درسنامه کامل حسابان (1) فصل 2 تابع

الف) مجموعه B هر زير مجموعه اي از اعداد حقيقي شامل مجموعه \(\left\{ {2,4,6,8,\left. {10} \right\}} \right.\) ميتواند باشد

ب) اعضاي تابع f به صورت\(f = \left\{ {\left( {1,2} \right)} \right.,\left( {2,4} \right),\left( {3,6} \right),\left( {4,8} \right),\left. {\left( {5,10} \right)} \right\}\)  ميباشد.

ج) ضابطه تابع f را ميتوان به صورت \(f(x) = 2x\) نوشت.

د) تابعfراميتوان به صورتهاي\(\left\{ \begin{array}{l}f:A \to N\\f(x) = 2x\end{array} \right.\) يا\(\left\{ \begin{array}{l}\left\{ {f:\left\{ {1,2,3,4,\left. 5 \right\}} \right.} \right. \to \left\{ {1,2,3,4,5,\left. {...} \right\}} \right.\\f(x) = 2x\end{array} \right.\) نوشت كه به طوركامل تابع فوق را معرفي ميكنند توجه كنيد كه مجموعه A دامنه تابع f و مجموعه N ، هم دامنه تابع و همچنين برد تابع مجموعه \(\left\{ {2,4,6,8\left. {,10} \right\}} \right.\) ميباشد.

 الف) با توجه به اينكه از هر عضو A دقيقاً يك پيكان بايد خارج شده باشد بنابراين دقيقاً بايد m پيكان از A به B كشيده شود.

ب) بيشمار تابع براي g ميتوان در نظر گرفت.به عنوان مثال ميتوان g  را چنين در نظر گرفت:

مجموعه {فرانسه، انگليس، ايران} دامنه تابع و مجموعه { رياض، پاريس، لندن، تهران} هم دامنه تابع و مجموعه {پاريس، لندن، تهران} باشندبرد تابع مي باشند.

ج) ميتوان g را چنين در نظر گرفت.

مجموعه \(\left\{ {ali,reza,ami} \right.\left. r \right\}\) دامنه تابع و\(\left\{ {A,R,\left. B \right\}} \right.\)  هم دامنه تابع و مجموعه \(\left\{ {A,\left. R \right\}} \right.\) برد تابع ميباشند.

د) تابع g را ميتوان چنين در نظر گرفت

مجموعه \(\left\{ {1,2,5,\left. 8 \right\}} \right.\) دامنه تابع و مجموعه {نه اول و نه مركب، عدد مركب، عدد اول} هم دامنه و برد تابع هستند.

الف) با توجه به اينكه نمودار ضابطه داده شده يك خط است و هر خط با 2 نقطه مشخص ميشود كافي است 2 نقطه از اين خط را يافته و خط را رسم كرد.

 به عنوان مثال:

\(x = 0 \Rightarrow y = 32 \Rightarrow (0,32) \in f,x = - 10 \Rightarrow y = 14 \Rightarrow ( - 10,14) \in f\)

لذا شكل آن به صورت زير خواهد بود.

ب) نموار اين تابع قسمتي از تابع f است كه در آن \( - 20 \le x \le 20\) در واقع تابع g را تحديد تابع f ميناميم و نمودار آن چنين است:

ج) با توجه به اينكه\(g\left( 1 \right) = \frac{9}{5} + 32 = \frac{{169}}{5}\)  لذا چنين تابعي نميتوان يافت.

 طبق شكل اگر DC را برابر x بگيريم، داريم\(DFC = 30\) (چرا) و از آنجا\(F{C^2} = 2x\)  با توجه به رابطه ي فيثاغورس داريم:

\(F{C^2} = D{C^2} + F{D^2} \Rightarrow {(2x)^2} = {x^2} + F{D^2} = FD = \sqrt 3 x\)

لذا مساحت مستطيل فوق از رابطه\(S = (1 - 2x)x\sqrt 3 \)  دست مي آيد و داريم:

\(s = - 2\sqrt 3 ({x^2} - \frac{1}{2}x) = - 2\sqrt 3 \left[ {{{(x - \frac{1}{4})}^2} - \frac{1}{{16}}} \right] = - 2\sqrt 3 {(x - \frac{1}{4})^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{8}\)

اما بيشترين مقدار عبارت \( - 2\sqrt 3 {(x - \frac{1}{4})^2}\) صفر است كه به ازاي\(x = \frac{1}{4}\)  به دست مي آيد و لذا ماكزيمم S برابر \(\frac{{\sqrt 3 }}{8}\) است و طول و عرض اين مستطيل برابر است با\(x\sqrt 3 = \frac{1}{4}\sqrt 3 \) و

\(1 - 2x = 1 - 2(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2}\)

  دامنه اين دو تابع مجموعه \(\left\{ {3,7,\left. 9 \right\}} \right.\) است كه با هم مساوي است . \(f(7) = - 1\) ولي \(g(7) = 5\) پس دو تابع با هم مساوي نيستند .

 چون\(1 \in {D_g}\)  لذا بايد \(1 \in {D_f}\) و \(f(1) = 4\)  پس بايد \(g(1) = 4\) يعني \(a = 4\) همچنين \(g(b) = 2\) و از حل معادله\(f(x) = 2\) نتيجه ميشود كه \(x = \frac{1}{{^3\sqrt 3 }}\)لذا \(b = \frac{1}{{^3\sqrt 3 }}\) با استدلال هاي مشابه \(4 \in {D_g}\)و در نتیجه باید\(4 \in {D_f}\)  و چون \(f(4) = 193\) لذا \(g(4) = 193\) يعني \(c = 193\)

پس تابع   gبه صورت \(g(x) = \left\{ {(1,4),(\frac{1}{{^3\sqrt 3 }}} \right.),(4,193\left. ) \right\}\) بوده و A نيز چنين است \(A = \left\{ {(1,4),(\frac{1}{{^3\sqrt 3 }}} \right.),\left. 4 \right\}\)

دامنه هر دو تابع مجموعه اعداد حقیقی است اما به ازای هر \(x < 1\)  مقادیر هر دو تابع برابر نیست مثلا\(f( - 5) = \sqrt {(5} {)^2} = 25 = 5\)  ولی \(g( - 5) = - 5\)

ميدانيد كه \(\tan x\) به ازاي هر\(x = k\pi + \frac{\pi }{2}\) , \(K \in Z\) تعريف نشده است يعني اين نقاط در دامنه تابع f قرار ندارند.

 اما \(\cot x\) به ازاي هر  \(x = k\pi \) ,\(K \in Z\)  تعريف نشده و به ازاي هر\(x = k\pi + \frac{\pi }{2}\) , \(K \in Z\)  صفر 2 ميشود لذا مجموعه اين نقاط يعني نقاط به طول\(x = k\frac{\pi }{2}\) \(K \in Z\) , عضو دامنه تابع g نميباشد.

بنابراين دامنه اين دو تابع برابر نيست . به عنوان مثال \(f(0)\) تعريف شده و برابر صفر است اما تابع g به ازاي \(x = 0\)  تعريف نشده است

 اولاً دامنه هر دو تابع مجموعه اعداد حقيقي است و \(g(2) = M\) و  \(M = 5\) بنابراين 5 همچنين \(f( - 2) = L\) و \(g( - 2) = \frac{1}{{ - 4}}\) لذا.\(L = - \frac{1}{4}\)  توجه كنيد كه اگر   \(x \ne 2\), \(x \ne - 2\) آنگاه:

\(f(x) = \frac{{x + 2}}{{x - 2}} = \frac{{x + 2}}{{(x - 2)(x + 2)}} = \frac{1}{{x - 2}}\)

x را مبلغ خريد مشتري و \(y = f\left( x \right)\) را مبلغي كه مشتري بايد بپردازد در نظر بگيريد خواهيم داشت.

\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x,0 < x < 20000\\\\0/95,200000 \le x < 100000\\\\0/9,x \ge 100000\end{array} \right.\)

 x را نمره برگه دانشجو و \(y = f(x)\) را نمره نهايي او در نظر بگيريد خواهيم داشت:

\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}6 + \frac{x}{2},0 \le x < 8\\\\\frac{5}{6}x + \frac{{10}}{3},8 \le x \le 20\end{array} \right.\)

بدیهی است دامنه تابع یعن نمراتی که دانشجو گرفته از صفر تا 20 یعنی \(\left[ {0,20} \right]\)  می باشد

اما برد آن یعنی نمراتی که مدرس ثبت خواهد کرد چنین به دست می آید:

\(\begin{array}{l}0 \le x \le 8 \Rightarrow 0 \le \frac{x}{2} < 4 \to 6 \le 6 + \frac{x}{2} < 10\\\\8 \le x \le 20 \Rightarrow \frac{{40}}{6} \le \frac{5}{6}x \le \frac{{100}}{6} \to 10 \le \frac{5}{6}x + \frac{{10}}{3} \le 20\end{array}\)

يعني برد تابع يا نمرات نهايي مجموعه [20 , 6] ميباشد.

ب) براي محاسبه نمره نهايي دانشجويي كه نمره 11 گرفته است بايد از ضابطه دوم استفاده كرد، يعني:

\( = \frac{5}{6} \times 11 + \frac{{10}}{3} = \frac{{95}}{6} = 12/5\)

الف)دامنه به وضوح مجموعه اعداد حقيقي است.

 براي محاسبه برد آن ملاحظه ميكنيم كه

\(\left. \begin{array}{l}x < - 2 \Rightarrow {x^2} > 4 \Rightarrow g(x0 > 4\\\\ - 2 \le x \le 2 \Rightarrow g(x) = 5\\\\x > 2 \Rightarrow - 2x < - 4 \Rightarrow 4 - 2x < 0 \Rightarrow g(x) < 0\end{array} \right\} \Rightarrow {R_g} = ( - \infty ,0) \cup (4, + \infty )\)

ب(

\(g( - 3) = {( - 3)^2} = 9 \Rightarrow g(g( - 3)) = g(9) = 4 - 2 \times 9 = - 14\)

 واضح است كه اگر \(x \le - 2\) آن گاه \(f(x) = - 1\) و اگر \(x \ge 2\) آن گاه \(f(x) = - 1\)  اما به ازاي \( - 1 \le x \le 1\) نمودار تابع خطي است لذا با داشتن دو نقطه از آن مثلاً نقاط \(( - 2,1)\)  و \((0,0)\) ميتوان معادله آن را به دست آورد. شيب خط برابر است با \(\frac{{1 - 0}}{{ - 2 - 0}} = - \frac{1}{2}\)  و معادله آن به صورت \(y - 0 = - \frac{1}{2}(x - 1)\) يا \(y - 0 = - \frac{1}{2}x\) است لذا ضابطه تابع f به صورت

\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}1,x < - 2\\\\ - \frac{1}{2}x, - 2 \le x \le 2\\\\ - 1,x > 2\end{array} \right.\)

ميباشد توجه كنيد كه اين تابع را توان به صورت \(f(x) = \frac{1}{4}(\left| {x - 2} \right| - \left| {x + 2} \right|)\) نيز نوشت .

الف) داريم:

يعني به ازاي هر \(x > - 1\) بيش از يك y داريم . مثلاً اگر \(x = 0\)  داريم \(y = \pm 1\) .

 لذا اين رابطه مشخص كننده ي يك تابع نيست . البته تنها ذكر اين مطلب كه هر دو نقطه \((0,1)\) و \((0, - 1)\)  روي نمودار اين رابطه قرار دارد نشان دهنده ي اين است كه رابطه ي فوق تابع نميباشد.

ب) داريم:

\(\begin{array}{l}{x^2} - {y^2} - 2y = - 1 \Rightarrow {x^2} + {(y - 1)^2} = 0 \Rightarrow {(y - 1)^2} = - {x^2}\\\\ \Rightarrow y - 1 = \pm \sqrt { - {x^2}} \Rightarrow y = 1 \pm \sqrt { - {x^2}} \end{array}\)

ما x تنها مقدار صفر را ميتواند اختيار كند كه خروجي آن تنها يك ميباشد يعني در اين رابطه تنها زوج مرتب ( 10 , 0) صدق ميكند لذا y تابعي از x است.

ج) داريم:

\({y^3} + {x^2} = 2 \Rightarrow {y^3} = 2 - {x^2}{ \Rightarrow ^3}\sqrt {2 - {x^2}} \)

يعني به ازاي هر x ، y منحصر به فردي وجود دارد يعني y تابعي از x است براي اثبات اين مطلب ميتوان نوشت:

 \({x_1} = {x_2} \Rightarrow x_1^2 = x_2^2 \Rightarrow 2 - x_1^2 = 2 - x_2^2{ \Rightarrow ^3}\sqrt {2 - x_1^2} { = ^3}\sqrt {2 - x_2^2} \Rightarrow {y_1} = {y_2}\)

د) داريم:

\(x + \left| y \right| = 0 \Rightarrow \left| y \right| = - x \Rightarrow y = 9 \pm ( - x),x \le 0\)

 داريم:

الف)

ب)

ج)

د)

هـ ) توجه كنيد كه نمودار تابع \(y = f( - x)\) به صورت زير است:

و با توجه به آن نمودار \(y = t(x)\) به صورت زير است:

و) براي رسم نمودار تابع p مطابق دستورالعمل 6 به صورت زير عمل ميكنيم: مرحله ي الف) نمودار \(y = f(2x)\) 

مرحله ي ب) انتقال \(y = f(2x)\) به اندازه\(\frac{1}{2}\)  + در جهت محور x ها.

مرحله ي ج) انبساط نمودار  \(y = f(2x)\) با ضريب 3 در امتداد محور y ها.

مرحله ی(د) انتقال \(y = 3f(2x - 1)\)  به اندازه يك واحد در جهت محور y ها.

بنابراين نمودار \(y = f( - 2x)\) به صورت ميباشد:

 با توجه به دستورالعمل هاي گفته شده مراحل زير را خواهيم داشت.

الف)نمودار \(y = f(3x)\)

ب)نمودار \(y = f( - 3x)\)

ج)نمودار \(y = f( - 3x + 1)\)

دامنه ي اين تابع با توجه به شكل بازه \(\left[ { - \frac{5}{3}, - \frac{2}{3}} \right]\) است.

 اگر تابع مربوط به اختلاف نمرات مرحله دوم از مرحله اول را بنويسيم اين تابع تنها براي دروسي با معني است كه در هر دو آزمون مورد سنجش واقع شده اند، يعني

 (6-,ادبيات ) (0 , فيزيك ) ,( 4 , حسابان)=G-f

و با مشاهده اين تابع مشخص است كه وي در درس حسابان پيشرفت، در فيزيك بدون تغيير و در ادبيات دچار افت شده است.

دامنه تابع f ، مجموعه ℜ و دامنه تابع g مجموعه \(\left\{ { - 1,0,4, - 2/5} \right.,\left. 3 \right\}\) است . لذا دامنه توابع  \(f.g,g - f,f - g,f + g\) مجموعه حاصل از اشتراك اين دو مجموعه يعني مجموعه \(\left\{ { - 1,0,4, - 2/5} \right.,\left. 3 \right\}\) است همچنین \(f(0) = 5,f(4) = 13,f( - 2/5) = 0,f(3) = 11\)  و بنابراين:

\(\begin{array}{l}f + g = ( - 1,6)\left( {0,0} \right)\left( {4,13} \right)\left( { - 2/5,1} \right)\left( {3,13} \right)\\\\f + g = ( - 1,0)\left( {0,10} \right)\left( {4,13} \right)\left( { - 2/5, - 1} \right)\left( {3,9} \right)\\\\f + g = ( - 1,0)\left( {0, - 10} \right)\left( {4, - 13} \right)\left( { - 2/5, - 1} \right)\left( {3, - 9} \right)\\\\f.g = ( - 1,0)\left( {0, - 25} \right)\left( {4,0} \right)\left( { - 2/5,0} \right)\left( {3,22} \right)\end{array}\)

همچنين دامنه تابع \(\frac{f}{g}\) مجموعه \(\left\{ { - 1,0,4, - 2/5,\left. 3 \right\}} \right.\) به جز اعضايي كه خروجي g به ازاي آنها صفر است؛ يعني عضو ،4 چون \(g(4) = 0\) لذا دامنه آن، مجموعه  \(\left\{ { - 1,0, - 2/5,\left. 3 \right\}} \right.\)ميباشد. بنابراين:

\(\frac{f}{g} = \left\{ {( - 1,1)(0, - 1),( - 2/5,\left. {0)(3,\frac{{11}}{2})} \right\}} \right.\)

دامنه تابع \(\frac{g}{f}\) مجموعه \(\left\{ { - 1,0, - 2/5,\left. 3 \right\}} \right.\)  به جز اعضايي كه خروجي f به ازاي آنها صفر است؛ يعني عضو \( - \frac{5}{2}\) ، چون \(f( - \frac{5}{2}) = 0\)  لذا دامنه آن مجموعه \(\left\{ { - 1,0,4,\left. 3 \right\}} \right.\) بنابراين:

 \(\frac{g}{f} = \left\{ ( \right. - 1,1)(0, - 1),( - 2/5,\left. {0)(3,\frac{{11}}{2})} \right\}\)

 دامنه تابع f مجموعه \({d_f} = ( - \infty , - \left. 2 \right] \cup \left[ {2, + \infty )} \right.\) است و دامنه تابع g مجموعه  \(dg = ( - \infty , - \left. 2 \right] \cup \left[ {0,2)} \right.\) است . بنابراين:

 \(\begin{array}{l}(f + g)(x) = f(x) + g(x) = \sqrt {{x^2} - 4} + \sqrt {\frac{{{x^2} + 2x}}{{2 - x}},} {D_{f + g}} = ( - \infty ,2)\\\\(f - g)(x) = f(x) - g(x) = \sqrt {{x^2} - 4} + \sqrt {\frac{{{x^2} + 2x}}{{2 - x}},} {D_{f - g}} = ( - \infty ,2)\\\\(f.g)(x) = f(x).g(x) = \sqrt {{x^2} - 4} .\sqrt {\frac{{{x^2} + 2x}}{{2 - x}},} {D_{f.g}} = ( - \infty ,2)\end{array}\)

اين تابع با تابع \(h(x) = \left| {x + 2} \right|\sqrt { - x} \)  كه به دامنه [2 − , ∞ −) تحديد (محدود) شده باشد برابر است ( . واضح است بدون تحديد دو تابع برابر نيستند ).

 تابع g به ازاي \(x = 0\) و \(x = - 2\) صفر خواهد شد لذا تابع \(\frac{f}{g}\) عبارتست از :

\(\left( {\frac{f}{g}} \right)(x) = \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \frac{{\sqrt {{x^2} - 4} }}{{\frac{{\sqrt {{x^2} + 2x} }}{{2 - x}}}},{D_{\frac{f}{g}}} = ( - \infty , - 2)\)

اين تابع با تابع \(h(x) = \frac{{\left| {x - 2} \right|}}{{\sqrt { - x} }}\)  وقتي كه دامنه آن به مجموعه \(( - \infty , - 2)\)  تحديد شده باشد برابر است.

 همچنين تابع g به ازاي  \(x = 2\) و \(x = - 2\) صفر خواهد شد لذا

\(\left( {\frac{g}{f}} \right)(x) = \frac{{g(x)}}{{f(x)}} = \frac{{\frac{{\sqrt {{x^2} + 2x} }}{{2 - x}}}}{{\sqrt {x - 4} }},{D_{\frac{g}{f}}} = ( - \infty , - 2)\)

و اين تابع با تابع \(m(x) = \frac{{\sqrt { - x} }}{{\left| {x - 2} \right|}}\) ، وقتي دامنه آن به مجموعه \(( - \infty , - 2)\)  تحديد شده باشد برابر x است.

 با توجه به شكل تابع f در فاصله [ 11 , 1−] تعريف شده است و تابع g در \(\left[ {0,\infty } \right]\)  . لذا توابع \(f + g\) و \(f - g\)  و \(f.g\) در فاصله [ 10 ,0 ] تعريف شده اند.

 براي رسم \(f + g\) كافي است \((f + g)(x)\) را به ازاي هر مقدار \(0 \le x \le 1\) را محاسبه كنيم يعني مقادير f و g را در هر يك محاسبه نمود و با هم جمع كرد . مثلا:

\(\begin{array}{l}(f + g)(0) = f(0) + g(0) = 1 + 0 = 1\\\\(f + g)(1) = f(1) + g(1) = 0 + 2 = 2\\\\(f + g)(\frac{1}{2}) = f(\frac{1}{2}) + g(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}\end{array}\)

لذا شكل \(g + f\) به طور تقريبي چنين خواهد بود.

به طور مشابه مقادير \(f - g\) را به ازاي هر \(0 \le x \le 1\)  از تفاضل مقدار تابع g از f وf.g را به ازاي هر \(0 \le x \le 1\) از ضرب مقادير توابع f و g به دست ميآوريم . نمودارهاي تقريبي به صورت زير است:

براي تعيين تابع fog دقت ميكنيم كه اعضاي دامنه تابع fog اعضايي از دامنه تابع g ميباشد كه در دامنه f قرار داشته باشد . داريم:

\(\left. \begin{array}{l}1 \in {D_f},f(1) = 2,2 \notin {D_g} \to 1 \notin {D_{fog}}\\\\2 \in {D_f},f(2) = 3,3 \notin {D_g} \to 2 \notin {D_{fog}}\\\\3 \in {D_f},f(3) = 4,4 \notin {D_g} \to 3 \notin {D_{fog}}\\\\4 \in {D_f},f(4) = 5,5 \notin {D_g} \to 4 \notin {D_{fog}}\\\\6 \in {D_f},f(6) = 7,7 \notin {D_g} \to 6 \notin {D_{fog}}\end{array} \right\} \Rightarrow {D_{fog}} = \left\{ {2,4,\left. 6 \right\}} \right.\)

و لذا

\(\left. \begin{array}{l}gof(2) = g(f(2)) = g(3) = 5\\\\gof(4) = g(f(4)) = g(5) = 7\\\\gof(6) = g(f(6)) = g(7) = 1\end{array} \right\} \Rightarrow gof = \left\{ {\left( {2,5} \right)} \right.,(4,7),(6,1\left. ) \right\}\)

 تعيين تابع :fog

  دامنه آن اعضايي از دامنه   \(\left\{ {\left. x \right|} \right.x \ge \left. 0 \right\}\),g  ميباشد كه:

\(\begin{array}{l}g(x) \in {D_f} = \left\{ { - 2} \right.,0,1,\left. 2 \right\}\\\\g(x) = - 2 = \sqrt x + 1 \Rightarrow \sqrt x = - 3\\\\g(x) = 0 \Rightarrow \sqrt x + 1 = 0 \Rightarrow \sqrt x = - 1\\\\g(x) = 1 \Rightarrow \sqrt x + 1 = 1 \Rightarrow \sqrt x = 0 \Rightarrow x = 0\\\\g(x) = 2 \Rightarrow \sqrt x + 1 = 2 \Rightarrow \sqrt x = 1 \Rightarrow x = 1\end{array}\)

دومی غیر ممکن

سومی ممکن

پس از اعضاي دامنه تابع g تنها دو عضو 0 و 1 در دامنه تابع fog وجود دارند و داريم.

 \(\begin{array}{l}fog(0) = (f(0)) = f(1) = 4\\\\fog(1) = (f(1)) = f(2) = - 5\end{array}\)

يعني:

\(fog(1) = \left\{ {(0,4),(1, - \left. {5)} \right\}} \right.\)

تعيين تابع: gof

دامنه آن اعضايي از دامنه تابع f ، \(\left\{ { - 2,0,1,\left. 2 \right\}} \right.\) هستند كه \(f(x) \in {D_g} = \left\{ {\left. x \right|} \right.x \ge \left. 0 \right\}\)  اما:

 \(\begin{array}{l}gof( - 2) = 0,0 \in {D_g} \Rightarrow - 2 \in {D_{fog}}\\\\gof(0) = 1,1 \in {D_g} \Rightarrow 0 \in {D_{fog}}\\\\gof(1) = 4,4 \in {D_g} \Rightarrow 1 \in {D_{fog}}\\\\gof( - 5) = 0, - 5 \in {D_g} \Rightarrow 2 \notin {D_{fog}}\end{array}\)

پس از اعضاي دامنه تابع f تنها سه عضو 2- ، 0 و 1 در دامنه تابع gof حضور دارند و داريم.

\(\begin{array}{l}g( - 2) = 0,0 \in {D_g} \Rightarrow - 2 \in {D_{fog}}\\\\g(0) = g(f(0)) = g(1) = 2\\\\g( - 5) = g(f(1)) = g(1) = 3\end{array}\)

يعني

\(gof = \left\{ {\left( { - 2,1} \right)} \right.,(0,2),(1,3\left. ) \right\}\)

 تعيين تابع :fog

دامنه تابع g مجموعه \({D_g} = \left\{ {\left. x \right|} \right. - 1 \le x \le \left. 1 \right\}\) است اماg(x) باید در دامنه تابعf باشدو \({D_f} = \left\{ {\left. x \right|} \right.x \ne \left. 0 \right\}\)  پسg(x) نبايد صفر شود. اما g(x)در 1- و 1 صفر ميشود . پس \({D_{fog}} = \left\{ {\left. x \right|} \right. - 1 < x < \left. 1 \right\}\)   و به ازای این xها داريم \(fog(x) = f(g(x)) = f(\sqrt {1 - {x^2}} ) = \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\)    تعيين تابع

دامنه تابع gof عضوهايي از مجموعه \(\left\{ {\left. x \right|} \right.x \ne \left. 1 \right\}\)  ميباشد كه \(f(x) \in {D_g}\) باشد يعني \( - 1 \le f(x) \le 1\) یا \( - 1 \le \frac{1}{x} \le 1\) یعنی   .\({D_{fog}} = ( - \infty , - \left. 1 \right] \cup \left[ {1, + \infty )} \right.\)  پس با در نظر گرفتن هر دو شرط، دامنه gof مجموعه \({D_{fog}} = ( - \infty , - \left. 1 \right] \cup \left[ {1, + \infty )} \right.\) ميباشد و به ازاي اين x ها داريم:

\({D_{fog}} = g(f(x)) = g(\frac{1}{x}) = \sqrt {1 - {{(\frac{1}{x})}^2}} \)

 داريم

\(v = {v_0} + gt \Rightarrow t = \frac{{v - {v_0}}}{g} = t(v) = \frac{{v - {v_0}}}{g}\) 

حال از تركيب توابع \(h(t)\) و \(t(v)\) به تابع \(h(t(v))\) ميرسيم . بنابراين:

\(h(t(v)) = \frac{1}{2}g{(\frac{{v - {v_0}}}{g})^2} + {v_0}(\frac{{v - {v_0}}}{g}) \Rightarrow h(t(v)) = \frac{{{v^2} - {v_0}^2}}{{2g}}\)

 اگر قرار دهيم \(g(x) = 3x - 4\)  و \(f(x) = \sqrt {\sqrt x - 2x} \) آنگاه \(h = fog\) و داريم \({D_f} = \left[ {0,\frac{1}{4}} \right]\)

پس

\(\begin{array}{l}{D_h} = {D_{fog}}\left\{ {x\left. { \in {D_g}} \right\}f(x) \in D\left. {_f} \right\}} \right. = \left\{ {x\left. { \in R} \right\}0 \le x \le \left. {\frac{1}{4}} \right\} = \left[ {0,\frac{1}{4}} \right]} \right.\\\end{array}\)

 توجه كنيد كه x ابتدا به تابع g رفته و خروجي آن وارد تابع f ميشود . حال اگر \(x > 0\)  را بعنوان ورودي تابع g در نظر بگيريم خروجي آن عدد 1 ميباشد حال 1 ورودي f را تشكيل ميدهد كه خروجي f به ازاي \(x = 1\) برابر \(1 + 1 = 2\)ميباشد . اين مطلب را چنين نمايش ميدهيم:

\(x > 0 \to 11 + 1 = 2\)

حال اگر \(x \le 0\)  ورودي تابع g باشد خروجي آن-5x  است . اگر  \( - 5x < 1\) باشد، خروجي تابع f ، \(( - 5{x^2}) = 25{x^2}\) است و اگر \( - 5x \ge 1\)  باشد خروجي تابع f ، \( - 5x + 1\) است يعني

\(\begin{array}{l}x \le 0 \to - \frac{1}{5} < x \le 0 - 5x{( - 5x)^2} = 25{x^2}\\\\x \le 0 \to x \le - \frac{1}{5} - 5x - 5x + 1\\\\ \Rightarrow fog(x) = \left\{ \begin{array}{l} - 5x + 1,x \le - \frac{1}{5}\\\\25{x^2}, - \frac{1}{5} < x \le 0\\\\2,x > 0\end{array} \right.\\\end{array}\)

داريم

 \(\begin{array}{l}f(x) = \sqrt x + 1 \Rightarrow f(g(x)) = \sqrt {g\left( x \right)} + 1\\\\fog(x) = f(g(x)) = \sqrt {{x^2} - 1} + 1\end{array}\)

لذا

 \(\sqrt {g\left( x \right)} + 1 = \sqrt {{x^2} - 1} + 1\)

 و در نتيجه

\(\sqrt {g\left( x \right)} = \sqrt {{x^2} - 1} \)

يا

 \(g(x) = {x^2} - 1\)

 اگر

\(\begin{array}{l}fog(x) = f(g(x)) = \sqrt {{{\sin }^4}x + 2{{\sin }^2}x + 2} = \\\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {\left( {{{\sin }^2}x + 1} \right)} = \sqrt {{g^2}(x) + 1} \end{array}\)

حالا با قرار دادن x به جاي g(x)در تساوي ها داريم

 \(f(x) = \sqrt {{x^2} + 1} \)

 چون \({D_f} = \left\{ { - 3, - 3,2,\left. 3 \right\}} \right.\) ، لذا دامنه f متقارن است \(f( - 3) = - f(3)\) ولي \(f( - 2) = f(2)\) بنابراين تابع f نه زوج است و نه فرد.

 داريم \({D_f} = R - 3\)  و  \( - 3 \in {D_f}\) ولي \(3 \notin {D_f}\) ، پس دامنه تابع f متقارن نيست. بنابراين تابع f نه زوج است نه فرد.

 داريم  \({D_f} = R\) و لذا دامنه f متقارن است و

\(f( - x) = \frac{{( - {x^2}) - \left| x \right|}}{{({x^2}) + 1}} = \frac{{{x^2} - \left| x \right|}}{{{x^2} + 1}} = f(x)\)

بنابراين f تابعي زوج است.

باتوجه به \({x^2} + 1 \ge 1\)  و اين كه \(x + \sqrt {{x^2} + 1} > 0 \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1} \ge - x\)  همواره برقرار است

11 دامنه ي f برابر ℜ است و لذا متقارن است و

\(\begin{array}{l}f( - x) = \log ( - x + \sqrt {({x^2}) + 1} = \log (\frac{{(\sqrt {{x^2} + 1} - x)(\sqrt {{x^2} + 1} + x)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} + x}}\\\\ = \log \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} - x}} = \log 1 - \log (\sqrt {{x^2} + 1} + x) = - f(x)\end{array}\)

بنابراين f تابعي فرد است.

  \({D_f} = R\) و لذا دامنه f متقارن است.

 حالت اول: \(x = 0 \to f(0) = 0\)

حالت دوم: اگر  x<0آنگاه –x>0 و داريم:

\(f( - x) = \left( { - {x^4}} \right) + 2\left( { - x} \right) = {x^4} - 2x = f(x)\)

بنابراين f تابعي زوج است.

 :\({D_f} = R\)  و لذا دامنه f متقارن است و

\(f( - x) = \sin ( - x) + \cos ( - x) = - \sin x + \cos x\)

واضح است که \(f( - x) \ne f(x)\)  و \(f( - x) \ne - f(x)\) پس تابع نه زوج است نه فرد.

الف) ميدانيم نمودار تابع زوج نسبت به محور y ها متقارن است. پس لازم است نمودار f به صورت مقابل باشد.

ب) ميدانيم نمودار تابع فرد نسبت به مبدأ مختصات متقارن است. پس لازم است نمودار f به صورت مقابل باشد.

 فرض كنيم f تابعي با دامنهي متقارن باشد، آنگاه به ازاي هر \(x \in {D_f}\) داريم:

تابعی زوج است

\(\left. \begin{array}{l}f \Rightarrow f( - x) = f(x)\\f \Rightarrow f( - x) = - f(x)\end{array} \right\} \Rightarrow f(x) = - f(x) \Rightarrow f(x) = 0\)

تابعی فرد است

 واضح است كه \({D_f} = R\)

الف)

 \(\begin{array}{l}f( - x) = f(x) \Rightarrow - c{x^3} + (a\_3){x^2} + bx + b + 4 = cx + (a\_3) - 2bx + b + 4\\\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = - c\\\\2b = - 2b\\\\a - 3 = a - 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0\\\\b = 0\\\\a \in R\end{array} \right.\end{array}\)

براي زوج بودن تابع چند جملهاي f لازم است تنها جملات با درجه ي زوج وجود داشته باشند.

 ب(

\(\begin{array}{l}f( - x) = - f(x) \Rightarrow - c{x^3} + (a\_3){x^2} + 2bx + b + 4 = cx - (a\_3){x^2} + 2bx - b - 4\\\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 3 = - (a - 3)\\\\b + 4 = - b + 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\\\b = - 4\end{array} \right.\end{array}\)

 \(\begin{array}{l}x \in {D_{\frac{f}{g}}} \Rightarrow x \in {D_f} \cap {D_g}:g(x) \in {D_{\frac{f}{g}}}\\\left. \begin{array}{l}x \in {D_f} \Rightarrow - x \in {D_f}\\\\x \in {D_g} \Rightarrow - x \in {D_g}\end{array} \right\} \Rightarrow - x \in {D_f} \cap {D_g},g( - x) = - g(x) \ne 0 \Rightarrow - x \in {D_{\frac{f}{g}}}\\\end{array}\)

بنابراين دامنه تابع \(\frac{f}{g}\) متقارن است و داريم:

\(\frac{f}{g}( - x) = \frac{{f( - x)}}{{g( - x)}} = \frac{{ - f( - x)}}{{ - g( - x)}} = \frac{f}{g}(x)\)

پس تابع  \(\frac{f}{g}\) تابع زوج است.

 الف) به ازاي هر \({x_2}\)  و\({x_1}\)  که \({x_1} < {x_2}\) داریم  \(f({x_1}) < f({x_2})\) یعنی در واقع با زیاد شدن مقادير x ، مقادير y نيز زياد ميشود. پس تابع صعودي اكيد است.

ب) به ازاي هر\({x_2}\)  و  \({x_1}\) كه \({x_1} < {x_2}\)  داريم.\(f({x_1}) \le f({x_2})\)  يعني در واقع با زياد شدن مقادير x ، مقادير y زياد ميشود يا ثابت ميماند. پس تابع صعودي است.

ج) به ازاي هر \({x_2}\)  و \({x_1}\) كه \({x_1} < {x_2}\)  داريم \(f({x_1}) > f({x_2})\)  يعني در واقع با زياد شدن مقادير x ، مقادير y كم ميشود. پس تابع نزولي اكيد است.

د)به ازای هر \({x_2}\) و\({x_1}\)  که داریم \(f({x_1}) \ge f({x_2})\)  يعني در واقع با زياد شدن مقاديرداريم كهx و مقادير y كم ميشود يا ثابت ميماند. پس تابع نزولي است.

ه) اگر  \({x_2} \le 0\) و \({x_1}\)  و\({x_1} < {x_2}\)   آنگاه \(f({x_1}) > f({x_2})\) اين نشان ميدهد تابع f صعودي نيست واز طرف دیگر اگر \({x_2} \ge 0\) و \({x_2} < {x_1}\) آنگاه \(f({x_1}) < f({x_2})\)  اين نشان ميدهد تابع f از طرف ديگر، اگر 0 نزولي نيست، بنابراين تابع f نه صعودي است و نه نزولي

و) تابع در هر يك از بازه هاي [0 , ∞ −) و [∞ + , 0) صعودي اكيد است، ولي مقادير تابع در مجاورت چپ صفر از مقادير تابع در مجاورت راست صفر بيشتر است. بنابراين تابع روي دامنهي تعريف خود يعني بازهي (∞ + , ∞ −) نه صعودي است و نه نزولي.

 ز) تابع در بازه ي (0 , ∞ −) و (∞ ,+ 0) صعودي اكيد است ولي مقادير تابع در مجاورت چپ صفر از مقادير تابع در مجاورت راست صفر بيشتر است. پس تابع در دامنه ي تعريف خوديعني بازه ي \(( - \infty ,0) \cup (0, + \infty )\) نه صعودي است و نه نزولي.

ح) با زياد شدن مقادير x ، مقادير y كم نميشود. پس تابع صعودي است و همچنين با زياد شدن مقادير x ، مقادير y زياد نميشود. پس تابع نزولي است ولي صعودي اكيد يا نزولي اكيد نيست.

  چون تابع صعودي اكيد است بايد با زياد شدن مؤلفه هاي اول، مؤلفه هاي دوم نيز زياد شوند. بنابر اين لازم است  \(k \in (2,7)\) باشد.

 با توجه به اينكه با زياد شدن مقادير x ، مقادير y بايد كم شود. لذا لازم است \(f(0)\) عددي در فاصله ي \(\left[ { - 2,3} \right]\)  باشد.

الف) روش اول نمودار تابع f به صورت زیر است.

باتوجه به نمودار واضح است كه تابع نزولي اكيد ميباشد. :

ب ) روش اول: نمودار تابع به صورت زير است

همانگونه که از روی نمودار مشخص است تابع صعودی اکید است.

ج) روش اول: نمودار تابع شبيه يكي از دو نمودار زير است.

بنابراين اگر a>1باشد تابع صعودي اكيد است و اگر0، تابع نزولي اكيد ميباشد

روش دوم :رابطه های

\({x_1} < {x_2} \Rightarrow \log {x_1} < \log {x_2},\log _a^x = \frac{{\log x}}{{\log a}}\)

را در نظر گرفته دو عضو \({x_1},{x_2} \in {D_f} = \left( {0, + \infty } \right)\) را به دلخواه طوری انتخاب می کنیم که \({x_1} < {x_2}\) سپس دو حالت زیر را در نظر می گیریم

حالت اول :\(\left( {a > 1} \right)\)

\(\begin{array}{l}{x_1} < {x_2} \Rightarrow \log {x_1} < \log {x_2}\frac{{\log {x_1}}}{a} > \frac{{\log {x_2}}}{a} \Rightarrow \log x_a^{{x_1}} > \log x_a^{{x_2}}\\\\ \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})\end{array}\)

در نتيجه fصعودی اكيد است.

 حالت دوم: \(\left( {0 < a < 1} \right)\)

در نتيجه f نزولي اكيد است.

د ) روش اول: نمودار تابع به صورت زير است.

با توجه به نمودار واضح است كه تابع نزولي اكيد ميباشد

 روش دوم \({x_1},{x_2} \in {D_f} = ( - \infty ,\left. {\frac{2}{3}} \right]\)  را به دلخواه طوري انتخاب ميكنيم كه \({x_1} < {x_2}\)  لذا داريم:

\(\begin{array}{l}{x_1} < {x_2} \Rightarrow 3 - 2{x_1} \Rightarrow \sqrt {3 - 2{x_1}} > \sqrt {3 - 2{x_2}} \Rightarrow \\\\f({x_1}) > f({x_2})\end{array}\)

در نتيجه f نزولي اكيد است.

هـ) روش اول: نمودار تابع به صورت زير است.

همانگونه كه از نمودار مشخص است تابع f در دامنه ي تعريف خود نه صعودي است نه نزولي .

توجه : تابع روي (0 , ∞ −) صعودي اكيد و روي (∞ + , 0] نزولي اكيد است.

روش دوم: \({x_1}\) و  \({x_2}\)  را به دلخواه به صورت هاي زير انتخاب ميكنيم . ضابطه قسمت اول تابع صعودي اكيد است.

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x_1},{x_2} < 0\\\\{x_1} < {x_2}\end{array} \right. \Rightarrow {x_1} + 1 < {x_2} + 1 \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\\\\\left\{ \begin{array}{l}{x_1},{x_2} > 0\\\\{x_1} < {x_2}\end{array} \right. \Rightarrow - {x_1} < - {x_2} \Rightarrow 2 - {x_1} > 2{x_2} \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})\end{array}\)

ضابطه قسمت دوم، تابع نزولي اكيد است . بنابراين تابع روي دامنهي تعريف خود نه صعودي است و نه نزولي.

و ) روش اول: نمودار تابع به صورت زير است و با توجه به نمودار واضح است كه تابع f روي دامنه ي تعريف خود نه صعودي است نه نزولي

روش دوم : دو عضو دلخواه از \({D_f} = R\)  را به هاي زير انتخاب ميكنيم.

\(\begin{array}{l}\\\left\{ \begin{array}{l}{x_1},{x_2} \le 1\\\\{x_1} < x2\end{array} \right. \Rightarrow {x_1} - 1 < {x_2} - 1 \Rightarrow \left| {{x_1} - 1} \right| > \left| {{x_2} - 1} \right| \Rightarrow \left| {{x_1} - 1} \right| + 3 > \left| {{x_2} - 1} \right| + 3 \Rightarrow \\\\f({x_1}) > f({x_2})\end{array}\)

پس تابع f در فاصله ي [,1 ∞ −) نزولي اكيد است.

\(\begin{array}{l}\\\left\{ \begin{array}{l}{x_1},{x_2} \ge 1\\\\{x_1} < {x_2}\end{array} \right. \Rightarrow {x_1} - 1 < {x_2} - 1 \Rightarrow \left| {{x_1} - 1} \right| < \left| {{x_2} - 1} \right| \Rightarrow \left| {{x_1} - 1} \right| + 3 < \left| {{x_2} - 1} \right| + 3 \Rightarrow \\\\f({x_1}) < f({x_2})\end{array}\)

پس تابع f در فاصلهي (∞ + , 1] صعودي اكيد است . اما تابع روي دامنه ي تعريف خود نه صعودي است و نه نزولي.

  داريم

\(f\left( {\left| {x - 2} \right|} \right) - f\left( {\left| {2x - 1} \right|} \right) \ge 0 \Rightarrow f\left( {\left| {x - 2} \right|} \right) \ge f\left( {\left| {fx - 1} \right|} \right)\)

چون f تابعي صعودي است داريم:

 \(\begin{array}{l}\left| {x - 2} \right| < \left| {2x - 1} \right| \Rightarrow {x^2} - 4x + 4 \ge 4{x^2} - 4x + 1 \Rightarrow 3{x^2} - 3 \le 0 \Rightarrow \\\\ - 1 \le x \le 1 \Rightarrow {D_g} = \left[ { - 1,1} \right]\end{array}\)

 نمودار تابع به صورت زير است.

چون تابع f صعودي است پس لازم است \(1 + a \le 2\)  يعني \(a \le 1\) بنابراين بيشترين مقدار a ميتواند يك باشد.

 دو عضو دلخواه  \({x_1},{x_2} \in {D_f}\) , را طوري انتخاب ميكنيم كه \({x_1} < {x_2}\)  پس داريم:

\({x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2}) \Rightarrow g(f({x_1})) < g(f({x_2}))\)

يعني در واقع داريم

\({x_1} < {x_2} \Rightarrow (gof)({x_1}) < (gof)({x_2})\)

پس تابع gof صعودي اكيد ميباشد، بنابراين يكنواي اكيد ميباشد.

:  \({x_1},{x_2} \in I\)را به طور دلخواه طوري انتخاب ميكنيم كه \({x_1} < {x_2}\)  پس داريم:

\(\begin{array}{l}{x_1} < {x_2} \Rightarrow \left( \begin{array}{l}f({x_1}) < f({x_2})\\\\ \Rightarrow g({x_1}) < g({x_2})\end{array} \right. \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2}) + g({x_2})\\\\ \Rightarrow (f + g)({x_1}) < (f + g)({x_2})\end{array}\)

تابع f+g صعودي اكيد است . بنابراين تابع f+gيكنواي اكيد ميباشد

الف) يك به يك نيست زيرا مثلاً خط y=1نمودار را در بيش از يك نقطه قطع ميكند.

ب) هر خط موازي محو x ها رسم كنيم. نمودار را در بيش از يك نقطه قطع نميكند . پس تابع يك به يك است.

ج) يك به يك نيست زيرا \(f(1) = f(4)\) ولي \(1 \ne 4\)

الف)

روش اول:

\(\begin{array}{l}f({x_1}) \ne f({x_2}) \Rightarrow \sqrt {x_1^3 + 4} = \sqrt {x_2^3 + 4} \Rightarrow x_1^3 + 4 = x_2^3 + 4 \Rightarrow \\\\x_1^3 = x_2^3 \Rightarrow {x_1} = {x_2}\end{array}\)

بنابراين تابع f يك به يك است.

 روش دوم:

\(\begin{array}{l}{x_1} \ne {x_2} \Rightarrow x_1^3 = x_2^3 \Rightarrow x_1^3 + 4 \ne x_2^3 + 4 \Rightarrow \\\\\sqrt {x_1^3 + 4} \ne \sqrt {x_2^3 + 4} \Rightarrow f({x_1}) \ne f({x_2})\end{array}\)

بنابراين تابع f يك به يك است.

ب(

\(\begin{array}{l}f({x_1}) = {x^2} + 2x + 3 = {(x + 1)^2} + 2\\\\f({x_1}) = f({x_2}) \Rightarrow {({x_1} + 1)^2} + 2 = {({x_2} + 1)^2} + 2 = {({x_1} + 1)^2} = {({x_2} + 1)^2}\\\\{x_1} + 1 = \pm x(2 + 1) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\\\{x_1} = - {x_2} - 2\end{array} \right.\end{array}\)

پس تابع f يك به يك نيست.

ج)

\(f(0) = f(1) = 2 \Rightarrow 0 \ne 1\)

پس تابع f يك به يك نيست.

د(

\(\begin{array}{l}f({x_1}) = f({x_2}) = \log {x_1} = \log {x_2} \Rightarrow \log {x_1} - \log {x_2} = 0\\\\ \Rightarrow \log \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = 0 \Rightarrow \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = 1 \Rightarrow {x_1} = {x_2}\end{array}\)

پس تابع f يك به يك است.

ه(

\(f(0) = f(2\pi ) = - 1 \Rightarrow 0 \ne 2\pi \)

بنابراين تابع f يك به يك نيست.

 توجه: توابع متناوب يك به يك نيستند.

و(

\(\begin{array}{l}f({x_1}) = f({x_2}) = \frac{{{3^{{x_1}}}}}{{{3^{{x_1}}} + 1}} = \frac{{{3^{{x_2}}}}}{{{3^{{x_2}}} + 1}} \Rightarrow {3^{{x_1}}} \times {3^{{x_2}}} + {3^{{x_1}}} = {3^{{x_2}}} \times {3^{{x_1}}} + {3^{{x_2}}}\\\\ \Rightarrow {3^{{x_1}}} = {3^{{x_2}}} \Rightarrow {x_1} = {x_2}\end{array}\)

پس تابع f يك به يك است

 مثلاً فرض كنيم تابع f صعودي اكيد باشد آنگاه اگر \({x_1} \ne {x_2}\) دو حالت رخ ميدهد: حالت اول : اگر \({x_1} < {x_2}\)  باشد، داريم:

\({x_1} > {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2}) \Rightarrow f({x_1}) \ne f({x_2})\)

لذا f يك به يك است.

 حالت دوم اگر \({x_1} > {x_2}\) باشد، داريم:

\({x_1} > {x_2} \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2}) \Rightarrow f({x_1}) \ne f({x_2})\)

لذا f يك به يك است.

 تابعf+g همواره نميتواند يك به يك باشد زيرا مثلاً اگر \(f = \left\{ {\left( {0,0} \right)} \right.,(1,1\left. ) \right\}\) و \(g = \left\{ {\left( {0,0} \right)} \right.,(1, - 1\left. ) \right\}\)  را در نظر بگيريم، داريم \(f + g = \left\{ {\left( {0,0} \right)} \right.,(1,1\left. ) \right\}\) كه يك به يك نيست.

 اما تابع fog يك به يك است زيرا:

\(\begin{array}{l}(fog)({x_1}) = (fog)({x_2}) \Rightarrow f(g({x_1})) = f(g({x_2}))\\\\g({x_1}) = g({x_2})\\\\{x_1} = {x_2}\end{array}\)

 بلي . مثلاً توابع \(y = {x^3}\) و\(y = x\) است، اما يك به يك نيست.ولی تابع \(y = \sin x\)  فرد است امایک به یک نیست

 فرض كنيم f تابعي زوج و يك به يك باشد . داريم:

 F \(x = - x \Rightarrow x = 0\) یک به یک است \(f \Rightarrow f(x) = f( - x)\) تابعی زوج است

پس تنها تابعي كه هم زوج و هم يك به يك است ، تابعی دلخواه با دامنه ي يك عضوي صفر ميباشد. f

\({f_1}({x_1}) = {f_1}({x_2}) \Rightarrow {x_1} + 1 \Rightarrow {x_2} + 1 \Rightarrow {x_1} = {x_2}\)

ضابطه اول يك به يك است.

\(\begin{array}{l}{f_2}({x_1}) = {f_2}({x_2}) \Rightarrow 2{x_1} + 3 \Rightarrow 2{x_2} + 3 \Rightarrow 2{x_1} = 2{x_2} \Rightarrow \\\\{x_1} = {x_2}\end{array}\)

ضابطه دوم يك به يك است

\(\left. \begin{array}{l}x < 1 \Rightarrow x + 1 < 2 \Rightarrow R = ( - \infty ,2)\\\\x \ge 1 \Rightarrow 2x \ge 2 \Rightarrow 2x + 3 \ge 5 \Rightarrow {R_2} = (5, + \infty )\end{array} \right\} \Rightarrow {R_1} \cap {R_2} = \emptyset \)

پس اشتراك برد ضابطه ها نيز تهي است . بنابراين f تابعي يك به يك است.

واضح است كه هر يك از ضابطه ها تابعي يك به يك هستند، كافي است اشتراك برد آنها نيز تهي باشد.

\(\left. \begin{array}{l}x > 1 \Rightarrow 3x > 3 \Rightarrow 3x - 2 > 1 \Rightarrow {R_1} = \left( {1, + \infty } \right)\\\\x \le 1 \Rightarrow 2x \le 3 \Rightarrow 2x + k \Rightarrow {R_2} = \left( { - \infty ,2 + k} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow 2 + k \le 1 \Rightarrow k \le - 1\)

الف) \(f = \left\{ {(1,2),} \right.(3,4),(5,6\left. ) \right\}\) همانگونه كه مشاهده ميشود وارون تابع f يك تابع را مشخص ميكند.

ب( \(f = \left\{ {(1,3),} \right.(2,4),(5,3\left. ) \right\}\) همانگونه كه مشاهده ميشود وارون تابع g يك تابع نيست

ابتدا يك به يك بودن تابع را بررسي ميكنيم.

\(f({x_1}) = f({x_2}) \Rightarrow 3{x_1} + 1 = 3{x_2} + 5 \Rightarrow 3{x_1} = 3{x_2} \Rightarrow {x_1} = {x_2}\)

 تابع f يك به يك است، پس وارون پذير ميباشد . براي به دست آوردن ضابطه ي تابع وارون كافي است y را به جاي قرار دهيم و x را برحسب y به دست آورده، سپس جاي x و y را با هم عوض كنيم.

\(y = 3x + 5 \Rightarrow 3x = y - 5 \Rightarrow x = \frac{{y - 5}}{3} \Rightarrow {f^{ - 1}}(x) = \frac{{x - 5}}{3}\)

 f يك به يك است پس \({f^{ - 1}} = \left\{ {(2,1),} \right.(4,3\left. ) \right\}\)  و \(\frac{1}{f} = \left\{ {(1,\frac{1}{2}),} \right.(3,\frac{1}{4}\left. ) \right\}\) واضح است كه \({f^{ - 1}}\) و \(\frac{1}{f}\) با هم مساوي نيستند.

 با توجه به اينكه روي وارون پذيري توابع داده شده تصريح شده است، بررسي وارون پذيري لازم نيست.

الف(

\(y = {x^3} + 4 \Rightarrow {x^3} = y - 4 \Rightarrow x{ = ^3}\sqrt {y - 4} \Rightarrow {f^{ - 1}}(x){ = ^3}\sqrt {y - 4} \)

ب)

\(\begin{array}{l}y = {x^2} - 4 \Rightarrow {x^2} = y + 4 \Rightarrow x = \pm \sqrt {y + 4} \\\\x = - \sqrt {y + 4} \Rightarrow {f^{ - 1}}(x) = - \sqrt {x + 4} \end{array}\)

ج)

\(y = 2({x^3} + 3{x^2} + 3x) \Rightarrow y = 2({x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 - 1)\) 

\(\begin{array}{l}y = 2({x^3} + 6{x^2} + 6x) \Rightarrow y = 2({x^3} + 6{x^2} + 6x + 1 - 1) \Rightarrow \\\\y = 2{(x + 1)^3} - 2 \Rightarrow {(x + 1)^3} = \frac{{y + 2}}{2} \Rightarrow x + 1{ = ^3}\sqrt {\frac{{y + 2}}{2} \Rightarrow } \\\\x = - 1{ + ^3}\sqrt {\frac{{y + 2}}{2} \Rightarrow } {f^1}(x){ = ^3}\sqrt {\frac{{x + 2}}{2}} \end{array}\)

د)

\(y = \log _5^x \Rightarrow x = {5^y} \Rightarrow {f^{ - 1}}\left( x \right) = {5^x}\)

ه)

\(\begin{array}{l}fy = \sqrt {2 - 3x} \to {y^2} = 2 - 3x \Rightarrow 2 - 3x - {y^2} \Rightarrow x = \frac{{2 - {y^2}}}{3} \Rightarrow \\\\{f^{ - 1}}(x) = \frac{{2 - {x^2}}}{3}\end{array}\)

و)

\(\begin{array}{l}y = x + \frac{1}{x} \Rightarrow y = \frac{{{x^2} + 1}}{x} \Rightarrow {x^2} - yx + 1 = 0 \Rightarrow \\\\\\x = \frac{{y \pm \sqrt {{y^2} - 4} }}{2}x = \frac{{y + \sqrt {{y^2} - 4} }}{2} \to {f^{ - 1}}(x) = \frac{{x + \sqrt {{x^2} - 4} }}{2}\end{array}\)

ز)

\(\begin{array}{l}f(x) = \frac{{2x + 1}}{{3x - 2}} \Rightarrow 3xy - 2y = 2x + 1 \Rightarrow 3xy - 2x = 2y + 1 \Rightarrow \\\\x(3y - 2) = 2y + 1 \Rightarrow \frac{{2y + 1}}{{3y - 2}} \Rightarrow {f^{ - 1}}(x) = \frac{{2x + 1}}{{3x - 2}}\end{array}\)

\(x \in {D_g}:f(g(x)) = f\left( {\frac{{x - 5}}{2}} \right) = 2 \times \frac{{x - 5}}{2} + 5 = x\) دلخواه

\(x \in {D_F}:g(f(x)) = g\left( {2x + 5} \right) = \frac{{2x + 5 - 5}}{2} = x\) دلخواه

 روش اول:

\(x \in {D_g}:f(g(x)) = f(2x + 1) = \frac{{2x + 1 + 1}}{2} = x + 1 \ne x\)

بنابراين f و g وارون يكديگر نيستند.

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + 4 \ge 0\\\\\sqrt {x + 4} - 2 \Rightarrow \sqrt {x + 4} \ne 2 \Rightarrow x \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 4\\\\x \ne 0\end{array} \right.\\\\{D_f} = \left( { - 4,0} \right) \cup (0, + \infty ) = {D_{{f^{ - 1}}}} = \left( { - 4,0} \right) \cup (0, + \infty )\end{array}\)

ميدانيم \({R_{{f^{ - 1}}}} = {R_f}\) پس كافي است برد تابع f را به دست آوريم.

\(\begin{array}{l}2 \le x < 4 \Rightarrow - 12 < - 3x < - 6 \Rightarrow - 11 \le 1 - 3x < - 5 \Rightarrow \\\\\frac{{ - 11}}{4} < \frac{{1 - 3x}}{4} < - \frac{5}{4} \Rightarrow \frac{{ - 11}}{4} < y < - \frac{5}{4} \Rightarrow {R_f} = (\frac{{ - 11}}{4},\left. { - \frac{{ - 5}}{4}} \right] \Rightarrow \\\\{D_f}^{ - 1} = (\frac{{ - 11}}{4},\left. { - \frac{{ - 5}}{4}} \right]\end{array}\)

برای ضابطه اول داریم:

\(x < 1 \Rightarrow x - 2 < - 1 \Rightarrow {R_1} = ( - \infty , - 1)\)

در نتیجه

\(y = x - 2 \Rightarrow x = y + 2 \Rightarrow f_1^{ - 1}(x) = x + 2\)

 برای ضابطه دوم داریم

\(x \ge 1 \Rightarrow 2x \ge 2 \Rightarrow 2x + 4 \ge 6 \Rightarrow {R_2} = \left[ {6, + \left. \infty \right\}} \right.\)

در نتیجه

\(y = 2x + 4 \Rightarrow 2x = y - 4 \Rightarrow x = \frac{{y - 4}}{2} \Rightarrow f_2^{ - 1}(x) = \frac{{x - 4}}{2}\)

بنابراين ضابطه ي تابع وارون f به صورت زير خواهد بود.

\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}x + 2,x < - 1\\\\\frac{{x + 4}}{2},x \ge 6\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}{x_1} < {x_2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_1^3 < x_2^3\\\\{x_1} < {x_2}\end{array} \right. \Rightarrow x_3^1 + {x_1} < x_2^3 + {x_2} \Rightarrow x_3^1 + {x_1} - 8 < x_2^3 + {x_2} - 8\\\\ \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\end{array}\)

در نتيجه تابع f صعودي اكيد است

 بنابراين براي محاسبه محل تلاقي f و \({f^{ - 1}}\)  كافي است محل تلاقي f و خط x = y را در صورت وجود محاسبه كنيم.

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = {x^3} + x - 8\\\\y = x\end{array} \right. \Rightarrow {x^3} + x - 8 = x \Rightarrow {x^3} = 8 \Rightarrow x = 2,y = 2\\\\ \Rightarrow d = \sqrt {4 + 4} = 2\sqrt 2 \end{array}\)

\(\begin{array}{l}{x_1},{x_2} \in \left[ { - 1, + \left. \infty \right)} \right.,{x_1} < {x_2}\\\\{x_1} < {x_2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} < {x_2}\\\\{x_1} + 1 < {x_2} + 1 \Rightarrow \sqrt {{x_1} + 1} < \sqrt {{x_2} + 1} \end{array} \right.\\\\ \Rightarrow {x_1} + \sqrt {{x_1} + 1} < {x_2} + \sqrt {{x_2} + 1} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\end{array}\) دلخواه

تابع f صعودي اكيد است.

براي پيدا كردن نقطه ي برخورد داريم:

\(\left\{ \begin{array}{l}y = x\\\\y = x + \sqrt {x + 1} \end{array} \right. \Rightarrow x = x + \sqrt {x + 1} \Rightarrow \sqrt {x + 1} = 0 \Rightarrow x = - 1,y = - 1\)

حل: همانگونه كه از نمودار مشاهده ميشود كمترين طولي كه نمودار تابع در آن عيناً تكرار ميشود \(2\pi \) است. پس دوره تناوب تابع \(T = 2\pi \) ميباشد.

 با توجه به اينكه براي رسم نموار تابع \(y = 3\sin x - 1\) ميتوانيم ابتدا نمودار تابع \(y = \sin x\)  را رسم و نمودار را با يك انبساط در جهت محور y ها و يك انتقال به راست، نمودار تابع را رسم كنيم در واقع دوره تناوب اين تابع با تابع \(y = \sin x\)  يكسان است. اين مطلب در شكل زير به خوبي قابل مشاهده ميباشد.

 خير - زيرا \({D_f} = \left[ { - 1,1} \right]\) و شرط \(x + T \in {D_f}\) نميتواند براي تابع برقرار باشد.

 دامنه تعريف تابع برابر ℜ است. پس T هر عدد حقيقي مثبت كه باشد داريم

\(\left\{ \begin{array}{l}x + T \in {D_f}\\\\f(x + T) = f(x)\end{array} \right.\)

پس تابع متناوب است. اما چون كوچكترين عدد حقيقي مثبت وجود ندارد، پس دوره تناوب ندارد.

\({T_1} = \frac{{2\pi }}{{\frac{2}{3}}} = 3\pi ,{T_2} = \frac{{2\pi }}{{\frac{2}{3}}} = \frac{{2\pi }}{3} \Rightarrow \frac{{{T_1}}}{T} = \frac{{3\pi }}{{\frac{2}{3}}} = \frac{9}{2}\)

\(\left[ x \right] < 2 \Rightarrow \left[ x \right] \le 2 \Rightarrow x < 2\) (الف

\(\left[ x \right] \le 2 \Rightarrow x < 3\) (ب

\(\left[ x \right] < - \frac{1}{2} \Rightarrow \left[ x \right] < - \frac{1}{2} < 0 \Rightarrow x < 0\) (ج

\(\left| x \right| \le - \sqrt 2 \Rightarrow \left| x \right| \le - \sqrt 2 < - 1 \Rightarrow x < - 1\) (د

\(\left[ {\frac{{3x + 1}}{2}} \right] < 4 \Rightarrow \frac{{3x + 1}}{2} < 4 \Rightarrow 3x + 1 < 8 \Rightarrow x < \frac{7}{3}\) (ه

\(\begin{array}{l}{\left[ x \right]^2} - 3\left[ x \right] + 2 < 0{t^2} - 3t + 2 < 0 \Rightarrow 1 < t < 2\\\\ \Rightarrow 1 < \left[ x \right] < 2\end{array}\)

\(\left[ {\log _2^x} \right] < 9 \Rightarrow \log _2^x < 9 \Rightarrow x < {2^9}\) (ز

\(\left[ x \right] + \left[ x \right] + 3 - \left[ x \right] - 2 = 5 \Rightarrow \left[ x \right] = 4 \Rightarrow 4 \le x < 5\)

\(\left\{ \begin{array}{l}\left\{ {4\left[ x \right.\left. {^2} \right]} \right. \in z\\\\\left\{ {4\left[ x \right.\left. {^2} \right]} \right. + x = 5\end{array} \right. \Rightarrow x \in z \Rightarrow {x^2} \in z \Rightarrow 4{x^2} + x - 5 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\\\x = - \frac{5}{4}\end{array} \right.\)

ميدانيم

\(\left[ x \right] + \left[ { - x} \right] = \left\{ \begin{array}{l}0,x \in z\\\\ - 1,x \notin z\end{array} \right.\)

باتوجه به اینکه صورت کسر طرف دوم عدد یک یک است پس طرف اول صفر نمی تواند باشد بنابراین \(x \in z\) و برابر 1- است و داریم :

مهادله جواب ندارد \( - 1 = \frac{1}{{x - \left[ x \right]}} \Rightarrow x - \left[ x \right] = - 1 \to 0 < x - \left[ x \right] < 1\)

 لازم است \(x - \left| x \right| > 0\)  باشد،

\(\begin{array}{l}0 \le x - \left| x \right| < 1x - \left| x \right| \ne 0 \Rightarrow x \ne z \Rightarrow {D_f} = R - Z\\\\x \in R - Z \Rightarrow 0 < x - \left| x \right| < 1 \Rightarrow \sqrt {x - \left| x \right| < 1} \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt {x - \left| x \right|} }} > 1 \Rightarrow {R_f} = \left( {, + \infty } \right)\end{array}\)

 ميدانيم نمودار تابع \(y = \left| x \right|\)  به صورت مقابل است.

 پس لازم است ابتدا y هاي نقاط اين نمودار در -2 ضرب شود، سپس تمام نقاط آن يك واحد به سمت پايين انتقال يابد. بنابراين نمودار به صورت زير در مي آيد.

 داريم

\(\begin{array}{l}0 \le x < 9 \Rightarrow 0 \le \sqrt x < 3 \Rightarrow \left| {\sqrt x } \right| = 0,1,2\\\\\left| {\sqrt x } \right| = 0 \Rightarrow 0 \le \sqrt x < 1 \Rightarrow 0 \le x < 1,y = 0\\\\\left| {\sqrt x } \right| = 1 \Rightarrow 1 \le \sqrt x < 2 \Rightarrow 1 \le \sqrt x < 4,y = 1\\\\\left| {\sqrt x } \right| = 2 \Rightarrow 2 \le \sqrt x < 3 \Rightarrow 4 \le \sqrt x < 9,y = 2\end{array}\)

و نمودار به صورت زير در مي آيد.

\(0 \le x < 4 \Rightarrow 0 \le \sqrt x < 2 \Rightarrow \left[ {\sqrt x } \right] = 0,1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\sqrt x } \right] = 0 \Rightarrow 0 \le \sqrt x < 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le x < 1\\\\y = 2x - 5\end{array} \right.\\\\\left[ {\sqrt x } \right] = 1 \Rightarrow 1 \le \sqrt x < 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le x < 4\\\\y = 3x - 5\end{array} \right.\end{array} \right.\)