درسنامه کامل حسابان دوازدهم فصل 5 کاربردهای مشتق

\(f(x) = \left| x \right| - x = \left\{ \begin{array}{l}0 \to x \ge 0\\\\ - 2x \to x < 0\end{array} \right.\)

مشاهده می شود که تابع fدر بازه ی \(\left( { - \infty ,0} \right]\) اکیداً نزولی و در بازه ی \(\left( {0, + \infty } \right]\) ثابت است. به طور کلی تابعf در \(\left( { - \infty , + \infty } \right)\) نزولی است.

\(f(x) = {x^3} - 3x + 1 \to f'(x) = 3{x^2} - 33{x^2} - 3 = 0 \to x = \pm 1\)

لذا تابع fو در بازه ی \(\left[ { - 1,1} \right]\) اکیداً نزولی و در بازه های \(\left( {1, + \infty } \right)\) و  \(\left( { - \infty , - 1} \right)\)اکیداً صعودی است.

 تابع چند جمله ای است و در تمام نقاط درونی بازه مشتق پذیر است. لذا ابتدا فقط نقاطی را تعیین می کنیم که در آنها مشتق برابر صفر باشد.

\(\begin{array}{l}f(x) = - 2{x^3} + 3{x^2} + 1\\\\f'(x) = - 6{x^2} + 6x - 6{x^2} + 6x = 0 \to x = 0\end{array}\)

یا

\(x = 1\)

پس نقاط 0=x و ۱ = x نقاط بحرانی نمودار تابع هستند. نقطه ی ۱ = - x به عنوان نقطه ی ابتدای بازه ی داده شده نیز بحرانی می باشد.

 تابع چند جمله ای در تمام نقاط نقط درونی بازه مشتق پذیر است. لذا ابتدا نقاطی را تعیین می کنیم که در آنها مشتق برابر صفر باشد.

\(\begin{array}{l}f(x) = - {x^3} + 3{x^2}\\\\ \to f'(x) = - 3{x^2} + 6x - 3{x^2} + 6x = 0 \to x = 0\end{array}\)

یا

\(x = 2 \in \left[ { - 1,1} \right]\)

پس نقطه ی x=0 نقطه ی بحرانی نمودار تابع است. نقاط ۱ x= و ۱- = x به عنوان نقاط ابتدا و انتهای بازه ی داده شده نیز بحرانی می باشند.

 دامنه ی این تابع مجموعه ی اعداد حقیقی است. \({D_f} = R\) ‏

از طرفی این تابع : در نقطه ی ۲ = x مشتق پذیر نیست. این نقطه یک نقطه ی بحرانی تابع است.

 ابتدا دامنه ی تابع را تعیین می کنیم.

\(\begin{array}{l}4x - {x^2} \ge 0 \to x(4 - x) \ge 0 \to 0 \le x \le 4\\\\ \to {D_f} = \left[ {0,4} \right]\end{array}\)

اکنون از تابع مشتق گرفته و ریشه های صورت و مخرج آن را تعیین می کنیم.

\(f'(x) = \frac{{4 - 2x}}{{2\sqrt {4 - {x^2}} }}\frac{{4 - 2x}}{{2\sqrt {4 - {x^2}} }} = 0 \to x = 2\)

ریشه های صورت

X=2

  X=4وX=0ریشه های مخرج

لذا نقطه های ۴ = x و ۰ = x و ۲ = x نقاط بحرانی نمودار تابع می باشند.

\(\begin{array}{l}f(x) = 2{x^3} + 3{x^2} - 12x \to f'(x) = 6{x^2} + 6x - 12x6{x^2} + 6x - 12x = 0\\\\{x^2} + x - 2 = 0 \to x = 1 \in \left[ { - 1,3} \right],x = - 2 \notin \left[ { - 1,3} \right]\end{array}\) 

لذا نقاط ۱x= و ۱ - = x و ۳ = x بحرانی هستند.

\(\begin{array}{l}f(1) = 2{(1)^3} + 3{(1)^2}\_12(1) = 2 + 3 - 12 = - 7\\\\f( - 1) = 2{( - 1)^3} + 3{( - 1)^2}\_12( - 1) = - 2 + 3 + 12 = 13\\\\f(3) = 2{(3)^3} + 3{(3)^2}\_12( - 3) = 54 + 27 - 36 = 45\end{array}\)

نقطه ی \(\left( {1, - 7} \right)\) مینیمم مطلق و نقطه ی  \(\left( {3,45} \right)\)ماکزیمم مطلق است.

\(\begin{array}{l}{D_f} = R\\\\f'(x) = 4{x^3} - 4{x^2} - 8x{x^3} - 4{x^2} - 8x = 0\\\\ \to 4x({x^2} + x - 2) = 0 \to 4x(x + 2)(x - 1) = 0 \to x = - 2,x = 0,x = 1\end{array}\)

 \((1,\frac{{ - 5}}{3})\) و \(( - 2,\frac{{ - 32}}{3})\) نقطه ی ماکزیمم نسبی تابع

 \((0,{0})\) نقطه ی ماکزیمم نسبی تابع

\(\begin{array}{l}{D_f} = R\\\\f'(x) = 4{x^3} - 48x - 1 \to f'' = 12{x^2} - 480\\\\12{x^2} - 48 = 0 \to x = \pm 2\end{array}\)

در بازه ی (2 ,2-) جهت تقعر تابع رو به پایین و در فاصله های 2و مثبت بی نهایت و 2و منفی بی نهایت روبه بالا است.

الف تقعر منحنی در همسایگی نقطه ی x = b عوض نشده است. لذا نقطه ی x = b نقطه ی عطف نیست.

ب تقعر منحنی در همسایگی نقطه ی x = a عوض شده است اما در این نقطه منحنی مماس واحد ندارد. لذا این نقطه نقطه ی عطف نمی باشد.

پ نقطه ی x = a هر دو شرط نقطه ی عطف را دارد. لذا این نقطه نقطه ی عطف نمودار تابع است.

الف

\(\begin{array}{l}{D_f} = R\\\\f'(x) = 3{x^2} - 12x \to f''(x) = 6x - 126x - 12 = 0 \to x = 2\end{array}\)

ب

\(\begin{array}{l}{D_f} = R\\\\f'(x) = \frac{1}{{{3^3}\sqrt {{x^2}} }} \to f''(x) = \frac{{ - 2}}{{9{x^3}\sqrt {{x^2}} }}\end{array}\)

X=0ریشه ی مخرج

‏نقطه ی  \(\left( {0,0} \right)\) نقطه ی عطف قائم تابع نیز نامیده می شود.

توجه : نقطه ی 0 = x نقطه ی عطف تابع  \(f(x){ = ^3}\sqrt x \) است. ولی \(f''(0)\) موجود نیست.

\(\begin{array}{l}{D_f} = R\\\\f'(x) = 3{x^2} - 33{x^2} - 3 = 0 \to x = \pm 1\\\\f''(x) = 6x6x = 0 \to x = 0\end{array}\)

با توجه به نمودار مشخص است که تابع درجه سوم و صعودی میباشد. از طرفی طول نقطه ی عطف مثبت میباشد. لذا نمودار )ب ( جواب مسئله است.

\(\begin{array}{l}{D_f} = R\\\\f'(x) = 3{x^2} + 6x - 93{x^2} + 6x - 9 = 0\\\\ \to {x^2} + 2x - 3 \to x = 1,x = - 3\end{array}\)

نقاط ۱ = x و ۳- = x نقاط بحرانی تابع هستند و \(f'(1) = 0\) و \(f'( - 3) = 0\) . همچنین  \(f''\) روی \(I = \left( { - \infty , + \infty } \right)\) موجود است. لذا:

\(f''(x) = 6x + 6 \to \left\{ \begin{array}{l}f''(1) = 12 > 0\\\\f''( - 3) = - 12 < 0\end{array} \right.\)

پس طبق آزمون مشتق دوم نقطه ی x=1 مینیمم نسبی و نقطه ی ۳- = x ماکزیمم نسبی است.

 \(f'(x) = 2x - 42x - 4 = 0 \to x = 2\)

\(f'(x) = - 3{x^2} + 3 - 3{x^2} + 3 = 0 \to - 3{x^2} = 1 \to x = \pm 1\)

\(\begin{array}{l}f(x) = {x^4} - 8{x^2} + 7,{D_f} = R\\\\f'(x) = 4{x^3} - 16x4{x^3} - 16x = 0 \to 4x({x^2} - 4) = 0 \to x = 0,x = \pm 2\end{array}\)

\(f(x) = 0 \to {x^4} - 8{x^2} + 7 = 0 \to x = \pm 1,x = \pm \sqrt 7 \)

\(f(x) = \frac{{x + 1}}{{x - 2}},{D_f} = R\)

 \(x - 2 = 0 \to x = 2\)مجانب قائم

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f(x) = 1 \to y = 2\)مجانب افقی ‏

 \(f'(x) = \frac{{1(x - 2) - 1(x + 1)}}{{{{(x - 2)}^2}}} = \frac{{ - 3}}{{{{(x - 2)}^2}}} < 0\)

مشتق اول ریشه ندارد و همواره منفی میباشد. پس تابع در هر سمت مجانب قائم آن همواره نزولی است.

ابتدا مجانبها و سپس نمودار تابع را رسم می کنیم

‏ \(f(x) = \frac{{x + 1}}{{x - 2}},{D_f} = R\)

X=0مجانب قائم

 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f(x) = 1 \to y = 1\)مجانب افقی ‏

\(f'(x) = \frac{{1(x) - 1(x - 2)}}{{{x^2}}} = \frac{2}{{{x^2}}} > 0\)

مشتق اول ریشه ندارد و همواره مثبت میباشد. پس تابع در هر سمت مجانب قائم آن همواره صعودی است.

ابتدا مجانب ها و سپس نمودار تابع را رسم می کنیم.

 ابتدا جدول تغییرات را رسم می کنیم.

پس نمودار تابع به شکل زیر است.

توجه به کمک این روش نمی توان عرض نقاط )در نمودار f (را تعیین کرد. در این جا عرض نقاط را صفر فرض می کنیم.

 ابتدا جدول تغییرات را رسم می کنیم.

پس نمودار تابع به شکل زیر است.

الف 

ب

ج 

 د

\(x = 0f(0) = 2 + \sin (0) = 2 + 0 = 2\)

شیب خط مماس

\(f'(0) = \cos x \to m = f'(0) = \cos (0) = 1\)

معادله ی خط مماس

\(y = m(x - a) + b \to y = 1(x - 0) + 2 \to y = x + 2\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} + x - 6}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2x}}{{2x + 1}} = \frac{{2(2)}}{{2(2) + 1}} = \frac{4}{5}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{{1 - \cos x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2x}}{{\sin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{{\cos x}} = \frac{2}{{\cos (0)}} = \frac{2}{1} = 2\)

نقطه ی داده شده، یک نقطه ی عادی است لذا مختصات آن را در معادله ی تابع جایگزین می کنیم.

\(\begin{array}{l}(23)3 = (m - 1){(2)^3} + 2m(2) - 13 \to 8m - 8 + 4m = 16\\\\ \to 12m = 24 \to m = 2\end{array}\)

 ابتدا مختصات آن را در معادله ی تابع جایگزین می کنیم.

\((2, - 4) - 4 = {(2)^3} + a{(2)^2} + b \to 4a + b = - 12\)

چون این نقطه ماگزیمم یا مینیمم تابع است. لذا در مشتق مرتبه ی اول نیز جایگزین می کنیم.

\((2, - 4)0 = 3{(2)^3} + 2a{(2)^2} \to 12 + 4 = 0 \to a = - 3\)

در نهایت کمک رابطه ی اول، مقدار را را تعیین می کنیم.

\(a = - 3 - 4( - 3) + b = - 12 \to b = 0\)‏

\(\begin{array}{l}(0,0)0 = {(0)^3} + a{(0)^2} + b(0) + c \to c = 0\\\\(1,1)1 = {(1)^3} + a{(1)^2} + b(1) + ca + b = 0\\\\y = {x^3} + a{x^2} + b + c \to y' = 3{x^2} + 2ax + b \to y'' = 6x + 2a\\\\(1,1)0 = 6(1) + 2(a) \to a = - 3\\\\a + b = 0 - 3 + b = 0 \to b = 3\end{array}\)

\(\begin{array}{l}x.y = 64 \to y = \frac{{64}}{x} \to s = x + y = x + \frac{{64}}{x}\\\\s(x) = x + \frac{{64}}{x} \to s'(x) = 1 + \frac{{ - 64}}{{{x^2}}}1 - \frac{{64}}{{{x^2}}} = 0 \to {x^2} = 0 \to x = \pm 8\end{array}\)

با توجه به صورت مسئله فقط مقدار ۸ = x قابل قبول است. پس  \(y = \frac{{64}}{8} = 8\)لذا :

\(\min (s) = x + y = 8 + 8 = 16\)

 با توجه به مسئله کافی است که معادله ی حجم مکعب تشکیل شده را دهیم.

 \(v(x) = x{(30 - 2x)^2}\)حجم مکعب

\(\begin{array}{l} \to v(x) = x(900 - 120x + 4{x^2}) = 900x - 120{x^2} + 4{x^3};0 < x > 15\\\\ \to v'(x) = 900 - 240x + 12{x^2}\\\\900 - 240x + 12{x^2} = 075 - 20x + {x^2} = 0\\\\ \to {x^2} + 20x + 75 = 0 \to (x - 5)(x - 15) = 0 \to x = 5,x = 15\end{array}\)

و چون ۱۵ = x خارج از دامنه ی اعتباری تابع است این جواب قابل قبول نیست. لذا

‏ \(\max (v) = v(5) = 5{(30 - 2(5))^2} = 5{(30 - 10)^2} = 5(400) = 2000c{m^3}\)

\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = {(4)^2} \to y = \sqrt {16 - {x^2}} \\\\s = x.y \to s(x) = x\sqrt {16 - {x^2}} \\\\s'(x) = x\sqrt {16 - {x^2}} + \frac{{ - {x^2}}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }} = \frac{{16 - 2{x^2}}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }}]\\\\16 - 2{x^2} = 0 \to x = \pm \sqrt 8 \end{array}\)

با توجه به صورت مسئله واضح است که فقط جواب \(x = \sqrt 8 \)قابل قبول است. =8(Max(S‏

قرار میدهیم AO=rپس OH=AH-OA=h-5 لذا در مثلث OBH می توان نوشت :

\(\begin{array}{l}O{H^2} + B{H^2} = O{B^2} + \to {(h - 5)^2} + {r^2} = 25\\\\{r^2} = 10h - {h^2}\\\\v = \frac{1}{3}\pi {r^2}h \to v(h) = \frac{1}{3}\pi (10h - {h^2})h = \frac{1}{3}\pi (10{h^2} - {h^3})\\\\ \to v'(h) = \frac{1}{3}\pi (20h - 3{h^2})\frac{1}{3}\pi (20h - 3{h^2}) = 0\\\\ \to h = 0,h = \frac{{20}}{3}\\\\ \to \max (v) = \frac{1}{3}\pi (10{(\frac{{20}}{3})^2} - {(\frac{{20}}{3})^3}) = \frac{{400\pi }}{{81}}\end{array}\)

 فرض کنیم که نقطه ی  \(A\left( {\alpha ,\beta } \right)\) نزدیکترین نقطه ی منحنی  \({y^2} = 4x\)از نقطه ی (,0۴)M باشد.

پس :

\(\begin{array}{l}{\beta ^2} = 4\alpha \\\\d = \sqrt {{{(4 - \alpha )}^2} + {{(\beta - 0)}^2}} = \sqrt {{\alpha ^2} - 8a + 16 + {\beta ^2}} \\\\ \to d(\alpha ) = \sqrt {{\alpha ^2} - 8a + 16 + 4a} = \sqrt {{\alpha ^2} - 4a + 16} \\\\d'(\alpha ) = \frac{{2\alpha - 4}}{{2\sqrt {{\alpha ^2} - 4a + 16} }} = \frac{{\alpha - 2}}{{\sqrt {{\alpha ^2} - 4a + 16} }} \to \alpha - 2 = 0 \to \alpha = 2\\\\\min (d) = \sqrt {{{(2)}^2} - 4(2) + 16} = \sqrt {12} \end{array}\)

 فرض کنیم که استوانه ی مورد نظر دارای شعاع قاعده ی r و ارتفاع hباشد. اگر oمرکز کره باشد در مثلث قائم الزاویه ی OAB می توان نوشت:

\(OB = \frac{h}{2}\)

‏\(A{B^2} + O{B^2} = O{A^2} \to {r^2} + {(\frac{h}{2})^2} = {R^2} \to {r^2} = {R^2} - {\frac{h}{2}^2}\)

 لذا حجم استوانه ی ایجاد شده به شکل زیر است.

 باید مساحت کل استوانه کمترین مقدار ممکن گردد.

چون قرار است حجم استوانه یک لیتر باشد. پس :

\(v = \pi {r^2}h\pi {r^2}h = 1000 \to h = \frac{{1000}}{{\pi {r^2}}}\)

‏ از طرفی مساحت کل استوانه برابر مجموع، مساحت قاعده و سطح جانبی آن است. لذا:

\(\begin{array}{l}s(r) = \pi {r^2} + 2\pi rh \to s(r) = \pi {r^2} + 2\pi r(\frac{{1000}}{{\pi {r^2}}}) = s(r) = \pi {r^2}\frac{{2000}}{r}\\\\s'(r) = 2\pi r + \frac{{ - 2000}}{{{r^2}}} = \frac{{2\pi {r^3} - 2000}}{{{r^2}}}\frac{{2\pi {r^3} - 2000}}{{{r^2}}} = 0\\\\ \to 2\pi {r^3} - 2000 = 0 \to {r^3} = \frac{{1000}}{\pi } \to r = {10^3}\sqrt {\frac{1}{\pi }} \\\\s({10^3}\sqrt {\frac{1}{\pi }} ) = \pi {({10^3}\sqrt {\frac{1}{\pi }} )^2} + {200^3}\sqrt \pi \end{array}\)

 کافی است بیشترین مساحت پنجره را بدست آوریم این مساحت برابر مجموع مساحت های نیم دایره و مستطیل است.

 \(\begin{array}{l}p = x + 2h + \frac{1}{2}(2\pi r) = 2r + 2h + \pi r\\\\2r + 2h + \pi r = \frac{9}{2} \to h = \frac{9}{4} - r - \frac{1}{2}\pi r\end{array}\)محیط پنجره

مساحت پنجره

\(\begin{array}{l}p = sx + \frac{1}{2}\pi {r^2}\\\\ \to s(r) = (2r)(\frac{9}{4} - r - \frac{1}{2}\pi r) + \frac{1}{2}\pi r \to s(r) = \frac{9}{2}r - 2{r^2} - \pi {r^2} + \frac{1}{2}\pi {r^2} \to \\\\s(r) = \frac{9}{2}r - (\frac{{4 + \pi }}{2}){r^2} \to \\\\s'(r) = \frac{9}{2} - 2(\frac{{4 + \pi }}{2})r = \frac{9}{2} - (4 + \pi )r\frac{9}{2} - (4 + \pi )r = 0\\\\r = \frac{9}{{2(4 + \pi )}}\end{array}\)

 \(r = \frac{9}{{2(4 + \pi )}}\)شعاع نیم دایره

 \(x = 2r = 2 \times \frac{9}{{2(4 + \pi )}} = \frac{9}{{4 + \pi }}\)عرض پنجره

‏  \(\begin{array}{l}h = \frac{9}{4} - r - \frac{1}{2}\pi r\\\\h = \frac{9}{4} - \frac{9}{{2(4 + \pi )}} - \frac{1}{2}\pi (\frac{9}{{2(4 + \pi )}}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{{2(4 + \pi )}} - (\frac{{9\pi }}{{4(4 + \pi )}})\end{array}\) ارتفاع پنجره

 با توجه به شکل مقابل و نظر به اینکه محوطه کنار رودخانه ساخته می شود، پس : ‏

\(\begin{array}{l}y + y = 100 \to 2y = 100 \to y = 50\\\\{x^2} + {h^2} = {y^2}{x^2} + {h^2} = 2500\\\\{x^2} + {h^2} = 2500 \to h = \sqrt {2500 - {x^2}} \\\\s = \frac{1}{2}(2x)h = x\sqrt {2500 - {x^2}} ;0 < x < 50\\\\s' = \sqrt {2500 - {x^2}} + \frac{{ - 2x}}{{2\sqrt {2500 - {x^2}} }}(x) = 2\sqrt {2500 - {x^2}} - \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {2500 - {x^2}} }}\\\\\sqrt {2500 - {x^2}} - \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {2500 - {x^2}} }} = 0 \to \sqrt {2500 - {x^2}} = \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {2500 - {x^2}} }}\\\\250 = x\sqrt {2500 - {x^2}} = 25\sqrt 2 \times \sqrt {2500 - {{(25\sqrt 2 )}^2}} = 25\sqrt 2 \times \sqrt {2500 - 1250} \\\\ \to s = 25\sqrt 2 \times 25\sqrt 2 = 1250{m^2}\end{array}\)

توجه داشته باشید که بدون استفاده از مشتق نیز میتوان مسئله را حل کرد به استدلال زیر دقت کنید.

مساحت این مثلث با توجه به اطلاعات داده شده برابر \(s = \frac{1}{2}(50)(50) \times \sin \theta \) می باشد. بیشترین مساحت وقتی است که  \(\sin \theta = 1\)باشد. پس داریم :

\(\max (s) = \frac{1}{2}(50)(50)(1) = 1250\)

\(\begin{array}{l}{a^2} = {h^2} + {(\frac{b}{2})^2} \to h = \sqrt {{a^2} - } \frac{{{b^2}}}{4}(1)\\\\p = a + a + b \to b = p - 2a \to {b^2} = {p^2} - 4pa + 4{a^2}(2)\\\\(1),(2) \to h = \sqrt {{a^2} - \frac{1}{4}({p^2} - 4pa + 4{a^2})} \to h = \sqrt {pa - \frac{1}{4}{p^2}} \\\\s = \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2}(p - 2a)\sqrt {pa - \frac{1}{4}{p^2}} + \frac{1}{2}(p - 2a) \times \frac{p}{{^2\sqrt {pa - \frac{1}{4}{p^2}} }}\\\\ = \frac{{ - 2pa + \frac{1}{2}{p^2} - pa}}{{^2\sqrt {pa - \frac{1}{4}{p^2}} }} = \frac{{{p^2} - 3pa}}{{^2\sqrt {pa - \frac{1}{4}{p^2}} }}\\\\\frac{{{p^2} - 3pa}}{{^2\sqrt {pa - \frac{1}{4}{p^2}} }} = 0 \to {p^2} - 3pa = 0 \to p(p - 3a) = 0\\\\p = 3a2b + b = 3a \to b = a\end{array}\)

یعنی مثلث متساوی الاضلاع است.