نمونه سوالات فصل 6 ریاضی هشتم همراه با جواب تشریحی

\(\begin{array}{l}1)\,a = 12\,\,,\,\,c = 20\,\,\, \Rightarrow \,\,\,b = ?\,\,\, \Rightarrow \,\,{a^2} + {b^2} = {c^2}\\\\ \Rightarrow \,\,{12^2} + {b^2} = {20^2}\,\, \Rightarrow \,\,144 + {b^2} = 400\\\\ \Rightarrow \,\,{b^2} = 400 - 144 = 256\,\, \Rightarrow \,\,b = \sqrt {256} = 16\\\\\\2)\,a = 3\,\,,\,\,b = 4\,\,\, \Rightarrow \,\,\,c = ?\,\,\, \Rightarrow \,\,{a^2} + {b^2} = {c^2}\\\\ \Rightarrow \,\,{3^2} + {4^2} = {c^2}\,\, \Rightarrow \,\,9 + 16 = {c^2}\,\, \Rightarrow \,\,{c^2} = 25\\\\ \Rightarrow \,\,c = \sqrt {25} = 5\\\\\\3)\,b = 5\,\,,\,\,c = 10\,\,\, \Rightarrow \,\,\,a = ?\,\,\, \Rightarrow \,\,{a^2} + {b^2} = {c^2}\\\\ \Rightarrow \,\,{a^2} + {5^2} = {10^2}\,\, \Rightarrow \,\,{a^2} + 25 = 100\\\\ \Rightarrow \,\,{a^2} = 100 - 25 = 75 = 25 \times 3\\\\ \Rightarrow \,\,a = \sqrt {25 \times 3} = 5\sqrt 3 \end{array}\)

\(\begin{array}{l}{4^2} + {3^2} = {x^2}\,\, \Rightarrow \,\,16 + 9 = {x^2}\,\, \Rightarrow \,\,{x^2} = 25\\\\ \Rightarrow \,\,x = \sqrt {25} \,\, \Rightarrow \,\,x = 5\,km\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{1^2} + {7^2} = {x^2}\,\, \Rightarrow \,\,{x^2} = 1 + 49 = \,50\\\\ \Rightarrow \,\,x = \sqrt {50} = 5\sqrt 2 \end{array}\)

1) مثلث قائم الزاویه می باشد:

\(\begin{array}{l}{4^2} + {4^2} = {\left( {4\sqrt 2 } \right)^2}\,\, \Rightarrow \,\,16 + 16 = 16 \times 2\\\\ \Rightarrow \,\,32 = 32\end{array}\)

2) مثلث قائم الزاویه می باشد:

\({3^2} + {4^2} = {5^2}\,\, \Rightarrow \,\,9 + 16 = 25\,\, \Rightarrow \,\,25 = 25\)

3) مثلث قائم الزاویه نیست:

\({6^2} + {7^2} \ne {9^2}\,\, \Rightarrow \,\,36 + 49 \ne 81\,\, \Rightarrow \,\,85 \ne 81\)

\(\begin{array}{l}1)\,{12^2} + {5^2} = {x^2}\,\, \Rightarrow \,\,144 + 25 = {x^2}\\\\ \Rightarrow \,\,{x^2} = 169\,\, \Rightarrow \,\,x = 13\\\\\frac{{12 \times 5}}{2} = \frac{{13 \times y}}{2}\,\, \Rightarrow \,\,y = \frac{{\frac{{12 \times 5}}{2}}}{{\frac{{13}}{2}}} = \frac{{12 \times 5}}{{13}} = \frac{{60}}{{13}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}2)\,{6^2} + {y^2} = {10^2}\,\, \Rightarrow \,36 + {y^2} = 100\\\\ \Rightarrow \,\,{y^2} = 100 - 36 = 64\,\, \Rightarrow \,\,y = 8\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \,\,{\left( {x - 12} \right)^2} + {8^2} = {17^2}\,\, \Rightarrow \,\,{\left( {x - 12} \right)^2} + 64 = 289\\\\ \Rightarrow \,\,{\left( {x - 12} \right)^2} = 289 - 64 = 225\\\\ \Rightarrow \,\,x - 12 = \sqrt {225} = 15\,\, \Rightarrow \,\,x = 15 + 12 = 27\end{array}\)

شکل های 2، 4 و 6 با یکدیگر هم نهشت هستند؛ زیرا که دوران یافته یکدیگرند. شکل های 3 و 8 با یکدیگر هم نهشت هستند؛ زیرا که دوران یافته یکدیگرند. شکل های 5 و 7 با یکدیگر هم نهشت هستند؛ زیرا که دوران یافته یکدیگرند. شکل 1 با هیچ کدام از اشکال دیگر هم نهشت نیست.

1) دو مثلث به حالت «ض ز ض» هم نهشت هستند؛ دو زاویه مثلث متقابل به رأس هستند.

2) دو مثلث به حالت «ض ز ض» هم نهشت هستند.

3) چون مثلث بزرگ تر متساوی الساقین است و ضلع وسط، ارتفاع وارد بر قاعده مثلث متساوی الساقین است، دو مثلث ایجاد شده به حالت «ز ض ز» هم نهشت هستند؛ چرا که ارتفاع وارد بر قاعده، قاعده را به دو خط مساوی تقسیم می نماید.

1)

چون دو مثلث هم نهشت هستند، پس زاویه های آن ها نیز برابرند؛ در نتیجه: \(\widehat D = \widehat A\)

2) در دو مثلث قائم الزاویه AHC و AHB داریم:

و به دلیل هم نهشتی دو مثلث می توان نتیجه گرفت زوایای و نیز برابرند \(\widehat {{B_2}}\) و \(\widehat {{C_2}}\) در نتیجه مکمل های آن ها یعنی \(\widehat {{B_1}}\) و \(\widehat {{C_1}}\) نیز برابرند.

در مثلث متساوی الساقین، ارتفاع وارد بر قاعده، آن را نصف می کند:

    \(\begin{array}{l}A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}\,\, \Rightarrow \,\,{10^2} = A{H^2} + {6^2}\\\\ \Rightarrow \,\,100 = A{H^2} + 36\,\, \Rightarrow \,\,A{H^2} = 100 - 36 = 64\\\\ \Rightarrow \,\,AH = 8\end{array}\)

حالا با داشتن ارتفاع و طول قاعده مثلث، مساحت آن را به دست آوریم:

\(S = \frac{{BC \times AH}}{2} = \frac{{12 \times 8}}{2} = 6 \times 8 = 48\)

در مثلث با طول ضلع 3 و وتر 5، رابطه فیثاغورس را می نویسیم:

\(\begin{array}{l}{3^2} + {h^2} = {5^2}\,\, \Rightarrow \,\,9 + {h^2} = 25\,\, \Rightarrow \,\,{h^2} = 25 - 9\\\\ \Rightarrow \,\,{h^2} = 16\,\, \Rightarrow \,\,h = 4\end{array}\)

برای این کار از رابطه فیثاغورس در مثلث قائم الزاویه استفاده می کنیم. دقت کنید که \({2^2} + {2^2} = {\left( {\sqrt 8 } \right)^2}\) و این یعنی مثلثی قائم الزاویه به اضلاع قائمه به طول 2 و 2 دارای وتری به طول \(\sqrt 8 \) خواهد بود.

پس برای رسم پاره خط به طول \(\sqrt 8 \) یک مثلث مانند آنچه می بینید، رسم می کنیم.

به شکل نگاه کنید. مثلثی قائم الزاویه در مخروط قلبل دیدن است که با نوشتن رابطه فیثاغورس می توان ارتفاع را یافت.

\(\begin{array}{l}{h^2} + {3^2} = {10^2}\,\, \Rightarrow \,\,{h^2} + 9 = 100\\\\ \Rightarrow \,\,{h^2} = 100 - 9 = 91\,\, \Rightarrow \,\,h = \sqrt {91} \end{array}\)

به 3 مثلث قائم الزاویه شکل دقت کنید. در مثلث اول رابطه فیثاغورس را می نویسیم:

\({1^2} + {2^2} = {a^2}\,\, \Rightarrow \,\,{a^2} = 1 + 4 = 5\,\, \Rightarrow \,\,a = \sqrt 5 \)

و این کار را به ترتیب در مثلث های دوم و سوم نیز انجام می دهیم:

\(\begin{array}{l}{a^2} + {1^2} = {b^2}\,\,\,\mathop \Rightarrow \limits^{a = \sqrt 5 } \,\,\,{b^2} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} + {1^2} = 5 + 1 = 6\\\\ \Rightarrow b = \sqrt 6 \\\\\\{b^2} + {1^2} = {x^2}\,\,\,\mathop \Rightarrow \limits^{b = \sqrt 6 } \,\,\,{x^2} = {\left( {\sqrt 6 } \right)^2} + {1^2} = 6 + 1 = 7\\\\ \Rightarrow x = \sqrt 7 \end{array}\)

با توجه به شکل ها می توان نتیجه گرفت که دو شکل باهم هم نهشت هستند؛ یعنی اضلاع و زوایای متناظر آنها نیز باهم برابر هستند؛ یعنی:

دو شکل باهم هم نهشت هستند، پس اجزای متناظر آن ها برابر هستند:

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = x + 10}\\{2y - 1 = y + 7}\end{array}} \right.\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x - x = 10}\\{2y - y = 7 + 1}\end{array}} \right.\\\\ \Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}2x = 10\\y = 8\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 8\end{array} \right.\end{array}\)

میانه، پاره خطی است که از یک رأس مثلث به وسط ضلع روبرو وصل می شود و هر مثلث همواره سه میانه دارد.

بنابر حالت «ض ز ض» دو مثلث هم نهشت هستند:

\(\left\{ \begin{array}{l}AB = AC\\\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\\AD = AD\end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow \,\,\mathop {ABD}\limits^\Delta \cong \mathop {ACD}\limits^\Delta \)

بنابر حالت «ض ز ض» دو مثلث هم نهشت هستند:

\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\\\widehat B = \widehat C\\AD = AD\end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow \,\,\mathop {ABD}\limits^\Delta \cong \mathop {ACD}\limits^\Delta \)

تند

تند

باز

قائمه (یا \(90°\))

فیثاغورس

مجذور – وتر

قائم الزاویه

طبیعی

\(\sqrt 2 \)

\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

هم نهشت

هر سه ضلع متناظر

دو ضلع و زاویه بین آن دو ضلع

هم نهشت

قائم الزاویه

سه ضلع برابر (ض ض ض)

5

12

نیم ساز

میانه

مثلث ها بر اساس انواع زاویه، به سه دسته مثلث تند زاویه، مثلث قائم الزاویه و مثلث باز گوشه دسته بندی می شوند.

رابطه فیثاغورس برای مثلث قائم الزاویه برقرار است.

در هر مثلث قائم الزاویه مجموع مجذور اضلاع قائمه برابر مجذور وتر است.

\({1^2} + {2^2} \ne {3^2}\)

در این حالت، باید حداقل یکی از اضلاع متناظر با هم برابر باشند.

دو مثلث در حالت (ض ز ض) با هم همنهشت هستند.

\({2^2} + {3^2} = {x^2}\,\, \Rightarrow \,\,{x^2} = 4 + 9 = 13\,\, \Rightarrow \,\,x = \sqrt {13} \)

\(\begin{array}{l}{x^2} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {\sqrt 7 } \right)^2}\,\, \Rightarrow \,\,{x^2} = 3 + 7 = 10\\\\ \Rightarrow \,\,x = \sqrt {10} \end{array}\)

\({x^2} = {7^2} + {3^2} = 49 + 9 = 58\,\, \Rightarrow \,x = \sqrt {58} \)

ضلع مقابل به زاویه در مثلث قائم الزاویه نصف وتر است؛ بنابراین:

\({x^2} = {8^2} + {6^2} = 64 + 36 = 100\,\, \Rightarrow \,\,x = 10\)

چون مثلث روبرو، مثلث متساوی الساقین می باشد، داریم:

\(\begin{array}{l}{x^2} = {7^2} + {7^2} = 49 + 49 = 49 \times 2\\\\ \Rightarrow \,\,x = \sqrt {49 \times 2} = 7\sqrt 2 \end{array}\)                       

\(\begin{array}{l}{x^2} + {x^2} = {\left( {\sqrt {32} } \right)^2}\,\, \Rightarrow \,\,2{x^2} = 32\\\\ \Rightarrow {x^2} = 16\,\, \Rightarrow \,\,x = 4\end{array}\)                   

\(\begin{array}{l}{x^2} + {3^2} = {5^2}\,\, \Rightarrow \,\,{x^2} = {5^2} - {3^2}\,\, \Rightarrow \,\,{x^2} = 25 - 9\\\\{x^2} = 16\,\, \Rightarrow \,\,x = \sqrt {16} = 4\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{y^2} = {4^2} + {\left( {\sqrt {15} } \right)^2} = 16 + 15\,\, = 31\,\, \Rightarrow \,\,y = \sqrt {31} \\\\\\{x^2} = {y^2} + {\left( {\sqrt {19} } \right)^2} = {\left( {\sqrt {31} } \right)^2} + 19 = 31 + 19\\\\ = 50 = 25 \times 2\,\, \Rightarrow \,\,x = 5\sqrt 2 \end{array}\)                   

\(\begin{array}{l}{y^2} = {8^2} + {6^2} = 64 + 36\,\, = 100\,\, \Rightarrow \,\,y = 10\\\\\mathop {ABC}\limits^\Delta \,\,:\,\,\,\,{x^2} + {\left( {3\sqrt 3 } \right)^2} = {\left( {y + 4} \right)^2}\\\\\mathop \Rightarrow \limits^{y = 10} \,\,{x^2} + 27 = {14^2} = 196\, \Rightarrow \,{x^2} = 196 - 27 = 169\\\\ \Rightarrow \,\,x = \sqrt {169} \,\,\, \Rightarrow \,\,\,x = 13\end{array}\)          

\(\begin{array}{l}A{D^2} = {\left( {6 + 5} \right)^2} + {\left( {4 + 3} \right)^2} = {11^2} + {7^2} = \\\\121 + 49 = 170\,\,\, \Rightarrow \,\,\,AD = \sqrt {170} \end{array}\)         

\({S_{\mathop {ABC}\limits^\Delta }} = \frac{{AB \times AC}}{2} = \frac{{5 \times 12}}{2} = \frac{{60}}{2} = 30\)

با توجه به شکل می توان نوشت:

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2} + {12^2} = {13^2}\,\, \Rightarrow \,\,{x^2} + 144 = 169\\\\ \Rightarrow \,\,{x^2} = 169 - 144 = 25\,\, \Rightarrow \,\,x = 5\end{array}\)                  

       \(\begin{array}{l} \Rightarrow \,\,{x^2} + {11^2} = {15^2}\,\, \Rightarrow \,\,{x^2} + 121 = 225\\\\ \Rightarrow \,\,{x^2} = 225 - 121 = 104\,\, \Rightarrow \,\,x = \sqrt {104} = 2\sqrt {26} \end{array}\)       

چون دو مثلث هم نهشت هستند، بنابراین برابری زاویه ها را می نویسیم:

برابری سه زاویه هیچ گاه نمی تواند دلیل هم نهشتی دو مثلث باشد.

در دو شکل هم نهشت، اضلاع متناظر با هم برابر هستند:

\(\left\{ \begin{array}{l}AB = EF = 8\\\\AD = FG = 14\\\\BC = EH = 20\end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow \,\,\,GH = 52 - \left( {8 + 14 + 20} \right) = 52 - 42 = 10\)

با توجه به شکل، نقطه مرکز هشت ضلعی منتظم مرکز دوران می باشد که با دوران \(180°\)، می توان مثلث ABC را بر روی مثلث DEF منطبق کرد.

از آن جایی که دو مثلث هم نهشت هستند، از برابری اجزای متناظر خواهیم داشت:

با توجه به هم نهشتی دو مثلث، برابری اجزای متناظر را می نویسیم:

مثلث ABC با مثلث AGD هم نهشت نمی باشد.