نا معادله

یکی از مهم ترین کاربردهای تعیین علامت حل نامعادلات جبری است. برای یافتن مقادیری از x که در شرط $p\left( x \right)\rangle 0$ صدق می کند تنها راه تعیین علامت p است . حتی ممکن است p لزوما چندجمله ای نباشد. قبل از هر چیز خواص مقدماتی نامساوی ها را بیان می کنیم.

خواص اصلی نامساوی ها

$\begin{array}{l}1)a \le b \to a + c \le b + c\\2)a \le b\\ \to c\rangle 0 \to ac \le bc\\ \to c\langle 0 \to ac \ge bc\\3)a \le b\& b \le c \to a \le c\\4)0\langle a \le b \to \frac{1}{a} \ge \frac{1}{b}\rangle 0\\5)a \le b\langle 0 \to \frac{1}{b} \le \frac{1}{a}\langle 0\\6)a\langle 0\langle b \to \frac{1}{a}\langle 0\langle \frac{1}{b}\end{array}$

قدرمطلق و معادلات و نامعادلات قدرمطلقی

قدر مطلق x را که با نماد $\left| x \right|$ نشان داده می شود بصورت زیر تعریف می کنیم:

مهم ترین خواص قدرمطلق ها

$\begin{array}{l}1)\left| u \right| = 0 \to u = 0\\2)\left| u \right| = a \to u = \pm a,a\rangle 0\\3)\left| u \right| \le a \to - a \le u \le a,a\rangle 0\\4)\left| u \right| \ge a \to u \ge a \vee u \le - a,a\rangle 0\\5){u^2} \le {a^2} \leftrightarrow \left| u \right| \le a \leftrightarrow - a \le u \le a,a\rangle 0\\6){u^2} \ge {a^2} \leftrightarrow \left| u \right| \ge a \leftrightarrow u \ge a \vee u \le - a,a\rangle 0\\7)\left| u \right| = u \leftrightarrow u \ge 0\& \left| u \right| = - u \leftrightarrow u \le 0\\8)\left| {\left| a \right| - \left| b \right|} \right| \le \left| {a \pm b} \right| \le \left| a \right| + \left| b \right|\\9)\left| {ab} \right| = \left| a \right|\left| b \right|\& \frac{{\left| a \right|}}{{\left| b \right|}} = \left| {\frac{a}{b}} \right|\end{array}$

به خاصیت 8ام نامساوی مثلثی نیز می گویند.