شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | مضرب های طبیعی یک عدد](https://dl.my-dars.com/upload/image/021695563426.jpg)
برای نوشتن مضرب های طبیعی یک عدد ، کافی است عدد داده شده را به ترتیب در اعداد طبیعی ضرب کنیم تا مضرب های طبیعی آن بدست بیاید.
مثال
مضرب های طبیعی عددهای زیر را بنویسید.
مضرب های طبیعی 5
مضرب های طبیعی 6
مضرب های طبیعی 5 \( = 1 \times 5\,,\,2 \times 5\,,\,3 \times 5\,,\,4 \times 5\,,\, \cdots = 5\,,\,10\,,\,15\,,\,20\)
مضرب های طبیعی 6\( = 6\,,\,12\,,\,18\,,\,24\,,\,30\,,\,36\,,\, \cdots \)
با توجه به مثال بالا می توان نکته های زیر را نتیجه گرفت:
1 فقط اولین مضرب هر عدد اول ، عددی اول است و بقیه مضرب های آن مرکب هستند؛ مثلا 5 عددی اول است پس اولین مضرب آن یعنی خود 5 ، اول و بقیه مضرب های آن یعنی ...و 20 و 15 و 10 مرکب هستند.
2 همه مضرب های یک عدد مرکب ، مرکب هستند؛ مثلاً 6 عددی مرکب است پس همه مضرب های آن مرکب هستند.
به این ترتیب، اعداد طبیعی به سه بخش تقسیم می شوند:
1 عدد 1
2 عددهای اول
3 عددهای مرکب
مثال
الف عدد 10 چند مضرب دارد؟
بی شمار
ب چند تا از مضرب های آن عدد اول هستند؟
هیچ کدام؛ زیرا خود 10 عددی مرکب است،پس همه مضرب های آن نیز مرکب اند.
پ تنها مضرب اول عدد 23 کدام است؟
خود عدد 23
تعداد شمارنده های یک عدد محدود است اما تعداد مضرب های آن بی شمار!
اگر ب.م.م (بزرگترین مقسوم علیه مشترک) دو عدد برابر یک باشد، می گوییم دو عدد نسبت به هم اول هستند؛ به عنوان مثال عدد های 6 و 35 نسبت به هم اول هستند؛ زیرا:
مضرب های طبیعی 5\( = 1\,,\,5\,,\,7\,,\,35\)
مضرب های طبیعی 6\( = 1\,,\,2\,,\,3\,,\,6\)
\( \Rightarrow (35\,,\,6) = 1\)
1 هر دو عدد اول متمایز نسبت به هم اول هستند؛ مانند: \((23\,,\,11) = 1\)
2 هر دو عدد طبیعی متوالی نسبت به هم اول هستند؛ مانند: \((31\,,\,32) = 1\)
3 عدد یک و هر عدد طبیعی بزرگتر از یک نسبت به هم اول هستند؛ مانند: \((25\,,\,1) = 1\)
4 اگر دو عدد طبیعی نسبت به هم اول باشند ، ک.م.م (کوچکترین مضرب مشترک) آنها از حاصل ضرب آن دو عدد بدست می آید؛ مثلا 1 = (3 و 4)؛ آن گاه ک.م.م آن دو برابر است با:
\([4\,,\,3] = 4 \times 3 = 12\)
مثال
الف سه عدد مرکب بنویسید که غیر از 2 و 7 شمارنده اول دیگری نداشته باشند.
چون 2 و 7 هر دو شمارنده های اول این اعداد هستند پس باید آنها را در هم ضرب کنیم و چون غیر از 2 و 7 شمارنده اول دیگری ندارند، پس برای ساخت عدد های بعدی باید به تعداد دلخواه 2 و 7 را در هم ضرب کنیم.
\(\begin{array}{l}2 \times 7 = 14\\\\2 \times 2 \times 7 = 28\\\\2 \times 2 \times 2 \times 7 = 56\\\\2 \times 7 \times 7 = 98\end{array}\)
ب آیا این عددها نسبت به عددی که شمارنده های اول آن 7 و 13 باشند، اول است ؟
خیر؛ زیرا شمارنده مشترک 7 را دارند؛ پس نسبت به هم اول نیستند.
مثال
اگر تعداد عدد های اول کمتر از 35، 11 عدد باشند، تعداد عددهای مرکب کمتر از 35 چند تا است؟ چرا؟
عددهای طبیعی سه بخش می شوند: یک، عدد اول، عدد مرکب. در اینجا از 35 عدد، 11 عدد اول هستند و یکی دیگر از آن 35 عدد، عدد یک است (که نه اول است و نه مرکب). در نتیجه (12 = 11 + 1) 12 عدد از 35 عدد مرکب نیستند؛ پس تعداد عدد های مرکب کمتر از 35:
23 = 12 – 35
مجموع دو عدد اول، 25 است. حاصل ضرب آن دو عدد را بدست آورید.
هرگاه مجموع یا تفاضل دو عدد طبیعی ، عددی فرد باشد یکی از آنها زوج و دیگری فرد بوده است. در اینجا چون ذکر شده مجموع دو عدد اول ،پس می نویسیم: (25 = عدد زوج اول + عدد فرد اول) و چون تنها عدد زوج اول عدد 2 می باشد؛ پس داریم:
عددهای 15 و 21 دو شمارنده یک عدد هستند. شش شمارنده دیگر این عدد را بنویسید.
\(\left\{ \begin{array}{l}15 = 3 \times 5\\\\21 = 3 \times 7\end{array} \right. \Rightarrow \,5 \times 7 = 35\,\,\,,\,\,\,3 \times 5 \times 7 = 105\)
دیگر شمارنده ها:
105، 35، 7، 5، 3، 1
توجه کنید که یک شمارنده همه عدد ها است و چون در ساختار 15 و 21 عدد های 3 و 5 و 7 وجود دارد پس در واقع در ساختار عدد اصلی هم باید وجود داشته باشند و در نهایت حاصل ضرب این عددها (یعنی 3 و 5 و 7) نیز در ساختار عدد اصلی وجود دارد.
1736019749.png)
