درسنامه کامل حسابان دوازدهم فصل 1 تابع

اگرk یک عدد مثبت در نظر گرفته شود و  \(({x_0},{y_0})\) یک نقطه از نمودار تابع  y = f(x)  باشد. می توان انتقال عمودی را برای تابع gو در حالت های زیر بررسی کرد. حالت اول : تابع g به صورت  \(g(x) = f(x) + k\) تعریف شده باشد. آنگاه  \(g({x_0}) = f({x_0}) + k = {y_0} + k\)   بنابراین نقطه ی \(({x_0},{y_0} + k)\)   از نمودار تابع gمتناظر با نقطه ی \(({x_0},{y_0})\)   از نمودار f است.

حالت دوم : تابع g به صورت \(g(x) = f(x) - k\)   تعریف شده باشد. آنگاه

\(g({x_0}) = f({x_0}) - k = {y_0} - k\)  

بنابراین نقطه ی \(({x_0},{y_0} - k)\)   از نمودار تابع g متناظر با نقطه ی \(({x_0},{y_0})\) از نمودار fاست. با توجه به مطلب می توان نتیجه گرفت که :

۱- برای رسم نمودار تابع y = f(x) + k  ، کافی است نمودار f(x) را kواحد در راستای قائم به سمت بالا انتقال دهیم.

-2برای رسم نمودار تابع y = f(x) - k، کافی است نمودار f(x)  را kواحد در راستای قائم به سمت پایین انتقال دهیم.

اگر  kیک عدد مثبت در نظر گرفته شود و \(({x_0},{y_0})\)یک نقطه از نمودار تابع (y = f(x باشد. می توان انتقال افقی را برای تابع g در حالت های زیر بررسی کرد.

حالت اول : تابع gبه صورت \(g(x) = f(x - k)\)   تعریف شده باشد. آنگاه

 \(g({x_0} - k) = f({x_0} - k + k) = f({x_0})\)  

بنابر این نقطه ی \(({x_0},{y_0} + k)\)   از نمودار تابع gمتناظر با نقطه ی  \(({x_0},{y_0})\) از نمودار fاست.

حالت دوم : تابع gبه صورت \(g(x) = f(x - k)\)  تعریف شده باشد. آنگاه

\(g({x_0} + k) = f({x_0} + k - k) = f({x_0})\)  

بنابر این نقطه ی \(({x_0},{y_0} + k)\)  از نمودار تابع g تناظر با نقطه ی \(({x_0},{y_0})\) از نمودار fاست.

با توجه به مطلب می توان نتیجه گرفت که :

-1برای رسم نمودار تابع \(y = f(x + k)\)  ، کافی است نمودار f(x)  را kواحد در راستای افقی به سمت چپ انتقال دهیم.

-2برای رسم نمودار تابع \(y = f(x - k)\) ، کافی است نمودار f(x)  را kواحد در راستای افقی به سمت راست انتقال دهیم.

اگر kیک عدد مثبت در نظر گرفته شود و \(({x_0},{y_0})\)  یک نقطه از نمودار تابع (y = f(x باشد. می توان انبساط و انقباض عمودی را برای تابع 8 در حالت های زیر بررسی کرد.

در صورتی که تابع gبه صورت \(g(x) = kf(x)\)   تعریف شده باشد، آنگاه

\(g({x_0},{y_0}) = kf({x_0}){y_0}\)  

بنابر این نقطه ی \(({x_0},k{y_0})\)  از نمودار تابع g متناظر با نقطه ی\(({x_0},{y_0})\) از نمودار f است.

با توجه به مطلب می توان نتیجه گرفت که:

برای رسم نمودار تابع \(({x_0},k{y_0})\)   کافی است عرض نقاط نمودار f(x)  را kبرابر کنیم ولی طول نقاط را ثابت نگه داریم.

در شکل زیر نمودار دو تابع \(f(x) = \sqrt x \)  و \(g(x) = - \sqrt x \)  را ملاحظه نمایید.

اگر kیک عدد مثبت در نظر گرفته شود و \(({x_0},{y_0})\) یک نقطه از نمودار تابع y=f(x) باشد. می توان انبساط و انقباض افقی را برای تابع g در حالت های زیر بررسی کرد.

در صورتی که تابع g به صورت g(x) = f(kx) تعریف شده باشد. آنگاه

\(g(\frac{1}{k}{x_0}) = f(\frac{1}{k} \times k{x_0}) = f({x_0})\)  

بنابر این نقطه ی \((\frac{1}{k}{x_0},{y_0})\)  از نمودار تابع g متناظر با نقطه ی \(({x_0},{y_0})\)  از نمودار fاست.

با توجه به مطلب می توان نتیجه گرفت که:

برای رسم نمودار تابع (y = f(kx کافی است عرض نقاط نمودار f(x)را ثابت نگه داشته، ولی طول نقاط را در \(\frac{1}{k}\)ضرب کنیم.

در شکل زیر نمودار دو تابع \(f(x) = \sqrt x \) و \(f(x) = \sqrt { - x} \)  را ملاحظه نمایید.

آنگاه

‏\(g(\frac{{{x_0}}}{2}) = 3f(2 \times \frac{{{x_0}}}{2}) = 3f({x_0})\)  ‏

بنابر این نقطه ی \((\frac{{{x_0}}}{2},3{y_0})\) از نمودار تابع g متناظر با نقطه ی \(({x_0},{y_0})\)   از نمودار f است.

با توجه به مطلب می توان نتیجه گرفت که

برای رسم نمودار تابع y=3f(2x)، کافی است عرض نقاط نمودار f(x) را سه برابر کرده و طول نقاط را در\(\frac{1}{2}\)ضرب می کنیم.

نتیجه خلاصه ی آنچه که در این درس بیان شده است برای تابع (y = f(x‏و با فرض مثبت بودن عدد kبه شکل زیر بیان می شود.

اگر n یک عدد صحیح نامنفی و \({a_n},...{a_2},{a_1},{a_0}\)  اعداد حقیقی باشند که \({a_n} \ne 0\)  در این صورت تابع زیر را یک تابع چند جمله ای از درجه ی nمی نامند.

\(f(x) = {a_n}{x^n} + {a_n}_{ - 1}{x^{n - 1}} + {a_n}_{ - 2}{x^{n - 2}} + ...{a_2}{x^2} + {a_1}x + {a_0}\)  

برای مثال توابع زیر توابع چند جمله ای هستند.

الف) تابع ثابت

تابع چند جمله ای از درجه صفر \(f(x) = c\)  

ب) تابع خطی

تابع چند جمله ای ازدرجه یک \(f(x) = ax + b\)  

ج) تابع درجه ۲ ( سهمی)

تابع چند جمله ای از درجه دو \(f(x) = a{x^2} + bx + c\)  

د (تابع زیر نیز یک تابع چند جمله ای از درجه ۳ است.

تابع چند جمله ای از درجه سه     \(f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) 

تابعy=f(x) را روی دامنه اش صعودی گویند، هرگاه :  

\(\forall {x_1},{x_2} \in {D_f};{x_1} < {x_2} \to f({x_1}) \le f({x_2})\)

تابع (y = f(x را روی دامنه اشصعودی اکید( اکیداً صعودی) گویند، هرگاه :

\(\forall {x_1},{x_2} \in {D_f};{x_1} < {x_2} \to f({x_1}) < f({x_2})\)  

تابع (y = f(x را را روی دامنه اش نزولی گویند، هرگاه :

\(\forall {x_1},{x_2} \in {D_f};{x_1} < {x_2} \to f({x_1}) \ge f({x_2})\)  

تابع (y = f(x را روی دامنه اش نزولی اکید )اکیداً نزولی) گویند، هرگاه :

\(\forall {x_1},{x_2} \in {D_f};{x_1} < {x_2} \to f({x_1}) > f({x_2})\)  

تابع (y = f(x را را روی دامنه اش ثابت است، هرگاه :

\(\forall {x_1},{x_2} \in {D_f};{x_1} < {x_2} \to f({x_1}) = f({x_2})\)  

در سال های گذشته با تقسیم چند جمله ای ها بر یکدیگر آشنا شده اید میدانید که برای تقسیم چند جمله ای A(x)را بر چند جمله ای غیر صفر B(x) که درجه ی A(x) بزرگتر یا مساوی درجه ی B(x) باشد مراحل زیر به ترتیب را طی کنیم.

مرحله ی اول:

ابتدا چند جمله ای های مقسوم \((A(x))\)  و مقسوم عليه \((B(x))\) را استاندارد می کنیم.

مرحله ی دوم:

اولین جمله ی مقسوم را بر اولین جمله ی مقسوم علیه تقسیم میکنیم) جملاتی از مقسوم و مقسوم علیه که دارای بزرگترین توانها هستند( و حاصل را به عنوان اولین جمله ی خارج قسمت قرار می دهیم

مرحله ی سوم:

خارج قسمت بدست آمده را در چند جمله ای مقسوم علیه ضرب می کنیم. سپس عبارت بدست آمده را قرینه کرده و در زیر مقسوم یادداشت میکنیم حاصل جمع این عبارت یا مقسوم، اولین باقی مانده را نتیجه می دهد.

مرحله ی چهارم: مانند مرحله ی دوم این بار باقی مانده ی به دست آمده را بر عبارت مقسوم علیه تقسیم می کنیم.

اگر چند جمله ایA(x) را بر چند جمله ای غیر صفرB(x) تقسیم کنیم در این صورت همواره خواهیم داشت

\(( - {x^2} + 3x)(x + 2) + 1 = - {x^3} - 2{x^2} + 3{x^2} + 6x + 1) = - {x^3} + {x^2} + 6x + 1\)  

بخش پذیری در چند جمله ای ها

چند جمله ای A(x)را بر چند جمله ای (B(x بخش پذیر گویند، هرگاه باقی مانده ی تقسیم A(x)  بر B(x) صفر شود. در این صورت خواهیم داشت :

\(A\left( x \right) = Q(x) \times B(x)\)  

اگر چند جمله ای P(x) را بر x-aتقسیم کنیم، خواهیم داشت. ‏

\(P\left( x \right) = Q(x) \times (x\_a) + R(x)\)  

حال اگر قرار دهیم x=a

\( \to P\left( a \right) = Q(a) \times (a\_a) + R(a) \to P\left( a \right) = R(a)\)  

یعنی باقی مانده ی تقسیم p(x) بر x-aبرابر p(a)است.

در این جا در پی آن هستیم که چند اتحاد مفید دیگر را ارائه کنیم در سالهای قبل به یاد دارید که :

  \(\begin{array}{l}{x^2} - {a^2} = (x - a)(x + a)\\\\{x^3} - {a^3} = (x - a)({x^2} + ax + {a^2})\end{array}\)