ne 0\& a,b,c \in \mathbb{R}$ با مربع کامل کردن این عبارت بصورت:

$y = a{\left( {x - h} \right)^2} + k$

درمی آید که در این حالت راس سهمی یا مینیمم سهمی نقطه $M\left( {h,k} \right)$ است و خط $x = h$ را محور تقارن سهمی گوییم. اگر $a\rangle 0$ باشد دهانه ی سهمی رو به بالا باز می شود و اگر $a\langle 0$ باشد دهانه سهمی رو به پایین باز می شود.

رسم سهمی ساده تر می شود اگر بتوانیم دستوری صریح از راس سهمی بدست آوریم. برای این منظور داریم :

$\begin{array}{l}y = a{x^2} + bx + c \to y = a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \right)\\ \to y = a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} - \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} + \frac{c}{a}} \right)\\ \to y = a{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} - \frac{{{b^2}}}{{4a}} + c\\ \to y = a{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} + \frac{{4ac - {b^2}}}{{4a}}\end{array}$

با این حساب راس سهمی بصورت زیر بدست می آید:

$M\left( { - \frac{b}{{2a}},\frac{{4ac - {b^2}}}{{4a}}} \right)$

به این ترتیب با داشتن راس سهمی کافیست یک یا دو نقطه قبل و بعد از آن را در معادله منحنی جایگذاری کنیم تا عرض آن نقاط حاصل شده و سپس سهمی را رسم کنیم. همچنین توجه کنید که اگر $a\rangle 0$ باشد سهمی مینیمم دارد و اگر $a\langle 0$ باشد سهمی ماکزیمم (بیشینه) دارد.