شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | ساده کردن عبارت های توان دار](https://dl.my-dars.com/upload/image/41704539205.png)
۱) در ضرب عددهای توان دار با پایه های مساوی یکی از پایه ها را نوشته و توان ها را جمع می کنیم:
\({\left( { - 3} \right)^2} \times {\left( { - 3} \right)^4} = {\left( { - 3} \right)^{2 + 4}} = {\left( { - 3} \right)^6}\)
2) در ضرب عددهای توان دار با توان های مساوی، پایه ها را در هم ضرب و یکی از توان ها را می نویسیم:
\({5^4} \times {\left( { - 3} \right)^4} = {\left( {5 \times ( - 3)} \right)^4} = {\left( { - 15} \right)^4}\)
3) اگر ظاهر پایه ها مثل هم نبود، مثلاً یکی عدد و دیگری کسر بود، سعی می کنیم آنها به یک شکل تبدیل کنیم:
\(\begin{array}{l}{(\frac{1}{2})^3} \times {(0/5)^6} = ?\\0/5 = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}\\{(\frac{1}{2})^3} \times {(0/5)^6} = {(\frac{1}{2})^3} \times {(\frac{1}{2})^6} = {(\frac{1}{2})^{3 + 6}} = {(\frac{1}{2})^9}\end{array}\)
4) یک عدد توان دار را در صورت نیاز می توان به صورت ضرب دو یا چند عدد توان دار تبدیل کرد:
\(\begin{array}{l}{3^7} = {3^2} \times 3 \times {3^4}\\{15^4} = {3^4} \times {5^4}\end{array}\)
این خواص کمک به حل بسیاری از سوالات اعداد توان دار می نماید.
مثال
اگر \({2^{10}} = 1024\) باشد، حاصل 212 را به دست آورید.
\({2^{12}} = {2^{10}} \times {2^2} = 1024 \times 4 = 4096\)
مثال
باز شده عدد توان دار زیر را بنویسید.
\({12^7} = ?\)
\({12^7} = {(2 \times 6)^7} = {2^7} \times {6^7}\)
مثال
عبارت توان دار زیر را ساده کنید.
\({5^2} \times {5^7} \times {7^9} = ?\)
\(\begin{array}{l}\underline {{5^2} \times {5^7}} \times {7^9} = {5^{2 + 7}} \times {7^9} = {5^9} \times {7^9} = {(5 \times 7)^9}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {35^9}\end{array}\)
اگر \({4^5} = 1024\) باشد، عدد \({4^{10}}\) چند رقمی است ؟
\({4^{10}} = {4^5} \times {4^5}\)
اگر \({4^5}\) را ۱۰۰۰ فرض کنیم، پس داریم:
\(1000 \times 1000 = 1,000,000\)
در نتیجه \({4^{10}}\) هفت رقمی خواهد بود.
1 استثنای تفریق اعداد توان دار:
\(\begin{array}{l}{10^2} - {6^2} = {4^3}\\{21^2} - {15^2} = {6^3}\end{array}\)
2 استثنای جمع اعداد توان دار:
\({3^9} + {3^9} + {3^9} = {3^9} \times 3 = {3^{10}}\)
مثال
اگر \({2^a} = 7\) باشد، مقدار \({2^{a + 1}}\) را بدست آورید.
\({2^{a + 1}} = {2^a} \times {2^1} = 7 \times 2 = 14\)
مثال
حاصل عبارات توان دار زیر را حل کنید.
\(\begin{array}{l}1)\, - {(1 - 2(1 - 2(1 - 2(1 - {2^{ - 1}}))))^{ - 1}}\\\\2)\,\frac{{{4^{a + 2}} - {4^{a + 1}} - {4^a}}}{{{2^a} + {2^a} + {2^a} + {2^a}}}\\\\3)\,\frac{{{2^{101}} + {2^{100}} + {2^{99}} \cdots + {2^{60}}}}{{{2^{51}} + {2^{100}} + {2^{99}} \cdots + {2^{10}}}}\\\\4)\,\frac{{{3^{2a + 2}} \div {3^{2a - 2}}}}{{{9^{2b + 2}} \times {9^{ - 2b}}}}\end{array}\)
1) فقط به اولویت عملیاتی دقت کنید:
\(\begin{array}{l} - {(1 - 2(1 - 2(1 - 2(1 - {2^{ - 1}}))))^{ - 1}}\mathop = \limits^{{2^{ - 1}} = \frac{1}{2}} \\\\ - {(1 - 2(1 - 2(1 - 2(1 - \frac{1}{2}))))^{ - 1}} = \\\\ - {(1 - 2(1 - 2(1 - 2(\frac{1}{2}))))^{ - 1}} = \\\\ - {(1 - 2(1 - 2(1 - 0)))^{ - 1}} = \\\\ - {(1 - 2(1 - 2))^{ - 1}} = \\\\ - {(1 - 2( - 1))^{ - 1}} = - {(1 + 2)^{ - 1}} = - {(3)^{ - 1}} = - \frac{1}{3}\end{array}\)
2)
\(\begin{array}{l}\frac{{{4^{a + 2}} - {4^{a + 1}} - {4^a}}}{{{2^a} + {2^a} + {2^a} + {2^a}}} = \frac{{{4^a}({4^2} - 4 - 1)}}{{{2^a} \times 4}} = \\\\\frac{{{4^a}}}{{{2^a}}} \times \frac{{11}}{4} = {(\frac{4}{2})^a} \times \frac{{11}}{4} = {2^a} \times \frac{{11}}{4}\end{array}\)
3)
\(\begin{array}{l}\,\frac{{{2^{101}} + {2^{100}} + {2^{99}} \cdots + {2^{60}}}}{{{2^{61}} + {2^{60}} + {2^{59}} \cdots + {2^{10}}}} = \\\\\frac{{{2^{60}}({2^{51}} + {2^{50}} + {2^{49}} \cdots + 2 + 1)}}{{{2^{10}}({2^{51}} + {2^{50}} + {2^{49}} \cdots + 2 + 1)}} = \frac{{{2^{60}}}}{{{2^{10}}}} = {2^{60 - 10}} = {2^{50}}\\\end{array}\)
4)
\(\,\frac{{{3^{2a + 2}} \div {3^{2a - 2}}}}{{{9^{2b + 2}} \times {9^{ - 2b}}}} = \frac{{{3^{(2a + 2) - (2a - 2)}}}}{{{9^{(2b + 2 + ( - 2b))}}}} = \frac{{{3^4}}}{{{9^2}}} = \frac{{81}}{{81}} = 1\)
