دنباله هندسي: دنباله اي است كه به جز جمله اول آن، هر جمله اش برابر است با جمله قبلي آن ضربدر يك مقدار ثابت. اين مقدار ثابت را قدر نسبت دنباله ناميده با q نشان ميدهيم
اگر جمله اول و قدر نسبت آن مخالف صفر باشد ميتوان گفت دنباله هندسي دنبالهاي است كه خارج قسمت هر دو جمله متوالي آن مقدار ثابتي است.
مثال
دنباله هندسي...و 8- ،4 ،2-،1 است ولي دنباله...،16 ،8 ،4-،2-،1 هندسي نيست
جمله عمومي دنباله هندسي كه جمله اول آن a و قدر نسبت آن q باشد برابر است با:
an=aqn−1
مثال
دنباله... ،12,2, 1چند جمله بزرگتر از10−3 دارد؟
چونa=2 وq=12 پسan=2(12)n−1كه طبق فرض بايد2(12)n−1>10−3باشد بنابراين:
2×(12)n(12)−1>11000⇒(12)n>14000⇒2n<4000⇒n<12
درنتيجه يازده جمله بزرگتر از11000دارد.
اگرanو amدو جمله غير صفر از يك دنباله هندسي باشد آنگاهaman=qm−n.
اگرal,ap,an,am چهار جمله از يك دنباله هندسي وm+n=p+lآنگاه aman=apal
در هر دنباله هندسي متناهي حاصل ضرب هر دو جمله متساوي الفاصله از طرفين باهم برابر است.
اگر در يك دنباله هندسي متناهي تعداد جملات فرد باشد حاصل ضرب همه جملات آن برابر است با مقدار جمله وسط به توان تعداد آنها.
مثال
اگر در يك دنباله هندسيan=12 وa5=96باشدa7را بيابيد.
a5a3=q3⇒9612=q3⇒q=2a7a5=q3⇒a7=96×4⇒a7=384
مثال
در يك دنباله هندسي داريم a5=1 حاصل ضرب جملات اول تا نهم آن را بيابيد.
a1a2....a9=(a5)9=19=1
مجموعn جمله اول دنباله هندسي برابر است با:
sn=a(1−qn)1−q(q≠1)sn=a−q×an1−q(q≠1)sn=a−an+11−q(q≠1)sn=n×a(q=1)
مثال
در يك دنباله هندسي داريمs3=7 ,s6=63جمله ششم چند برابر جمله دوم است.
s6s3=637⇒a(1−q6)1−qa(1−q3)1−q=9=1−q61−q3=9⇒1+q3=9⇒q3=8⇒q=2⇒a6a3=q4⇒a6a2=16
مثال
حداكثر چند جمله ابتداي دنباله ....،19, 13,1را جمع كنيم تا حاصل كمتر از1/497شود.
چون a=1 و q=13و ميخواهيمsn<1/497باشد پس داريم:
1(1−(13)n)1−13<1/497⇒32(1−(13)n)<14971000⇒1−(13)n<499500⇒(13)n>1500⇒3n<500⇒n<6
پس مي توان حداكثر 5 جمله آن را باهم جمع نمود.
اگر در يك دنباله هندسي نامتناهي،|q|<1باشد مجموع همه جملات آن برابر است با:
s=a1−q
مثال
مجموع همه جملات دنباله... ،−164,116,−14,1 رابیابید.
a=1
|q|<1⇒s=11−(−14)=154=45
مثال
در يك دنباله هندسي نامتناهي جمله اول برابر با مجموع ساير جملات آن ميباشد نسبت جمله پنجم به جمله اول اين دنباله را بيابيد.
اگر جمله اول a و قدر نسبت q باشد داريم:
a=aq1−q⇒1=12⇒a5a1=q4=116
تهیه کننده: حامد دلیجه