دنباله حسابی

چون$a = 1$ و $d = 3$ و${a_n} = 100$ بنابراين:

$100 = 1 + (n - 1)(3) \to 100 = 1 + 3n - 3 \to 3n = 102 \to n = 34$

بنابراين جمله سي و چهارم برابر با 100 ميباشد.

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a_4} - {a_2} = 10\\{a_4} + {a_7} = 54\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}(a + 3d) - (a + d) = 10\\(a + 4d) + (a + 6d) = 54\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2d = 10\\2a + 10d = 54\end{array} \right. \Rightarrow d = 5,a = 2\\\\ \Rightarrow {a_{81}} = a + 80d \Rightarrow {a_{81}} = 2 + 80 \times 5 = 402\end{array}$

 با كمي دقت متوجه ميشويم كه${a_7} = {s_7} - {s_6}$ پس :

${a_7} = (4({7^2}) - 7) - (4({6^2}) - 6) = 51$

$\begin{array}{l}{a_3} + {a_7} + {a_{11}} + {a_{15}} = 20 \Rightarrow ({a_3} + {a_{15}}) + ({a_7} + {a_{11}}) = 20\\\\ \to 2({a_1} + {a_{17}}) = 20 \to {a_1} + {a_{17}} = 10\\\\{s_{17}} = \frac{{17}}{2}({a_1} + {a_{17}}) \Rightarrow {s_{17}} = \frac{{17}}{2} \times 10 = 85\end{array}$

 روش اول: چون$d = 4$$a = - 1$پس:

مجموع جملات بيست ويكم تا سي ام $= {S_{30}} - {S_{20}} = \frac{{30}}{2}( - 2 + 29 \times 4) - \frac{{20}}{2}( - 2 + 20 \times 4) = 970$

روش دوم : چون${a_{21}} = - 1 + 20 \times 4 = 79$پس مجموع خواسته شده برابراست بامجموع ده جمله  اول دنباله حسابي كه جمله اول آن 79 و قدر نسبت آن 4 ميباشد، بنابراين:

${S_{10}} = \frac{{10}}{2}(158 + 36) = 970$