تقسيم چند جمله اي ها و بخش پذيري

پاسخ تایید شده

7 ماه قبل

[شاه کلید مای درس] | تقسيم چند جمله اي ها و بخش پذيري

bookmark_border یازدهم ریاضی

book حسابان یازدهم

bookmarks فصل 1 : جبر و معادله

7 ماه قبل

تقسيم چند جمله اي ها و بخش پذيري

اگر چند جمله اي درجه n ام $p(x)$ را بر چند جمله اي درجه mام $k(x)$ که $m \le n$ تقسيم كنيم؛ خارج قسمت تقسيم، چند جمله اي است مانند $Q(x)$ از درجه $n - m$ و باقي مانده صفر و يا چند جمله اي مانند $R(x)$ ميباشد كه درجه آن از m كمتر است وميتوان نوشت :

$P(x) = K(x)Q(x) + R(x)$

كه آن را تساوي تقسيم ميناميم.

مثال

اگر چند جمله اي درجه هفتم را بريك چند جمله اي درجه پنجم تقسيم كنيم خارج قسمت چند جمله اي از درجه 2 و باقي مانده صفر و يا چند جمله اي است كه درجة آن حداكثر 4 ميباشد.

مثال

در تقسيم چند جمله اي $P(x)$ بر ${x^2} - 3x + 2$ باقی مانده برابر با $3x + 1$ می باشد $P(2)$ رابیابید.

بنا به تساوي تقسيم داريم

$P(x) = ({x^2} - 3x + 2)Q(x)(3x - 1)$

و در نتيجه

P(2) = (4 - 6 + 2)Q(2) + (6 - 1)

بنابراین

$P(2) = 5$

اگر $P(x)$ و $q(x)$ دو چند جمله اي باشند براي اينكه تساوي $P(x) = q(x)$ به ازاي هر مقدار x برقرار باشد، بايد P و q هم درجه باشند و ضرايب هم درجه P و q با هم برابر باشند و براي اينكه تساوي $P(x) = 0$ به ازاي هر مقدار x برقرار باشد بايد ضرايب كليه جملات P صفر باشد.

مثال

a و b راچنان بيابيد تا تساوي $\frac{a}{{3x - 1}} + \frac{b}{{3x + 1}} = \frac{1}{{9{x^2} - 1}}$ به ازاي هر مقدار $(x \ne \pm \frac{1}{3})$ برقرار باشد.

$\begin{array}{l}\frac{a}{{3x - 1}} + \frac{b}{{3x + 1}} = \frac{1}{{9{x^2} - 1}} \Rightarrow \frac{{a(3x + 1) + b(3x - 1)}}{{(3x - 1)(3x + 1)}} = \frac{1}{{9{x^2} - 1}} \Rightarrow a(3x + 1) + b(3x - 1) = 1 \Rightarrow \\\\3(a + b)x + a - b = 0\\\\a - B = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{2}\\\\b = - \frac{1}{2}\end{array}$

مثال

a و b را چنان بيابيد تا تساوي $({a^2} - 4){x^2} + (a - b)x + b = 0$ به ازاي هر مقدارx برقرار باشد.

بايد ${a^2} - 4 = 0$ و $a - b = 0$ باشد كه از اينجا داريم $a = b = 2$ .

مثال

بدون انجام عمل تقسيم، باقي مانده و خارج قسمت تقسيم ${x^2} - 2{x^2} + 5x - 1$ را بر ${x^2} + 1$ بيابيد

ميدانيم خارج قسمت و باقي مانده به ترتيب به صورت $Q(x) = ax + b$ و $R(x) = cx + d$ ميباشند بنابراين داريم:

${x^2} - 2{x^2} + 5x - 1 = ({x^2} + 1)(ax + b) + (cx + d)$

درنتيجه:

${x^2} - 2{x^2} + 5x - 1 = a{x^3} + b{x^2} + (a + c)x + b + d$

بنابراين:

$\begin{array}{l}a = 1,b = - 2,a + c = 5,b + d = - 1 \Rightarrow a = 1,b = - 2,c = 4,d = 1\\\\Q(x) = x - 2,R(x)=4x + 1\end{array}$

اگر در تقسيم P بر K باقيمانده صفر شود گوئيم P بر K بخشپذير است و K را يك مقسوم عليه ( يك عامل يا يك فاكتور) Q گوييم.

مثال

$x - 2$ يك فاكتور ${x^2} - 5x + 6$ ميباشد زيرا ${x^2} - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

در تقسيم چند جمله اي $P(x)$ بر $x - a$ داريم:

$P(x) = (x - a)Q(x) + R$

باقيمانده تقسيم چندجمله اي $P(x)$ بر $x - a$ می شود $P(a)$ .

چند جمله اي $P(x)$ بر $x - a$ بخش پذير است اگر و تنها اگر $P(a) = 0$ .

مثال

باقيمانده تقسيم ${x^7} - 3{x^2} + 4x - 5$ را بر $x + 1$ بدست آوريد.

$\begin{array}{l}R = P( - 1) \Rightarrow R = {( - 1)^7} - 3{( - 1)^2} + 4( - 1) - 5 \Rightarrow R = - 12\\\\P(x) = {x^7} - 3{x^2} + 4x - 5\end{array}$

مثال

aوb را طوري بيابيد تا ${x^3} - 2{x^2} + ax + b$ بر ${x^2} + x - 2$ بخش پذير باشد.

چون ${x^2} + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$ و $P(x) = {x^3} - 2{x^2} + ax + b$ ميباشد، بايد $P( - 2) = 0$ , $P(1) = 0$ در نتيجه:

$( - 2) - 2{( - 2)^2} + a( - 2) + b = .$

$\begin{array}{l}{(1)^2} - 2{(1)^2} + a(1) + b = 0 \Rightarrow - 2a + b = 16\\\\a + b = 1 \Rightarrow a = - 5,b = 6\end{array}$

مثال

اگر باقيمانده تقسيم چند جمله اي $P(x)$ بر $x - 2$ به ترتيب 2 و 7 باشد، باقي مانده $P(x)$ را بر ${x^2} - 5x + 6$ بیابید.

باتوجه به فرض داريم $P(2) = 2$ و $P(3) = 7$ و طبق تساوي تقسيم $P(x) = ({x^2} - 5x + 6)Q(x) + (ax + b)$ بنابراین $P(2) = 2a + b$ و $P(3) = 3a + b$ در نتیجه

$\left\{ \begin{array}{l}2a + b = 2\\3a + b = 7\end{array} \right. \Rightarrow a = 5,b = - 8,R = 5x - 8$

باقيمانده تقسيم چند جمله اي $P(x)$ بر $ax + b\left( {a \ne 0} \right)$ برابر است با $P\left( { - \frac{b}{a}} \right)$ .

مثال

نشان دهيد $2x + 3$ يك فاكتور ميباشد سپس نشان دهيد دوفاكتور درجه اول ديگر نيز دارد..

بايد نشان دهيم عبارت $g(x) = 2{x^3} + 3{x^2} - 8x - 12$ به ازای $x = - \frac{3}{2}$

صفر است.

براي بدست آوردن فاكتورهاي ديگر $g(x)$ را بر $2x + 3$ تقسيم ميكنيم.

$\begin{array}{l}2{x^3} + 3{x^2} - 8x - 12\\\\2{x^3} + 3{x^2}\end{array}$

بنابراين:

$\begin{array}{l}2{x^3} - 3{x^2} - 8x - 12 = (2x + 3)({x^2} - 4) \Rightarrow \\\\2{x^3} + 3{x^2} - 8x - 12 = (2x + 3)(x - 2)(x + 2)\end{array}$

در نتيجه فاكتورهاي مورد نظر $x = 2,x - 2$ ميباشد.

براي بدست آوردن باقيمانده تقسيم چند جمله اي $P(x)$ بر $(a \ne 0,n \in N)$ $a{x^{^n}} + b$ مي توان در عبارت $P(x)$ به جاي همه ${x^n}$ ها عدد $- \frac{b}{a}$ را قرار داد و حاصل را ساده نمود.

مثال

باقيمانده تقسيم ${x^{1389}} + 3{x^7} - 4x + 1$ را بر ${x^3} + 1$ بيابيد.

چون $- \frac{b}{a} = - 1$

و ${x^{1389}} + 3{x^7} - 4x + 1 = {({x^3})^{463}} + 3(x)x - 4x + 1$ ميباشد پس:

$R(x) = {( - 1)^{463}} + 3{( - 1)^2}x - 4x + 1 \Rightarrow R = - x$

بسط دو جمله اي غياث الدين جمشيد كاشاني و مثلث خيام – پاسكال

اگر $n \in R$ باشد ${(a + b)^n}$ به دو جمله اي كاشاني معروف ميباشد كه بسط آن به صورت زير است:

${(a + b)^n} = {a^n} + n{a^{n - 1}}b + \frac{{n(n - 1)}}{2}{a^{n - 2}}{b^2} + ... + {b^n}$

اين بسط:

داراي $n + 1$ جمله است

مجموع توان هايa,b در هر جمله n است.

اگر آن را بر حسب توان هاي نزولي n مرتب كنيم ضـريب اولـين جملـه 1 و ضريب جملات بعدي برابر است با ضريب جمله قبلي ضربدر توان a تقسـيم بر تعداد جملات قبل از آن.

ضريب جملات در جدول زير موسوم به مثلث خيام پاسكال آمده است

$\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}&{}&{}&1&{}&{}&{}&{}&{}\\{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\{}&{}&{}&1&{}&2&{}&1&{}&{}&{}\\{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\{}&{}&1&{}&3&{}&3&{}&1&{}&{}\\{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\{}&1&{}&4&{}&6&{}&4&{}&1&{}\\{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\1&{}&5&{}&{10}&{}&{10}&{}&5&{}&1\end{array}$

مثال

بسط ${(x + y)^3}$ را بنويسيد.

${(x + y)^3} = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^3} + {y^3}$

مثال

بسط ${(2x - 3)^4}$ را بنويسيد.

$\begin{array}{l}{(2x - 3)^4} = {(2x)^4} + 4{(2x)^3}( - 3) + 6{(2x)^2}{( - 3)^2} + 4(2x){( - 3)^3} + {( - 3)^4}\\\\ = 16{x^4} - 96{x^3} + 216{x^2} - 216x + 81\end{array}$

براي بدست آوردن مجموع ضرايب يك چند جمله اي كافي است به جاي متغيرها عدد يك قرار داده و حاصل را بدست آوريم.

مثال

مجموع ضرايب $3{x^4} - 2{x^3} + x{y^2} + 7y - 2$ را بيابيد.

حاصل عبارت را به ازاي $x = 1,y = 1$ بدست مي آوريم در نتيجه داريم :

یب $= 3 - 2 + 1 + 7 - 2 = - 1$ مجموع ضرا

مثال

مجموع ضرايب بسط ${(2{x^3} + 3{x^2} - 6)^{71}}$ را بيابيد.

مجموع ضرایب $= {(2 + 3 - 6)^{71}} = {( - 1)^{71}} = - 1$

بسط دو جمله اي كاشاني را ميتوان به صورت زير نيز نوشت:

${(a + b)^n} = \left( \begin{array}{l}n\\0\end{array} \right){a^n} + \left( \begin{array}{l}n\\1\end{array} \right){a^{n - }}^1b + \left( \begin{array}{l}n\\2\end{array} \right){a^{n - 2}}{b^2} + ... + \left( \begin{array}{l}n\\n\end{array} \right){b^n}$

كه جمله $(k + 1)$ ام آن به صورت $\left( \begin{array}{l}n\\k\end{array} \right){a^{n - k}}{b^k}$ ميباشد.

مثال

جمله سوم بسط ${(2X - y)^7}$ را بيابيد.

$\left( \begin{array}{l}7\\2\end{array} \right){(2x)^2}{( - y)^5} = \frac{{7!}}{{2! \times 5!}}(4{x^2})( - {y^5}) = - 60{x^2}{y^5}$

تهیه کننده: حامد دلیجه

صفحه رسمی مای درس

آموزش جامع

ویدئو های آموزشی

جزوات

نمونه سوالات

انشاء من

آموزش جامع

ابتدایی

متوسطه اول

متوسطه دوم

ابتدایی

متوسطه اول

متوسطه دوم

ابتدایی

متوسطه اول

متوسطه دوم

تقسيم چند جمله اي ها و بخش پذيري

تقسيم چند جمله اي ها و بخش پذيري

بسط دو جمله اي غياث الدين جمشيد كاشاني و مثلث خيام – پاسكال

دنباله حسابی

دنباله ي هندسي

تقسيم چند جمله اي ها و بخش پذيري

صفحه رسمی مای درس

آموزش جامع

به وبسایت مای درس خوش آمدید

ویدئو های آموزشی

جزوات

نمونه سوالات

انشاء من

تقسيم چند جمله اي ها و بخش پذيري

تقسيم چند جمله اي ها و بخش پذيري

بسط دو جمله اي غياث الدين جمشيد كاشاني و مثلث خيام – پاسكال

دنباله حسابی

دنباله ي هندسي

تقسيم چند جمله اي ها و بخش پذيري