درسنامه کامل حسابان یازدهم فصل 1 جبر و معادله

چون\(a = 1\) و \(d = 3\) و\({a_n} = 100\) بنابراين:

\(100 = 1 + (n - 1)(3) \to 100 = 1 + 3n - 3 \to 3n = 102 \to n = 34\)

بنابراين جمله سي و چهارم برابر با 100 ميباشد.

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a_4} - {a_2} = 10\\{a_4} + {a_7} = 54\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}(a + 3d) - (a + d) = 10\\(a + 4d) + (a + 6d) = 54\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2d = 10\\2a + 10d = 54\end{array} \right. \Rightarrow d = 5,a = 2\\\\ \Rightarrow {a_{81}} = a + 80d \Rightarrow {a_{81}} = 2 + 80 \times 5 = 402\end{array}\)

 با كمي دقت متوجه ميشويم كه\({a_7} = {s_7} - {s_6}\) پس :

\({a_7} = (4({7^2}) - 7) - (4({6^2}) - 6) = 51\)

\(\begin{array}{l}{a_3} + {a_7} + {a_{11}} + {a_{15}} = 20 \Rightarrow ({a_3} + {a_{15}}) + ({a_7} + {a_{11}}) = 20\\\\ \to 2({a_1} + {a_{17}}) = 20 \to {a_1} + {a_{17}} = 10\\\\{s_{17}} = \frac{{17}}{2}({a_1} + {a_{17}}) \Rightarrow {s_{17}} = \frac{{17}}{2} \times 10 = 85\end{array}\)

\(\)

 روش اول: چون\(d = 4\)\(a = - 1\)پس:

مجموع جملات بيست ويكم تا سي ام \( = {S_{30}} - {S_{20}} = \frac{{30}}{2}( - 2 + 29 \times 4) - \frac{{20}}{2}( - 2 + 20 \times 4) = 970\)

روش دوم : چون\({a_{21}} = - 1 + 20 \times 4 = 79\)پس مجموع خواسته شده برابراست بامجموع ده جمله  اول دنباله حسابي كه جمله اول آن 79 و قدر نسبت آن 4 ميباشد، بنابراين:

\({S_{10}} = \frac{{10}}{2}(158 + 36) = 970\)

چون\(a = 2\) و\(q = \frac{1}{2}\) پس\({a_n} = 2{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}\)كه طبق فرض بايد\(2{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} > {10^{ - 3}}\)باشد بنابراين:

\(\begin{array}{l}2 \times {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 1}} > \frac{1}{{1000}} \Rightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} > \frac{1}{{4000}} \Rightarrow {2^n} < 4000 \Rightarrow n < 12\\\end{array}\)

درنتيجه يازده جمله بزرگتر از\(\frac{1}{{1000}}\)دارد.

\(\begin{array}{l}\frac{{{a_5}}}{{{a_3}}} = {q^3} \Rightarrow \frac{{96}}{{12}} = {q^3} \Rightarrow q = 2\\\\\frac{{{a_7}}}{{{a_5}}} = {q^3} \Rightarrow {a_7} = 96 \times 4 \Rightarrow {a_7} = 384\end{array}\)

\({a_1}{a_2}....{a_9} = {({a_5})^9} = {1^9} = 1\)

\(\begin{array}{l}\frac{{{s_6}}}{{{s_3}}} = \frac{{63}}{7}\\\\ \Rightarrow \frac{{\frac{{a(1 - {q^6})}}{{1 - q}}}}{{\frac{{a(1 - {q^3})}}{{1 - q}}}} = 9 = \frac{{1 - {q^6}}}{{1 - {q^3}}} = 9\\\\ \Rightarrow 1 + {q^3} = 9 \Rightarrow {q^3} = 8 \Rightarrow q = 2\\\\ \Rightarrow \frac{{{a_6}}}{{{a_3}}} = {q^4} \Rightarrow \frac{{{a_6}}}{{{a_2}}} = 16\end{array}\)

چون \(a = 1\) و \(q = \frac{1}{3}\)و ميخواهيم\({s_n} < 1/497\)باشد پس داريم:

\(\begin{array}{l}\frac{{1\left( {1 - {{(\frac{1}{3})}^n}} \right)}}{{1 - \frac{1}{3}}} < 1/497 \Rightarrow \frac{3}{2}\left( {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}} \right) < \frac{{1497}}{{1000}} \Rightarrow 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^n} < \frac{{499}}{{500}} \Rightarrow {\left( {\frac{1}{3}} \right)^n} > \frac{1}{{500}} \Rightarrow \\\\{3^n} < 500 \Rightarrow n < 6\end{array}\)

\(a = 1\)

\(\left| q \right| < 1 \Rightarrow s = \frac{1}{{1 - ( - \frac{1}{4})}} = \frac{1}{{\frac{5}{4}}} = \frac{4}{5}\)

 اگر جمله اول a و قدر نسبت q باشد داريم:

\(a = \frac{{aq}}{{1 - q}} \Rightarrow 1 = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{{a_5}}}{{{a_1}}} = {q^4} = \frac{1}{{16}}\)

 بنا به تساوي تقسيم داريم

\(P(x) = ({x^2} - 3x + 2)Q(x)(3x - 1)\) 

و در نتيجه

 P(2) = (4 - 6 + 2)Q(2) + (6 - 1)

بنابراین

\(P(2) = 5\)

\(\begin{array}{l}\frac{a}{{3x - 1}} + \frac{b}{{3x + 1}} = \frac{1}{{9{x^2} - 1}} \Rightarrow \frac{{a(3x + 1) + b(3x - 1)}}{{(3x - 1)(3x + 1)}} = \frac{1}{{9{x^2} - 1}} \Rightarrow a(3x + 1) + b(3x - 1) = 1 \Rightarrow \\\\3(a + b)x + a - b = 0\\\\a - B = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{2}\\\\b = - \frac{1}{2}\end{array}\)

 بايد \({a^2} - 4 = 0\) و \(a - b = 0\)باشد كه از اينجا داريم \(a = b = 2\).

 ميدانيم خارج قسمت و باقي مانده به ترتيب به صورت \(Q(x) = ax + b\)و\(R(x) = cx + d\) ميباشند بنابراين داريم:

\({x^2} - 2{x^2} + 5x - 1 = ({x^2} + 1)(ax + b) + (cx + d)\)

درنتيجه:

\({x^2} - 2{x^2} + 5x - 1 = a{x^3} + b{x^2} + (a + c)x + b + d\)

بنابراين:

\(\begin{array}{l}a = 1,b = - 2,a + c = 5,b + d = - 1 \Rightarrow a = 1,b = - 2,c = 4,d = 1\\\\Q(x) = x - 2,R(x)=4x + 1\end{array}\)

\(\begin{array}{l}R = P( - 1) \Rightarrow R = {( - 1)^7} - 3{( - 1)^2} + 4( - 1) - 5 \Rightarrow R = - 12\\\\P(x) = {x^7} - 3{x^2} + 4x - 5\end{array}\)

 چون \({x^2} + x - 2 = (x + 2)(x - 1)\) و \(P(x) = {x^3} - 2{x^2} + ax + b\) ميباشد، بايد \(P( - 2) = 0\) ,\(P(1) = 0\)در نتيجه:

\(( - 2) - 2{( - 2)^2} + a( - 2) + b = .\)

\(\begin{array}{l}{(1)^2} - 2{(1)^2} + a(1) + b = 0 \Rightarrow - 2a + b = 16\\\\a + b = 1 \Rightarrow a = - 5,b = 6\end{array}\)

باتوجه به فرض داريم \(P(2) = 2\) و \(P(3) = 7\) و طبق تساوي تقسيم \(P(x) = ({x^2} - 5x + 6)Q(x) + (ax + b)\) بنابراین \(P(2) = 2a + b\) و \(P(3) = 3a + b\) در نتیجه

\(\left\{ \begin{array}{l}2a + b = 2\\3a + b = 7\end{array} \right. \Rightarrow a = 5,b = - 8,R = 5x - 8\)

بايد نشان دهيم عبارت \(g(x) = 2{x^3} + 3{x^2} - 8x - 12\) به ازای \(x = - \frac{3}{2}\)

صفر است.

براي بدست آوردن فاكتورهاي ديگر \(g(x)\)را بر \(2x + 3\)تقسيم ميكنيم.

\(\begin{array}{l}2{x^3} + 3{x^2} - 8x - 12\\\\2{x^3} + 3{x^2}\end{array}\)

بنابراين:

\(\begin{array}{l}2{x^3} - 3{x^2} - 8x - 12 = (2x + 3)({x^2} - 4) \Rightarrow \\\\2{x^3} + 3{x^2} - 8x - 12 = (2x + 3)(x - 2)(x + 2)\end{array}\)

در نتيجه فاكتورهاي مورد نظر \(x = 2,x - 2\) ميباشد.

 چون \( - \frac{b}{a} = - 1\) 

و\({x^{1389}} + 3{x^7} - 4x + 1 = {({x^3})^{463}} + 3(x)x - 4x + 1\) ميباشد پس:

\(R(x) = {( - 1)^{463}} + 3{( - 1)^2}x - 4x + 1 \Rightarrow R = - x\)

\({(x + y)^3} = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^3} + {y^3}\)

\(\begin{array}{l}{(2x - 3)^4} = {(2x)^4} + 4{(2x)^3}( - 3) + 6{(2x)^2}{( - 3)^2} + 4(2x){( - 3)^3} + {( - 3)^4}\\\\ = 16{x^4} - 96{x^3} + 216{x^2} - 216x + 81\end{array}\)

 حاصل عبارت را به ازاي \(x = 1,y = 1\) بدست مي آوريم در نتيجه داريم :

یب\(\)\( = 3 - 2 + 1 + 7 - 2 = - 1\)مجموع ضرا

مجموع ضرایب\( = {(2 + 3 - 6)^{71}} = {( - 1)^{71}} = - 1\)

\(\left( \begin{array}{l}7\\2\end{array} \right){(2x)^2}{( - y)^5} = \frac{{7!}}{{2! \times 5!}}(4{x^2})( - {y^5}) = - 60{x^2}{y^5}\)