آیا درسنامه حسابان دوازدهم فصل 3 حدهای نامتناهی_حد در بی نهایت، مطابق با آخرین تغییرات کتب درسی است ؟

بله، درسنامه حسابان دوازدهم فصل 3 مطابق با آخرین تغییرات کتب درسی 1402 - 1401 تدوین شده است.

آیا نکات درس به صورت کامل بیان شده اند ؟

بله، تمام نکات به صورت کاملا شیوا و با هدف یادگیری و تسلط به مبحث بیان شده اند.

درسنامه کامل حسابان دوازدهم فصل 3 حدهای نامتناهی_حد در بی نهایت

تعداد بازدید : 5.31M

خلاصه نکات حسابان دوازدهم فصل 3 حدهای نامتناهی_حد در بی نهایت - درسنامه شب امتحان حسابان دوازدهم فصل 3 حدهای نامتناهی_حد در بی نهایت - جزوه شب امتحان حسابان دوازدهم نوبت اول فصل 3 حدهای نامتناهی_حد در بی نهایت

حدهای نامتناهی

در سال گذشته با مفهوم حد تابع در یک نقطه آشنا شده اید. دیدیم که اگر تابع در همسایگی نقطه ی a تعریف شده باشد و مقادیر xرا از دو طرف به اندازه ی کافی به aنزدیک کنیم در صورتی که مقدار تابع(f(x به عدد معلوم Iنزدیک شود. گویند تابع در حد دارد و می نویسند:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{{x^n}}} = + \infty \)

در این درس با رفتار برخی دیگر توابع در همسایگی محذوف یک نقطه آشنا می شویم.

نمودار زیر ، نمودار تابع \(f(x) = \frac{1}{x}\)می باشد.

این همسایگی می تواند محذوف باشد.

همانطور که در این نمودار مشاهده می کنید هر چه X با مقادیر بزرگتر از صفر به صفر نزدیک شود، مقادیر f(x)بدون هیچ محدودیتی افزایش می یابد به عبارتی دیگر میتوان f(x)را از هر عدد مثبتی که دلخواهی که در نظر بگیریم بزرگتر کرد به شرطی که x را به اندازه ی کافی با مقادیر بزرگتر از صفر به صفر نزدیک کرد. در این صورت می نویسیم.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = + \infty \)

این نماد نشان میدهد که حد فوق موجود نیست چون مقدار تابع به عدد خاصی نزدیک نمی شود و مثبت بی نهایت فقط یک نماد است که نمایش میدهد مقدار تابع از هر عدد مثبتی می تواند بزرگتر باشد.

همچنین در این نمودار مشاهده میکنید. هر چه با مقادیر کمتر از صفر به صفر نزدیک شود، مقادیر (f(x بدون هیچ محدودیتی کاهش می یابد به عبارتی دیگر میتوان (f(x را از هر عدد منفی که دلخواهی که در نظر بگیریم کوچکتر کرد به شرطی که x را به اندازه ی کافی با مقادیر کمتر از صفر به صفر نزدیک کرد. در این صورت می نویسیم.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = - \infty \)

باز تاکید میشود که این نماد نشان میدهد که حد فوق موجود نیست چون مقدار تابع به عدد خاصی نزدیک نمی شود و منفی بی نهایت فقط یک نماد است که نمایش میدهد مقدار تابع از هر عدد منفی می تواند کوچکتر باشد.

با درک توصیف های ، فوق برای نمودار تابع \(f(x) = \frac{1}{x}\)می توان حدهای یک طرفه نامتناهی را بدین شکل تعریف کرد.

تهیه کننده : جابر عامری

مای درس ، برترین اپلیکیشن کمک درسی ایران

پوشش تمام محتواهای درسی پایه دوازدهم

آزمون آنلاین تمامی دروس پایه دوازدهم
گام به گام تمامی دروس پایه دوازدهم
ویدئو های آموزشی تمامی دروس پایه دوازدهم
گنجینه ای از جزوات و نمونه سوالات تمامی دروس پایه دوازدهم
فلش کارت های آماده دروس پایه دوازدهم
گنجینه ای جامع از انشاء های آماده پایه دوازدهم
آموزش جامع آرایه های ادبی، دستور زبان، قواعد زبان انگلیسی و ... ویژه پایه دوازدهم

کاملا رایگان

+500 هزار کاربر

همین حالا نصب کن

تعریف حدهای یک طرفه نامتناهی

فرض کنیم که تابعf در یک همایگی راست نقطه ای مانند aتعریف شده باشد. در این صورت

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = + \infty \)

بدین معنی است که میتوانیم (f(x را به دلخواه هر قدر که بخواهیم از هر عدد مثبتی بزرگتر کنیم به شرطی که را از سمت راست به اندازه ی کافی به 1 نزدیک کرده باشیم.

همچنین فرض کنیم که تابع و در یک همسایگی چپ نقطه ای مانند a تعریف شده باشد. در این صورت

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = + \infty \)‏

بدین معنی است که میتوانیم (f(x را به دلخواه هر قدر که بخواهیم از هر عدد مثبتی بزرگتر کنیم به شرطی که x را از سمت چپ به اندازه ی کافی به نزدیک کرده باشیم.

به طور مشابه میتوان حدهای یک طرفه ی \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = - \infty \)و \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = - \infty \) را تعریف ‏کرد.

تهیه کننده : جابر عامری

جزوات جامع پایه دوازدهم

جزوه جامع حسابان دوازدهم فصل 1 تابع

جزوه جامع حسابان دوازدهم فصل 2 مثلثات

جزوه جامع حسابان دوازدهم فصل 3 حدهای نامتناهی_حد در بی نهایت

جزوه جامع حسابان دوازدهم فصل 4 مشتق

جزوه جامع حسابان دوازدهم فصل 5 کاربردهای مشتق

تعریف حدهای نامتناهی

1 با توجه به نمودار تابع \(f(x) = \frac{1}{{\left[ x \right]}}\)مشاهده کردید که \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = + \infty \) و ‏ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = + \infty \)

لذا می توان گفت که با نزدیک کردن X به اندازه ی کافی به صفر از سمت راست و از سمت چپ)، مقادیر f(x) را می توان به دلخواه بزرگ کرد. بنابراین (f(x از هر عدد دلخواهی بزرگ تر می شود و در نتیجه مقدار تابع یک عدد خاصی نمی شود و حد نامتناهی است و می نویسیم ‏

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = + \infty \)

اکنون حدهای نامتناهی را به صورت زیر تعریف می کنیم. فرض کنید تابع و در همسایگی محذوف 1 تعریف شده باشد. در این صورت

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = + \infty \)

یعنی اینکه میتوانیم f(x)او را به دلخواه هر قدر که بخواهیم از هر عدد مثبتی بزرگتر کنیم به شرطی که x را از هر دو سمت راست و چپ به اندازه ی کافی به a نزدیک کرده باشیم.

همچنین فرض کنید تابع f در همسایگی محذوف a تعریف شده باشد. در این صورت

‏\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = - \infty \)

یعنی اینکه میتوانیم f(x) را به دلخواه هر قدر که بخواهیم از هر عدد منفی کوچکتر کنیم به شرطی x که تا را از هر دو سمت راست و چپ به اندازه ی کافی به a نزدیک کرده باشیم.

مروری بر حد توابع در یک نقطه

نمودار تابع fدر شکل زیر را در نظر بگیرید و به موارد زیر توجه کنید.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 5} f(x)\)موجود نیست زیرا با اینکه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 5)}^ + }} f(x) = - 1\)ولی \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 5)}^ - }} f(x)\)وجودندارد.

‏\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f(x)\) موجود نیست زیرا حد راست و چپ هر دو موجود ولی مساوی نیستند.

حد راست \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 2)}^ + }} f(x) = 0\)و حد چپ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 2)}^ - }} f(x) = 2\)‏

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)\)موجود نیست حد راست و چپ هر دو بی کران هستند.

حدراست \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = - \infty \) حد چپ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = - \infty \)

‏\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)\) موجود نیست زیرا با اینکه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f(x) = 1\)ولی \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f(x)\)وجود ندارد. ‏

‏ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x)\)تعریف نمی شود زیرا تابع در همسایگی ۲ تعریف نمی شود.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f(x)\)موجود نیست زیرا با اینکه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f(x) = 1\)ولی \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f(x)\)وجود ندارد.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f(x)\)وجود ندارد. زیرا \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} f(x) = - 2\)‏و\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} f(x) = + \infty \)

‏\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 7} f(x) = 2\) زیرا ‏ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {7^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {7^ - }} f(x) = 2\)

‏۱۰ : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 9} f(x)\)موجود نیست زیرا با اینکه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ - }} f(x) = - 2\)ولی \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ + }} f(x)\)وجود ندارد.

قضایای حدهای بی نهایت

در این قسمت چند قضیه ی مهم در مورد حدهای بی نهایت ، بدون اثبات بیان می کنیم.

قضیه ی ۱ : اگر nیک عدد طبیعی باشد، آنگاه :

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{{x^n}}} = + \infty \) (الف

در صورتی که زوج باشد. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{{{x^n}}} = + \infty \) (ب

در صورتی که فرد باشد. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{{{x^n}}} = - \infty \) (ج

مثال

با توجه به قضیه ی فوق می توان نوشت

الف \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{{x^3}}} = + \infty \)

ب \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{{{x^4}}} = + \infty \)

ج \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{{{x^3}}} = - \infty \)

قضیه ی ۲ :

الف: اگر \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = + \infty \) و \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = + \infty \) انگاه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = + \infty \) و برعکس

ب :اگر \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = - \infty \) و \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = - \infty \) انگاه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = - \infty \) و برعکس

مثال

\(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{2}{{\left| {x - 1} \right|}} = + \infty \\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{2}{{\left| {x - 1} \right|}} = + \infty \end{array} \right. \to \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{2}{{\left| {x - 1} \right|}} = + \infty \)

قضیه ی ۳: اگر \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^{}}} f(x) = L \ne 0\) و \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = 0\) انگاه

الف : اگر \(L > 0\) و مقادیر g(x)در یک همسایگی محذوف aمثبت باشد، آنگاه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = + \infty \)

ب : اگر \(L < 0\) و مقادیرg(x) در یک همسایگی محذوف aمثبت باشد. آنگاه ‏ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = - \infty \)

ج : اگر \(L > 0\) و مقادیر g(x)در یک همسایگی محذوف aمنفی باشد، آنگاه‏ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = - \infty \)

د : اگر \(L < 0\) و مقادیر g(x) در یک همسایگی محذوفa منفی باشد، آنگاه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = + \infty \)

تذکر : این قضیه برای حدهای یک طرفه نامتناهی ) یعنی در حالت های که \(x \to {a^ + }\)و \(x \to {a^ - }\)نیز برقرار است.

‏مثال

حاصل \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x + 1}}{{4 - {x^2}}}\)را به دست آورید.

چون \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} (x + 1) = + 1 = 3\)و \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} (4 - {x^2}) = 4 - 4 = 0\) پس طبق قضیه

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x + 1}}{{4 - {x^2}}} = + \infty \)

وقتی می نویسیم \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = 0\)، یعنی این که حاصل حد صفر مطلق نمی باشد. بلکه عدد بسیار بسیار نزدیک صفر میباشد که برخی آن را صفر حدی می نامند. به همین دلیل است که گفته می شود. که در حد توابع کسری وقتی صورت عددی غیر صفر و مخرج صفر حدی باشد حد بی نهایت می شود و علامت آن را با توجه به علامت صورت و مخرج تعیین میکنند. برای مثال بعضی برای محاسبه ی حد زیر به شکل زیر عمل می کنند.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x + 1}}{{4 - {x^2}}} = \frac{{2 + 1}}{{4 - {{({2^ - })}^2}}} = \frac{3}{{{0^ + }}} = + \infty \)

به نمونه زیر نیز توجه کنید.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{5}{{x - 2}} = \frac{5}{{{2^ + } - 2}} = \frac{5}{{{0^ + }}} = + \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{5}{{x - 2}} = \frac{5}{{{2^ - } - 2}} = \frac{5}{{{0^ - }}} = - \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ - 5}}{{x - 2}} = \frac{{ - 5}}{{{2^ + } - 2}} = \frac{{ - 5}}{{{0^ + }}} = - \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{ - 5}}{{x - 2}} = \frac{{ - 5}}{{{2^ - } - 2}} = \frac{{ - 5}}{{0 - }} = + \infty \)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{x - 7}}{{x - 3}} = \frac{{3 - 7}}{{{3^ + } - 3}} = \frac{{ - 4}}{{{0^ + }}} = - \infty \\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} \frac{{x - 2}}{{\left[ x \right] - 5}} = \frac{{5 - 2}}{{\left[ {{5^ + }} \right] - 5}} = \frac{3}{{5 - 5}} = \frac{3}{0}\end{array}\)

صفر حدی و صفر مطلق

برای درک مفهوم حد های نامتناهی لازم است تفاوت صفر حدی و صفر مطلق را بدانیم

صفر مطلق :هکان عدد صفر است که مبدا اعداد حقیقی است

صفر حدی : عدد بسیار کوچک مثبت و نزدیک صفر یا عدد بسیار کوچک منفی و نزدیک صفر است

1:اگر مخرج کسری صفر مطلق باشد این کسر تعریف نشده (نامعین)میباشد برای مثال کسر \(\frac{5}{0}\) نامعین است

2:اگر مخرج کسری صفر حدی باشد این کسر عدد بسیار بزرگ مثبت و یا بسیار بزرگ منفی خواهد شد مانند:

\(\frac{{ - 5}}{{{0^ - }}} = + \infty \) (د \(\frac{{ - 5}}{{{0^ + }}} = - \infty \)(ج \(\frac{5}{{{0^ - }}} = - \infty \)(ب \(\frac{5}{{{0^ + }}} = + \infty \)(الف

مثال

حاصل \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x - 1}}{{\sin x - 2}}\)را به دست أوريد.

وقتی xدر همسایگی راست صفر باشد صورت کسر برابر -1 و مخرج کسر برابر صفر است و از آنجا که در همسایگی راست صفر sinx مقداری مثبت است در نتیجه طبق قضیه خواهیم داشت.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x - 1}}{{\sin x - 2}} = - \infty \)

مثال

حاصل \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^\_}} \frac{{{x^2} + x}}{{{x^2} + 2x + 1}}\)را به دست آورید.

از آنجا که حد فوق به صورت میهم \((\frac{0}{0})\) در می آید و چون \(x \ne - 1\)پس می توان صورت و مخرج کسر را بر ۱ + x تقسیم کرد. یعنی

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^\_}} \frac{{{x^2} + x}}{{{x^2} + 2x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^\_}} \frac{{x(x + 1)}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^\_}} \frac{x}{{(x + 1)}} = + \infty \)

قضیه 4:اگر \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = L\) و \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = + \infty \) ( یا \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = - \infty \)) انگاه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = 0\)

تذکر : این قضیه برای حدهای یک طرفه نامتناهی ) یعنی در حالت های که \(x \to {a^ + }\)و \(x \to {a^ - }\)نیز برقرار است

مثال

حاصل \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{x + 1}}{{\tan x}}\)را به دست آورید

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{x + 1}}{{\tan x}}\)

‏π حل : می دانیم که تابع تانژانت در همسایگی \(\frac{\pi }{2}\)و رفتار بی کران دارد.

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{\pi }{2})}^ + }} \tan x = - \infty \\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{\pi }{2})}^ + }} (x + 1) = \frac{\pi }{2} + 1\end{array} \right. \to \mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{\pi }{2})}^ + }} \frac{{x + 1}}{{\tan x}} = 0\\\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{\pi }{2})}^ - }} \tan x = + \infty \\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{\pi }{2})}^ - }} (x + 1) = \frac{\pi }{2} + 1\end{array} \right. \to \mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{\pi }{2})}^ - }} \frac{{x + 1}}{{\tan x}} = 0\end{array}\)

لذا\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{x + 1}}{{\tan x}} = 0\)

توجه :در حالت کسری اگر صورت کسر عدد غیر صفر و مخرج کسر عدد بینهایت شود ان کسر بسیار بسیار کوچک (صفر حدی) می باشد مانند حالت های زیر :

\(\frac{-2}{{ - \infty }} = 0\)و \(\frac{-2}{{ + \infty }} = 0\) و \(\frac{2}{{ - \infty }} = 0\)و \(\frac{2}{{ + \infty }} = 0\)

قضیه ی ۵: اگر \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = + \infty \)و\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = L \ne 0\)اانگاه

‏ الف ;‏ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} (f(x) + g(x)) = + \infty \)

‏ ب: اگر\(L > 0\) آنگاه\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} (f(x) \times g(x)) = + \infty \)

‏ ج: اگر \(L < 0\) آنگاه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} (f(x) \times g(x)) = - \infty \)

تذکر : این قضیه برای حدهای یک طرفه نامتناهی یعنی در حالت های که \(x \to {a^ + }\)و \(x \to {a^ - }\) نیز برقرار است.

مثال

توابع \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{{{x^2}}}\)و \(g(x) = x + 1\) را در نظر بگیرید.

الف حاصل \(f(x) = \frac{1}{{{x^2}}}\)و \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g(x) = x + 1\)را به دست آورید.

ب حاصل \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (f(x) + g(x))\)را محاسبه کنید.

ج حاصل \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (f(x) \times g(x))\)را محاسبه کنید.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{{{x^2}}} \to \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = + \infty \) الف

\(g(x) = x + 1 \to \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g(x) = 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (f(x) + g(x)) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) + \mathop {\lim }\limits_{x0} g(x) = + \infty \) ب

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (f(x) \times g(x)) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (f(x) \times \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g(x) = + \infty \) ج

قضیه ی ۶:اگر \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = - \infty \)و \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = L \ne 0\)انگاه

‏ الف \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (f(x) + g(x)) = - \infty \)

ب: اگر L>0آنگاه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (f(x) \times g(x)) = - \infty \)‏

‏ ج: اگر L<0 آنگاه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (f(x) \times g(x)) = + \infty \)‏

تهیه کننده : جابر عامری

مجانب قائم

فرض کنید که a یک عدد حقیقی باشد، خط a= x را مجانب قائم نمودار تابع (f(x گویند، هرگاه حداقل یکی از شرایط زیر برقرار باشد.

الف) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = + \infty \)

ب) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = + \infty \)

ج) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = - \infty \)

د) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = - \infty \)

در هر یک از شکل های زیر خط a = X یک مجانب قائم متحتی داده شده است.

برای مثال خط\(x = \frac{\pi }{2}\) مجانب قائم نمودار تابع f(x) = tan x است.

اگر برد تابعی بین دو عدد حقیقی محدود باشد آن تابع دارای مجانب قائم نیست. برای مثال چون برد تابع \(f(x) = \sin x\)به صورت \(\left[ { - 1,1} \right]\) میباشد. پس این تابع هیچگاه مجانب قائم ندارد.

برای محاسبه ی مجانب قائم در توابع کسری مخرج کسر را مساوی صفر قرار میدهیم، ریشه های مخرج مجانب قائم تابع fکه هستند به شرط اینکه این ریشه ها ، صورت را صفر نکنند.

مثال

مجانب یا مجانب های قائم تابع زیر را به دست آورید.

\(f(x) = \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{{x^3} - 8}}\)

\({x^3} - 8 = 0 \to x = 2\)

لذا خط ۲ = x مجانب قائم است.

مثال

مجانب یا مجانب های قائم تابع زیر را به دست آورید.

\(f(x) = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} + 2x - 3}}\)

\({x^2} + 2x - 3 = 0 \to (x + 3)(x - 1) = 0 \to x = - 3,x = 1\)

خط -3 = x مجانب قائم است ولی خط ۱ = x مجانب قائم نیست چون ریشه ی صورت نیز می باشد و به ازای آن حد تابع بی کران نمی شود.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} + 2x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x + 2)(x - 1)}}{{(x + 3)(x - 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 2}}{{x + 3}} = \frac{3}{4}\)

مثال

مجانب های قائم تابع زیر را در صورت وجود تعیین کنید.

\(f(x) = {\log ^{x - 1}}\)

\(\begin{array}{l}f(x) = {\log ^{x - 1}}\\\\x - 1 > 0 \to x > 1 \to {D_f} = (1, + \infty )\\\\x - 1 = 0 \to x = 1\end{array}\)

تهیه کننده : جابر عامری