درسنامه کامل حسابان (1) فصل 4 مثلثات

\(\min f = - \left| 2 \right| = - 2,\max f = \left| { - 2} \right| = 2,T = \frac{{2\pi }}{3}\)

براي رسم، نقاطي كه تابع مقادير حداكثر و حداقل دارد را به دست آورده، همچنين نقاطي كه تابع صفر مي شود را نيز مشخص كنيم . سپس با توجه به نمودار توابع \(y = \sin x\) و \(y = \cos x\)شكل را كامل ميكنيم.

\(\begin{array}{l}2 = - 2\sin 3x \Rightarrow \sin 3x = - 1 \Rightarrow \frac{{3\pi }}{2} \Rightarrow x = \frac{{2\pi }}{3}\\\\ - 2 = - 2\sin 3x \Rightarrow \sin 3x = 1 \Rightarrow \frac{\pi }{2} \Rightarrow x = \frac{\pi }{3}\\\\0 = - 2\sin 3x \Rightarrow \sin 3x = 0 \Rightarrow 3x = 0 \Rightarrow x = 0\left\{ \begin{array}{l}3x = 0 \Rightarrow x = 0\\\\3x = \pi \Rightarrow x = \frac{\pi }{3}\\\\3x = 2\pi \Rightarrow x = \frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\end{array}\)

نمودار تابع به صورت زير است:

\(\left. \begin{array}{l}\min y = - 1 = - \left| a \right| + c\\\max y = 3 = \left| a \right| + c\end{array} \right\}c = 1,\left| a \right| = 2\)

باتوجه به شكل \(a = 2\) ميباشد چون موج كسينوسي از بالا شروع شده است. همچنين:

\(t = \pi \Rightarrow \pi = \frac{{2\pi }}{b} \Rightarrow x = 2 \Rightarrow y = 2\cos (2x) + 1\)

الف)

 در واقع بايد بيشترين مقدار تابع را محاسبه نمود، بنابراين كافيست به جاي \(\cos \frac{{\pi t}}{{10}}\) عدد يك قرار داده یعنی \(\max d = \left| a \right| + c\)بنابراين\(\max d = 2 + 6 = 8\) \(\max d = 2 + 6 = 8\)

 ب) در 20 ثانيه يك نوسان كامل انجام ميگيرد \(b = \frac{\pi }{{10}} \Rightarrow t = \frac{{2\pi }}{{\left| b \right|}} = \frac{{2\pi }}{{\frac{\pi }{{10}}}} = 20\)

ج) نوسان كامل ثانيه \(2 \times 60 = 120 \Rightarrow 12 + 2 = 6\)

د)

\(\begin{array}{l}\max d = 8 \Rightarrow 8 = 2\cos \frac{\pi }{{10}}t + 6 \Rightarrow \cos \frac{\pi }{{10}}t = 1 \Rightarrow \frac{\pi }{{10}}t = 0,\frac{\pi }{{10}}t = 2\pi \Rightarrow t = 0,t = 20\\\\\min d = 4 \Rightarrow 4 = 2\cos \frac{\pi }{{10}}t + 6 \Rightarrow \cos \frac{\pi }{{10}}t = - 1 \Rightarrow \frac{\pi }{{10}}t = \pi ,\pi = 20\\\\d = 0 \Rightarrow \cos (\frac{{\pi t}}{{10}}) = 0 \Rightarrow \frac{\pi }{{10}}t = \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{{10}}t = \frac{{3\pi }}{2} \Rightarrow t = 5,t = 15\\\\\max d = 8 \Rightarrow 8 = 2\cos \frac{\pi }{{10}}t + 6 \Rightarrow \cos \frac{\pi }{{10}}t = 1 \Rightarrow \frac{\pi }{{10}}t = 0,\frac{\pi }{{10}}t = 2\pi \Rightarrow t = 0,t = 20\\\\\min d = 4 \Rightarrow 4 = 2\cos \frac{\pi }{{10}}t + 6 \Rightarrow \cos \frac{\pi }{{10}}t = - 1 \Rightarrow \frac{\pi }{{10}}t = \pi ,\pi = 20\\\\d = 0 \Rightarrow \cos (\frac{{\pi t}}{{10}}) = 0 \Rightarrow \frac{\pi }{{10}}t = \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{{10}}t = \frac{{3\pi }}{2} \Rightarrow t = 5,t = 15\\\\\end{array}\)معادله ي توابع

سينوسي و كسينوسی در حالت كلي به صورت\(y = a\sin \left[ {b(t - c)} \right] + d\) و \(y = a\cos \left[ {b(t - c)} \right] + d\)ميباشد كه مقدار c نمايشگر تعداد واحدي است كه \(y = a\sin (bt)\) و\(y = a\cos (bt)\)در راستاي محور طولها انتقال می یابند . هرگاه \(a > 0\)انتقال به طرف راست محور طول ها و هرگاه\(a < 0\)انتقال در جهت چپ محور طول ها صورت ميگيرد  d تعداد واحدي است كه توابع\(y = a\sin \left[ {b(t - c)} \right] + d\) و\(y = a\cos \left[ {b(t - c)} \right] + d\) در راستاي محور عرض ها منتقل ميشود. اگر \(a > 0\)انتقال به طرف بالا و اگر \(b < 0\)انتقال در جهت پايين صورت ميگيرد.

\(\begin{array}{l}a = \frac{{4/5 - 1/5}}{2} = 1/5\\\\t = \frac{{5\pi }}{4} - \frac{\pi }{4} = \pi \Rightarrow \frac{{2\pi }}{b} = \pi \Rightarrow b = 2\end{array}\)

همچنين با توجه به شكل، نمودار شبيه نمودار سينوسي است كه از\(\pi = \frac{\pi }{4}\) شروع شده است. يعني موج سينوسي به اندازه \(\frac{\pi }{4}\)به طرف راست منتقل شده است . پس \(c = \frac{\pi }{4}\)و مقدار d نيز برابر است با:

\(d = \frac{{\max y + \min y}}{2} = \frac{{4/5 + 1/5}}{2} = 3\)

در نتيجه معادله ي تابع به صورت زير است:

\(y = 1/5\sin \left[ {2(t - \frac{\pi }{4})} \right] + 3\)

الف)

\(\begin{array}{l}\max h = 10 + 12 = 22\\\\\max h = 12 - 10 = 2\end{array}\)

ب)

\(\begin{array}{l}10\sin \left[ {\frac{\pi }{{30}}(t - 15)} \right] + 12 = 22 \Rightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{30}}(t - 15)} \right] = 1\\\\ \Rightarrow \frac{\pi }{{30}}(t - 15) = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t - 15 = 15 \Rightarrow 15 \Rightarrow at = 3\\\\10\sin \left[ {\frac{\pi }{{30}}(t - 15)} \right] + 12 = 2 \Rightarrow \sin \frac{\pi }{{30}}(t - 15) = 1\\\\\frac{\pi }{{30}}(t - 15) = - \frac{\pi }{2} \Rightarrow t - 15 = - 15 \Rightarrow t = 0\end{array}\)

ج)

\(t = \frac{{2\pi }}{b} = \frac{{2\pi }}{{\frac{\pi }{{30}}}} = 60s\)

با استفاده از قسمت ب نيز ميتوان تشخيص داد كه دوره تناوب \(2 \times 30 = 60\) ثانیه می شود

د)

\(h(t) = 17 \Rightarrow \left( {} \right)\sin \left[ {\frac{\pi }{{30}}(t - 15)} \right] = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{\pi }{{30}}(t - 15) = \frac{\pi }{6},\frac{\pi }{{30}}(t - 15) = \frac{{5\pi }}{6} \Rightarrow t = 20,t = 40\)

\(\begin{array}{l}\frac{{2\tan x}}{{1 + {{\tan }^2}x}} = \frac{{\frac{{2\sin x}}{{\cos x}}}}{{\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}}}\\\\\frac{{1 - {{\tan }^2}x}}{{1 + {{\tan }^2}x}} = \frac{{\frac{{1 - {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}}}{{\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}}} = \frac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x = {\cos ^2}x\\\\\frac{{\sin x}}{{2\cos x - 1}} + \frac{{\sin x}}{{2\cos x + 1}} = \frac{{2\sin x\cos x + 2\sin x\cos x - \sin x}}{{4{{\cos }^2}x - 1}} = \frac{{4\sin x\cos x}}{{4{{\cos }^2} - 1}} = \frac{{2\sin 2x}}{{2(2{{\cos }^2}x - 1) + 1}} = \frac{{2\sin 2x}}{{2\cos 2x + 1}}\\\\\cos 2x = \frac{{1 - {{\tan }^2}x}}{{1 + {{\tan }^2}x}}\\\\\frac{{2\sin 2x}}{{2{{\cos }^2}x + 1}} = \frac{{\sin x}}{{2\cos x - 1}} + \frac{{\sin x}}{{2\cos x + 1}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\sin 75 = \sin (45 + 30) = \sin 45\cos 30 + \cos 45\sin 30 = \frac{{\sqrt 2 }}{2}(\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}\\\\\sin 75 = \sin (45 + 30) = \cos 45\cos 30 - \sin 45\sin 30 = \frac{{\sqrt 2 }}{2}(\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{2}\\\\\tan 75 = \sin (45 + 30) = \frac{{\tan 45 + \tan 30}}{{1 - \tan 45\tan 30}} = \frac{{1 + \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }}}}{{1 - \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }}}} = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{{3 - \sqrt 3 }}\\\\\cot 75 = \frac{1}{{\tan 75}} = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{{3 + \sqrt 3 }}\end{array}\)

الف)

\(\begin{array}{l}\frac{{\sin 7x + \sin x}}{{\cos 7x + \cos x}} = \frac{{2\sin (\frac{{7x + x}}{2})\cos (\frac{{7x - x}}{2})}}{{2\cos (\frac{{7x + x}}{2})\cos (\frac{{7x - x}}{2})}} = \frac{{\sin 4x}}{{\cos 4x}} = \tan 4x\\\\\cos 5x\cos 2x + \sin 4x\sin 3x - \cos 4x\cos x = \sin 2x\sin 3x\\\\\\\\\\\cos 5x\cos 2x + \sin 4x\sin 3x - \cos 4x\cos x = \sin 2x\sin 3x\end{array}\)

ب)

\(\begin{array}{l}\cos 5x\cos 2x + \sin 4x\sin 3x - \cos 4x\cos x = \frac{1}{2}\left[ {\cos (5x + 2x) + \cos (5x - 2x)} \right]\\\\ + \frac{1}{2}\left[ {\cos (4x - 3x) + \cos (4x + 3x)} \right]\\ - \frac{1}{2}\left[ {\cos (4x + x) + \cos (4x - x)} \right]\\ = \frac{1}{2}\left[ {\cos 7x + \cos 3x + \cos x - \cos 7x - \cos 5x - \cos 3x} \right]\\\\ = \frac{1}{2}\left[ {\cos x - \cos 5x} \right]\\\\ = \frac{1}{2}( - 2)\sin (\frac{{x + 5x}}{2})\sin (\frac{{x0 - 5x}}{2})\\\\ - \sin 3x\sin ( - 2x)\\\\ = \sin 3x\sin 2x\end{array}\)

الف)

\(\begin{array}{l}2{\cos ^2}\theta + \cos \theta = 1 \Rightarrow 2{\cos ^2}\theta + \cos \theta - 1 = 0 \Rightarrow \\\\(2\cos - 1)(\cos \theta + 1) = 0 \Rightarrow \\\\\left\{ \begin{array}{l}2{\cos ^2}\theta - 1 = 0 \Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi }{3} \Rightarrow \theta = 2k\pi \pm \frac{\pi }{3}\\\\(\cos \theta + 1) = 0 \Rightarrow \cos \theta = - 1 = \cos \pi \Rightarrow \theta = 2k\pi + \pi \end{array} \right.\end{array}\)

ب)

\(\begin{array}{l}1 - 3(1 - 2{\sin ^2}x) = 2{\sin ^2}x \Rightarrow 1 - 3 + 2 = 6{\sin ^2}x = 2{\sin ^2}x \Rightarrow + 4{\sin ^2}x = + 2\\\\ \Rightarrow {\sin ^2}x = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin x = \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\\\\sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{4} \Rightarrow x = 2k\pi + \frac{\pi }{4}\\\\\sin x = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \sin x = \sin ( - \frac{\pi }{4}) \Rightarrow x = 2k\pi - \frac{\pi }{4},x = 2k\pi + \frac{{5\pi }}{4}\\\end{array}\)

چهار جواب معادله ي مثلثاتي فوق را ميتوان به صورت زير خلاصه كرد:

\(x = k\pi + \frac{\pi }{4},k \in z\)

ج)

\(\begin{array}{l}4\tan x + \cot x = 5 \Rightarrow 4\tan x + \frac{1}{{\tan x}} = 5 \Rightarrow 4{\tan ^2}x + 1 = 5\tan x(x \ne \frac{{k\pi }}{2})\\\\ \Rightarrow 4{\tan ^2}x - 5\tan x + 1 = 0\left\{ \begin{array}{l}\tan x = 1 = \tan \frac{\pi }{4} \Rightarrow x = k\pi + \frac{\pi }{4}\\\\\tan x = \frac{1}{4} = \tan \alpha \Rightarrow x = k\pi + \alpha \end{array} \right.\end{array}\)

چون كوچكترين زاويه اي كه مقدار تانژانت آن برابر با\(\frac{1}{4}\) است را بدون ماشين حساب نميتوان يافت از 1 زاويه αاستفاده كرديم.

ابتدا معادله را به صورت \(\sin x = - 2x + 1\)مينويسيم . سپس نمودارهاي\(f(x) = \sin x\)و\(g(x) = - 2x + 1\)را رسم ميكنيم طول نقاط تلاقي اين دو نمودار جواب معادله مورد نظر ميباشد.

 همانطوركه مشاهده ميكنيد معادله يك جواب دارد كه بين صفر و\(\frac{\pi }{2}\) است با روش آزمايش و خطا π ميتوان جواب تقريبي را بدست آورد .

مثلا:

\(\begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(\frac{\pi }{4}) = \sin \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \approx \frac{{1/4}}{2} = 0/7\\\\g(x) = - \frac{\pi }{2} + 1 \approx \frac{{3/14}}{2} + 1 = - 0/75\end{array} \right.\\\\x = \frac{\pi }{6} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(\frac{\pi }{6}) = \sin \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2}\\\\g(x) = - \frac{\pi }{3} + 1 \approx - \frac{{3/14}}{2} + 1 = - 0/05\end{array} \right.\\x = 15^\circ = \frac{\pi }{{12}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(\frac{\pi }{{12}}) = \sin 15^\circ \approx 0/25\\g(x) - \frac{\pi }{6} + 1 \approx \frac{{2/86}}{6} = 0/48\end{array} \right.\end{array}\)

\(\)ً

لذا جواب معادله ي فوق نزديك به \(\frac{\pi }{{12}} \approx 026\) است و با ادامه ي اين روش و با استفاده از ماشين حساب ميتوان تقريب هاي بهتري يافت.

\({\sin ^{ - 1}}\left( a \right) = b\)یعنی\(\sin b = a\) به این توضیح داریم:

\({\cos ^{ - 1}}(\frac{{\sqrt 2 }}{2}) = \frac{\pi }{4}\)                         \({\sin ^{ - 1}}\left( 0 \right) = 0\)

\({\cot ^{ - 1}}( - 1) = \frac{{3\pi }}{4}\)                          \({\tan ^{ - 1}}(1) = \frac{\pi }{4}\)