پیوستگی

الف)

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0$

پس تابع در  x=0پیوسته است.

توجه:در اصطلاح باتوجه به این که در واقع $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = f(0)$میگویند تابع  fدر x=0تنهااز راست پیوسته است.

ب)

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) = 1$

پس تابع fدرx=1 پیوسته است.

ج)

$f(2) = 2$ولی $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \frac{1}{2}$پس$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) \ne f(2)$ بنابراین تابعf درx=2  پیوسته نیست

د)

تابع fدر x=3حدندارد پس دراین نقطه پیوسته نیست.

توجه:در اصطلاح می گویند تابع  fدر  x=3تنها پیوستگی چپ دارد.

نمودارتابع $y = \left| x \right|$ به صورت زیر می باشد باتوجه به نمودار تابع در zناپیوسته است (البته میتوان ثابت کرد تابع$y = \left| x \right|$ در $x \in z$ناپیوسته ودر پیوسته است.)

الف)

میدانیم ${D_f} = \left[ {1, + \infty )} \right.$و $0 \notin {D_f}$بنابراین بحث از پیوستگی این تابع در x=0بی معنا است.

ب)

تابعf  در  x=2پیوسته است زیرا :$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2) = 3$

توجه :توابع چند جمله ای در هر نقطه ای ازR پیوسته هستند.

ج)

$\left. \begin{array}{l}f(1) = 2\\\\f( - 1) = 3\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f({x^2} + 1) = 2\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = 2\\\end{array} \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = 2$

تابع f در x=1پيوسته است زيرا$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1)$

د)

$\left. \begin{array}{l}f(1) = 3\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f({x^2} + 1) = 2\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{(x - 1)(x + 1)}}{{x - 1}} = 2\\\end{array} \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = 2$

تابع f در پيوسته نيست زيرا$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) \ne f(1)$

ه)

$\begin{array}{l}f(1) = - 3\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f( - 3x) = 3\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} ({x^2} + 1) = 2\end{array}$

تابع f درx=0پيوسته است زيرا$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = f(0)$

و)

$\begin{array}{l}f( - 1) = 3\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f( - 3x) = - 3\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f({x^2} + 1) = 2\end{array}$

تابع f در X=-1حد ندارد. بنابراين تابع f در X=-1 پيوسته نيست، زيرا در اين نقطه حد ندارد ( همانگونه كه بيان شد تابع f در X=-1تنها پيوستگي راست دارد)

$\left. \begin{array}{l}f(1) = - 3\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f( - 3x) = - 3\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x - 4) = - 3\end{array} \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = - 3$

تابع f درx=1پيوسته است زيرا $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1)$

$\begin{array}{l}f(2) = \left[ {2 + a)} \right.\left[ {4 - 5) = - a - 2} \right.\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} (x + a)\left[ {2x - 5)} \right. = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} (x + a)( - 2) = - 4 - 2a\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (x + a)\left[ {2x - \left. 5 \right]} \right. = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (x + a)( - 1) = 2 - a\end{array}$

با توجه به اينكه بايد داشته باشيم $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = f(2)$پس لازم است$- a - 2 = - 4 - 2a$ بنابراينa=-2   ميباشد.

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sin x}}{{\sqrt {1 - \cos 2x} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sin x}}{{\sqrt {2{{\sin }^2}x} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sin x}}{{\sqrt {2\left| {\sin x} \right|} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sin x}}{{ - \sqrt {2\sin x} }} = \\\\\sqrt 2 \frac{{\sin x}}{{ - \sqrt {2\sin x} }} = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (\left| x \right| + b) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (0 + b) = b\end{array}$

الف(

 دامنه ي تابع f ، بازه ي $\left[ {0,2} \right]$ميباشد. اگر $0 < x < 2$ ، آنگاه:

 اگر  x=0 و $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} = f(x) = 0 = f(0)$واگر x=2، آنگاه. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} = f(x) = 0 = f(2)$ پس تابع f ، تابعي پيوسته ميباشد.

ب)

دلخواه

بنابراين g تابعي پيوسته است.

ج)

$\begin{array}{l}{D_h} = R\\0 \in {D_h} = \left\{ \begin{array}{l}h(0) = 2\\\\\mathop {\lim h(x) = 1}\limits_{x \to 0} \end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim h(x) \ne h(0)}\limits_{x \to 0} \end{array}$

بنابراين h تابعي پيوسته نيست

الف)

صورت و مخرج توابع چند جمله اي هستند و در هر نقطه اي پيوسته، پس تابع f روي ${D_f} = R - \left\{ { - 2} \right\}$پيوسته است.

ب) تابع $y = {x^2} - 4$چند جمله اي است و در هر نقطهاي پيوسته، پس تابع g در دامنه تعريف خود يعني $\left( { - \infty ,2} \right) \cup \left[ {2, + \infty )} \right.$ تابع پيوسته است.

ج) تابع $y = \tan x$روی $D = \left\{ {\left. x \right|} \right.x \ne k\pi + \left. {\frac{\pi }{2}} \right\}$و تابع$y = \cot x$ روی  ${D_f} = \left\{ {\left. x \right|} \right.x \ne k\left. \pi \right\}$پيوسته اند  پس تابع h روي${D_f} = \left\{ {\left. x \right|} \right.x \ne \left. {\frac{{k\pi }}{2}} \right\}$ است پيوسته است.

میدانیم ${D_f} = R - \left\{ { - 2} \right\}$و هر يك از رابطه ها روي دامنه ي تعريف خود پيوسته اند. پس كافي است ض ميدانيم $x = R - \left\{ 2 \right\}$پيوستگي تابع در  x=3را بررسي كنيم .

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{x + 1}}{{x - 2}} = 4\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{x + 1}}{{x + 2}} = \frac{4}{5}\end{array}$

تابع در  x=3پیوسته نیست بنابراین تابع f روي$\left( { - \infty , - 2} \right) \cup \left( { - 2,3} \right) \cup \left( {3, + \infty } \right)$ پيوسته است.

 صورت و مخرج توابع چند جمله اي هستند و در هر نقطهاي از ℜ پيوسته ميباشند. پس كافي است دامنه تعریف تابع برابرR باشد.یعنی باید معادله ${x^2} + kx + 1 = 0$فاقد ريشه باشد بنابراين لازم است:

$\Delta < 0 \Rightarrow {k^2} - 4 < 0 \Rightarrow \left| k \right| < 2 \Rightarrow - 2 < k < 2$

حل روش اول :

تابع  y=xتابع چند جمله ای است ودر دلخواه پیوسته است پس تابع $g(x){ = ^3}\sqrt x$در پیوسته است و تابع $h(x) = \sin x$در هر نقطه ای از جمله پیوسته است پس تابع

$f(x) = h(g(x)) = {\sin ^3}\sqrt x$

در $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \sqrt {{x^2} + 3} = \sqrt {\mathop {\lim ({x^2} + 3)}\limits_{x \to 1} } = \sqrt 4 = 2$پیوسته است.

روش دوم :

بنابراین تابع fروی ${D_f} = R$ تابعی پیوسته است.