درسنامه کامل حسابان دوازدهم فصل 4 مشتق

اگر  y=f(x)یک تابع پیوسته در نقطه ی x = a باشد. در این صورت مشتق تابع  y=f(x)در نقطه ی a=xرا به صورت زیر تعریف میکنند و آنرا با \(f'(a)\) یا \({\left. {\frac{{df}}{{dx}}} \right|_{x = a}}\) نمایش می دهند

\(f'(a) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}}\)

مشتق تابع (y = f(x در نقطه ی x = a با شیب خط مماس بر نمودار تابع در این نقطه برابر است.

معادله ی خط مماس بر نمودار تابع (y = f(x در نقطه ی x = a از رابطه ی زیر به دست می آید.

مسئله ی یافتن خط مماس در نقطه ی A به مسئله ی یافتن شیب خط مماس در این نقطه منجر می شود.برای یافتن خط مماس بر منحنی تابع y=f(x) در نقطه ی A باید نقطه ای مانند B را روی منحنی در نزدیکی A در نظر بگیریم و با رسم خط قاطع AB، نقطه ی B را به نقطه ی A نزدیک کنیم و ببینیم که آیا این خط  هابه خط خاصی نزدیک میشوند یانه؟ واضح است که این خط همان خط مماس بر منحنی در نقطه ی Aاست. این عمل دقیقاً یک عمل حدگیری است .

\(B = \left[ \begin{array}{l}a + h\\f(a + h)\end{array} \right] \to {m_{ab}} = \frac{{f(a + h) - f(a)}}{h}\) و \(A = \left[ \begin{array}{l}a\\f(a)\end{array} \right]\)

\(m = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(a + h) - f(a)}}{h}\)شیب خط مماس در صورت وجود

اگر تابع fبر بازه ی بازی شامل aتعریف شده باشد و حد زیر موجود باشد آنگاه خطی که از نقطه \(A = \left[ \begin{array}{l}a\\f(a)\end{array} \right]\)گذشته و به شیب می باشد. خط مماس بر نمودار fدر نقطه ی A نامیده می شود.

\(m = \mathop {\lim }\limits_{h \to a} \frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}}\)

اگر تابع fدر نقطه ی a و یک همسایگی راست a تعریف شده باشد، حد یک طرفه ی \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a + } \frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}}\)را در صورت وجود مشتق راست تابع fو در نقطه ی a می نامند و آن را با \({f'_ + }(a)\) نماد (1) نمایش می دهند.

\({f'_ + }(a) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a + } \frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}}\)

اگر تابع در نقطه ی f و یک همسایگی چپ aتعریف شده باشد، حد یک طرفه ی \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} \frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}}\)را در صورت وجود مشتق چپ تابع f در نقطه ی a می نامند و آن را با نماد  \({f'_ - }(a)\)نمایش می دهند.

\({f'_ - }(a) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} \frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}}\)

تابع (y = f(x در نقطه ی x=aمشتق پذیر گویند، هرگاه

‏الف) در این نقطه پیوسته باشد \((\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = f(a))\)‏

ب( مشتق راست و مشتق چپ آن در این نقطه موجود و برابر باشند. \(({f'_ + }(a) = ({f'_ - }(a))\)

در غیر این صورت تابع در نقطه ی x=aمشتق پذیر نیست.

۱ : عکس قضیه ی فوق الزاماً برقرار نیست یعنی ممکن است یک تابع در یک نقطه پیوسته باشد ولی در آن نقطه مشتق پذیر نیست مانند تابع \(f(x) = \left| x \right|\) که در نقطه ی x=0پیوسته است ولی در این نقطه مشتق پذیر نیست.

۲ : اگر تابعی در یک نقطه پیوسته نباشد در آن نقطه مشتق پذیر نیست.

استفاده از تعریف مشتق برای محاسبه ی مشتق توابع در اکثر مواقع وقت گیر و مشکل است، لذا جهت رفع این مشکل قضایای مشتق که همگی به کمک تعریف قابل اثبات هستند به صورت زیر مطرح می شوند.

قضیه : اگر f(x)=kیک تابع ثابت باشد. ثابت کنید که‏ \(f'(a) = 0\)

اثبات :

\(f'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{k - k}}{{x - a}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{0}{{x - a}} = 0\)

قضیه : اگرf(x)=x یک تابع همانی باشد ثابت کنید که \(f'(a) = 1\)‏

اثبات :

\(f'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{x - a}}{{x - a}} = 1\)

قضیه : اگر توابع g و fدر نقطه ی a مشتق پذیر باشند. در این صورت

(۱) تابع kfنیز در aمشتق پذیر است و \((kf')(a) = kf'(a)\)

‏(2تابع f+g مشتق پذیر است و \((f + g)'(a) = f'(a) + g'(a)\)

(3تابع f-g نیز در  مشتق پذیر است و \((f - g)'(a) = f'(a) - g'(a)\)

‏( 4تابعfg نیز درa مشتق پذیر است و \((fg)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a)\)

(5تابع \(\frac{1}{f}\) نیز )به شرط (\(f(a) \ne 0\) درa مشتقپذیر است و \((\frac{1}{f})'(a) = - \frac{{f'(a)}}{{{f^2}(a)}}\)

‏تابع \(\frac{f}{g}\)  نیز به شرط \((g(a) \ne 0)\) در مشتق پذیر است و \((\frac{f}{g})'(a) = - \frac{{f'(a)g(a) - g'(a)f(a)}}{{{g^2}(a)}}\)

اثبات

\(\begin{array}{l}(1)\\(kf)'(a) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{kf(x) - kf(a)}}{{x - a}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{k(f(x) - f(a))}}{{x - a}}\\\\\mathop {k\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}} = (kf)'(a)\\\\(2)\\(f + g)'(a) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{(f + g)(x) - (f + g)(a)}}{{x - a}}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) + g(x) - f(a) - g(a)}}{{x - a}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} (\frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}} + \frac{{g(x) - g(a)}}{{x - a}})\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{g(x) - g(a)}}{{x - a}} = f'(a) + g'(a)\\\\(3)\\(f - g)'(a) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{(f - g)(x) - (f - g)(a)}}{{x - a}}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) - g(x) - f(a) + g(a)}}{{x - a}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} (\frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}} - \frac{{g(x) - g(a)}}{{x - a}})\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}} - \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{g(x) - g(a)}}{{x - a}} = f'(a) - g'(a)\\\end{array}\)

\(\begin{array}{l}(4)\\(f.g)'(a) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{(f.g)(x) - (f.g)(a)}}{{x - a}}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x).g(x) - f(a).g(a)}}{{x - a}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} (\frac{{f(x).g(a) - f(a).g(x) + f(a)g(a) - f(a).g(a)}}{{x - a}}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}} - \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}}.g(x) + f(a).\frac{{g(x) - g(a)}}{{x - a}}\\\\ = f'(a).g\left( a \right) + f(a).g'\left( a \right)\\\\\left( 5 \right)\\(\frac{1}{f})'(a) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{(\frac{1}{f})(x) - (\frac{1}{f})(a)}}{{x - a}}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\frac{1}{{f(x)}} - \frac{1}{{f(a)}}}}{{x - a}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\frac{{f(a) - f(x)}}{{f(x)f(a)}}}}{{x - a}}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{1}{{f(x)f(a)}} \times \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(a) - f(x)}}{{x - a}} = - \frac{1}{{{f^2}(a)}} \times f'(a) = - \frac{{{f^2}(a)}}{{{f^2}(a)}}\\\\\left( 6 \right)\\(\frac{f}{g})'(a) = (f \times \frac{1}{g})'\left( a \right)\\\\ = (f)'(a) \times (\frac{1}{g})\left( a \right) + f(a) \times (\frac{1}{g})'\left( a \right) = f'(a) \times \frac{1}{{g(a)}} + f(a) \times \frac{{ - g'(a)}}{{{g^2}(a)}}\\\\ = \frac{{f'(a)}}{{g(a)}} - \frac{{ - g'(a)f(a)}}{{{g^2}(a)}} = \frac{{f'(a) - g'(a)f(a)}}{{{g^2}(a)}}\end{array}\)

قضیه : فرض کنید تابع gدر نقطه ی a و تابع در g(a) مشتق پذیر باشند، در این صورت

تابع ‏fog در aمشتق پذیر است و \((fog)'(a) = g'(a)f'(g(a))\)

اثبات : قرار میدهیم u=g(x)و (b = g(a آنگاه

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} u = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = g(a) = b\)

از طرفی\(x \to a\) نتیجه می دهد \(u \to b\) . بنابراین

\(\begin{array}{l}(fog)'(a) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{(fog)(x) - (fog)(a)}}{{x - a}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{(f(g)x)) - (f(g(a))}}{{x - a}} = \\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(u) - f(b)}}{{x - a}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to b} \frac{{f(u) - f(b)}}{{x - b}} \times \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{u - b}}{{x - a}}\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to b} \frac{{f(u) - f(b)}}{{u - b}} \times \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{g(x) - g(a)}}{{x - a}} = f'(b)g'(a) = f'(g(a)g'(a)\end{array}\)

اگر xعضو از دامنه ی تابع (y = f(x باشد و تابعf درx مشتق پذیر باشد. در این صورت متناظر آن تابع دیگری تحت عنوان تابع مشتق ( مشتق اول ) به صورت زیر تعریف می شود.

\(f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h}\)

‏ تابع مشتق را به اختصار مشتق تابع مینامیم و آن را به صورت \(f'(x)\) یا \(y'\) یا \(\frac{{df}}{{dx}}\) کل نمایش می دهیم.

دامنه ی تابع مشتق زیر مجموعه ای از دامنه ی تابع fاست که در آن تابع مشتق پذیر باشد. یعنی

\({D'_f} = {D_f} - \left\{ f \right\}\)

fنقاط مشتق ناپذیر تابع

اگر uو vو w توابعی مشتق پذیر برحسبx باشند در این صورت میتوان قضایای زیر را برای مشتق بیان و اثبات کرد.

قضیه ی ۱ : ضریب تابع در مشتق گیری شرکت نمی کند. یعنی مشتق تابع y = an می شود \(y' = au'\) 

اثبات :

\(\begin{array}{l}y' = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{au(x + h) - au(x)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(u(x + h) - u(x))}}{h}\\\\a\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{u(x + h) - u(x)}}{h} = au'\end{array}\)

قضیه ی ۲ مشتق مجموع یا تفاضل دو یا چند تابع

‏\(y = u + v + w + ... \to y' = u' + v' + w' + ...\)

اثبات : اثبات برای مجموع دو تابع یعنی (f(x) =u (x) + v(x‏

\(\begin{array}{l}f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{(u + v)\left( {x + h} \right) - \left( {u + v} \right)\left( x \right)}}{h}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{}}{h}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{u(x + h) + v\left( {x + h} \right) - u\left( x \right) - v(x)}}{h}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{u(x + h) - u\left( x \right)}}{h} + \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{v\left( {x + h} \right) - v(x)}}{h}\\\\u'(x) + v'(x)\end{array}\)

قضیه ی ۳ : مشتق حاصل ضرب دو یا چند تابع

\(\begin{array}{l}y = u.v \to y' = u'.v + v'.u\\\\y = u.v.w \to y' = u'.vw + v'.u.w + w'.u.v\end{array}\)

اثبات :

\(\begin{array}{l}f(x) = u(x).v(x)\\\\f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{(u.v)\left( {x + h} \right) - \left( {u.v} \right)\left( x \right)}}{h}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{u(x + h).v\left( {x + h} \right) - u\left( x \right).v(x)}}{h}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{u(x + h).v\left( {x + h} \right) - u(x).v(x) + v(x).u(x + h) - v(x).u(x + h)}}{h}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{u(x).v\left( {x + h} \right) - u(x).v(x) + u(x + h).v(x + h) - v(x).u(x + h)}}{h}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\left[ {u(x) - u(x)} \right]v(x) + \left[ {v(x + h) - v(x)} \right]u(x + h)}}{h}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{u(x + h) - u(x)}}{h}.v(x) + \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{v(x + h) - v(x)}}{h}.u(x + h)\\\\u'(x).v(x) + v'(x).u(x)\end{array}\)

توجه: اگرu تابعی بر حسبx باشد در این صورت مشتق تابع \(y = a{u^n}\) را میتوان به شکل زیر نوشت

\(y' = a.n.u'.{u^{n - 1}}\)

اثبات :

\(\begin{array}{l}y = a.{u^n} \to y = \underbrace {a \times u \times u \times ... \times u}_n\\\\y' = \underbrace {\underbrace {(a \times u' \times u \times ... \times u)}_{n - 1} + (a \times u \times u' \times u \times ... \times u) + (a \times \times u \times ... \times u')}_n\\\\ = a.u.u'.{u^{n - 1}}\end{array}\)

قضیه ی ۴ : مشتق تابع کسری

\(y = \frac{1}{v} \to y' = - \frac{{v'}}{{{v^2}}}\)

اثبات :

\(\begin{array}{l}f(x) = \frac{1}{{v(x)}}\\\\f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{y = \frac{1}{{v(x + h)}} - \frac{1}{{v(x)}}}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{y = \frac{{v(x) - v(x + h)}}{{v(x + h)v(x)}}}}{h}\\\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{ - \frac{{v(x) - v(x + h)}}{h}}}{{v(x + h)v(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{v(x) - v(x + h)}}{h} \times \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{ - 1}}{{v(x + h)v(x)}}\\\\ = - v'(x) \times \frac{1}{{{v^2}(x)}} = - \frac{{v'(x)}}{{{v^2}(x)}}\end{array}\)

قضیه ی ۵ : مشتق خارج قسمت دو تابع

\(y = \frac{u}{v} \to y' = - \frac{{u.v' - v'.u}}{{{v^2}}}\)

اثبات :

\(\begin{array}{l}f(x) = \frac{{u(x)}}{{v(x)}}\\\\f(x) = \frac{{u(x)}}{{v(x)}} = u(x) \times \frac{1}{{v(x)}} \to f'(x) = u'(x) \times \frac{1}{{v(x)}} + u(x) \times \frac{{ - v'(x)}}{{{v^2}(x)}}\\\\ = \frac{{u'(x)v(x) - v'(x)u(x)}}{{{v^2}(x)}}\end{array}\)

اکنون میتوان مشتق توابع تانژانت و کتانژانت را از طریق تبدیل آنها به تابع کسری نیز به سادگی اثبات کرد.

\(\begin{array}{l}y = {\mathop{\rm tanx}\nolimits} \to y = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\\\\y' = \frac{{(\cos x)(\cos x) - \left( {\sin x} \right)\left( {\sin x} \right)}}{{{{(\cos x)}^2}}} = \frac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x\\\\y = \cot x \to y = \frac{{\cos x}}{{\sin x}}\\\\y' = \frac{{\left( { - \sin x} \right)\left( {\sin x} \right) - (\cos x)(\cos x)}}{{{{(\cos x)}^2}}} = \frac{{ - {{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}\\\\ = - \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = - (1 + {\cot ^2}x)\end{array}\)

قضیه ی ۶ مشتق تابع رادیکالی با فرجه ی ۲

\(y = \sqrt x \to y' = - \frac{{u'}}{{2\sqrt v }}\)

اثبات :

\(\begin{array}{l}f(x) = \sqrt {u(x)} \\\\f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sqrt {u(x + h)} - \sqrt {u(x)} }}{h}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} (\frac{{\sqrt {u(x + h)} - \sqrt {u(x)} }}{h} \times \frac{{\sqrt {u(x + h)} + \sqrt {u(x)} }}{{\sqrt {u(x + h)} + \sqrt {u(x)} }})\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} (\frac{{u(x + h) - u(x)}}{h} \times \frac{1}{{u(x + h) - u(x)}})\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} (\frac{{u(x + h) - u(x)}}{h} \times \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{{\sqrt {u(x + h) + \sqrt {u(x)} } }}) = u'(x) \times \frac{1}{{2\sqrt {u(x} )}}\end{array}\)

قضیه ی ۷ مشتق تابع رادیکالی با فرجه ی بالاتر از ۲

\(y{ = ^m}\sqrt {{u^n}} ,m > n \to y' = \frac{{nu'}}{{{m^m}\sqrt {{u^{m - n}}} }}\)

قضیه ی ۸ مشتق تابع تابع ( تابع مرکب )

\(y = f(u) \to y' = u'f(u)\)

اثبات : قرار می دهیم u=g(x)‏

\(\begin{array}{l}(fog)'\\x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{(fog)(x + h) - (fog)(x + h)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{(f(g(x + h)) - (f(g(x))}}{h}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} (\frac{{(f(g(x + h)) - (f(g(x))}}{h} \times \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{g(x + h) - g(x)}}{h} = f'(g(x)) \times g'(x)\\\\ = f'(u) \times u'\end{array}\)

نتیجه ی ۱ : اگرu تابعی مشتق پذیر بر حسبx باشد. در این صورت

\(y = a.{u^n} \to y' = a.n.u'.{u^{n - 1}}\)

اثبات قرار می دهیم \(f(x) = a.{x^n}\)و \(g(x) = u\) در این صورت \(f'(x) = a.n.{x^{n - 1}}\)از طرفی :

نتیجه ی ۲ قاعده ی زنجیری : اگر yتابعی ازu و uتابعی از X باشد آنگاه مشتق yنسبت به X‏برابر است با حاصل ضرب مشتق yنسبت بهu در مشتق uنسبت به X یعنی

\(y = f(u) \to y' = u'f'(u)\)

یا به نمادی دیگر

\(\frac{{\partial y}}{{\partial x}} = \frac{{\partial y}}{{\partial x}} \times \frac{{\partial x}}{{\partial x}}\)

قضیه ی ۹ : مشتق توابع مثلثاتی

\(\begin{array}{l}y = \sin u \to y' = u'.cosu\\\\y = \cos u \to y' = - u'.\sin u\\\\y = \tan u \to y' = u'.(1 + {\tan ^2}u)\\\\y = \cot u \to y' = u'.(1 + {\cot ^2}u)\end{array}\)

در این قسمت فقط به اثبات یک مورد اکتفا می شود.

\(\begin{array}{l}f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin u(x + h) - sinu(x)}}{h}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\frac{{2\sin (x + h) - u(x + h) - u(x)}}{2}\cos \frac{{u(x + h) - u(x)}}{2}}}{h}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} (\frac{{\frac{{u(x + h) - u(x)}}{2}}}{{\frac{{u(x + h) - u(x)}}{2}}} \times \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{u(x + h) - u(x)}}{h} \times \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \cos \frac{{u(x + h) - u(x)}}{h}\\\\ = 1 \times u'(x) \times \cos \frac{{u(x + 0) - u(x)}}{2} = u'(x) \times \cos (x)\end{array}\)

استفاده از تعریف تابع مشتق برای تعیین مشتق یک تابع، قدری طولانی و گاهی مشکل است. لذا در ادامه برخی از فرمولهای مشتق گیری از توابع را برای سهولت کار مشتق گیری مجدداً بیان می کنیم.

(الف) فرمول های مقدماتی مشتق

مشتق تابع ثابت

\(f(x) = c \to f'(x) = 0\)

یعنی مشتق هر تابع ثابت عدد ثابت برابر صفر است.

مشتق تابع یک جمله ای درجه ی اول

\(2)f(x) = ax \to f'(x) = a\)

یعنی مشتق هر تابع یک جمله ای درجه ی اول برابر ضریب x است.

مشتق تابع یک جمله ای

\(3)f(x) = a{x^n} \to f'(x) = a{x^{n - 1}}\)

مشتق تابع کسری

\(f(x) = \frac{1}{x} \to f'(x) = - \frac{1}{{{x^2}}}\)

مشتق تابع رادیکالی

\(\begin{array}{l}5)f(x) = \sqrt x \to f'(x) = - \frac{1}{{2\sqrt x }}\\\\6)f(x){ = ^m}\sqrt {{x^n}} \to f'(x) = - \frac{n}{{{m^m}\sqrt {{x^{m - n}}} }}\end{array}\)

مشتق توابع مثلثاتی

\(\begin{array}{l}7)f(x) = \sin u \to f'(x) = cosu\\\\8)f(x) = {\mathop{\rm cosx}\nolimits} \to f'(x) = - {\mathop{\rm sinx}\nolimits} \\\\9)f(x) = {\mathop{\rm tanx}\nolimits} \to f'(x) = 1 + {\tan ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\\\10)f(x) = {\mathop{\rm cotx}\nolimits} \to f'(x) = - (1 + {\cot ^2}x) = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\end{array}\)

ب (فرمولهای تکمیلی مشتق روش های مشتقگیری

اگر u و vو w توابعی مشتق پذیر بر حسب xباشند در این صورت میتوان فرمول های زیر را برای مشتق بیان کرد.

مشتق حاصل ضرب یک عدد در یک تابع

\(1)y = au \to y' = a'u'\)

یعنی مشتق حاصل ضرب یک عدد در یک تابع با حاصل ضرب آن عدد در مشتق تابع برابر است.

مشتق مجموع دو یا چند تابع

\(\begin{array}{l}2)y = u + v \to y' = u' + v'\\\\3)y = u + v + w + ... \to y' = u' + v' + w' + ...\end{array}\)

مشتق مجموع دو یا چند تابع با مجموع مشتقهای هر یک از آنها برابر است.

مشتق حاصل ضرب دو یا چند تابع

\(\begin{array}{l}4)y = u.v \to y' = u'.v' + v'.u'\\\\5)y = u.v.w \to y' = u'.v'.w'\end{array}\)

مشتق تابع توان دار

‏\(6)y = a.{u^n} \to y' = a.n.u'.{u^{n - 1}}\)

مشتق خارج قسمت دو تابع

‏\(7)y = \frac{u}{v} \to y' = \frac{{u'.v - v'.u}}{{{v^2}}}\)

مشتق توابع رادیکالی

\(9)y = \sqrt u \to y' = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\)

مشتق توابع مثلثاتی

\(\begin{array}{l}15)y = \sin u \to y' = u'.\cos u\\\\16)y = \cos u \to y' = - u'.\cos u\\\\17)u = \tan u \to y' = u'(1 + {\tan ^2}u) = \frac{{u'}}{{{{\cos }^2}u}}\\\\18)u = \cot u \to y' = - u'(1 + {\cot ^2}u) = \frac{{ - u'}}{{{{\sin }^2}u}}\end{array}\)

با توجه به آنچه که در مورد مشتق توابع تواندار گفته شد میتوان مشتق توابع مثلثاتی تواندار را به شکل زیربدست آورد.

کم کردن یک واحد از توان مشتق نسبت مثلثاتی مشتق زاویه) (توان) (ضریب تابع) =

برای بررسی مشتق پذیری تابع در یک بازه میتوان از تعاریف زیر استفاده نمود.

تابعf را روی بازه ی \(\left( {a,b} \right)\)مشتق پذیر گویند هرگاه در هر نقطه از این بازه مشتق پذیر باشد.

تابعf را روی بازه ی \(\left[ {a,b} \right]\) مشتق پذیر گویند هرگاه در بازه ی\(\left( {a,b} \right)\)  مشتق پذیر بوده و در نقطه ی آن aمشتق راست و در نقطه یb مشتق چپ داشته باشد.

تابع fرا روی بازه ی \(\left[ {\left. {a,b} \right)} \right.\) مشتق پذیر گویند هرگاه در بازه ی \(\left( {a,b} \right)\) مشتق پذیر بوده و در نقطه ی آن a مشتق راست داشته باشد.

تابعf را روی بازه ی \(\left( {a,b} \right]\) مشتق پذیر گویند هرگاه در بازه ی \(\left( {a,b} \right)\) مشتق پذیر بوده و در نقطه ی b‏ مشتق چپ داشته باشد.

تابع مشتق هر تابعی را مشتق مرتبه ی اول می نامند. حال اگر از مشتق تابعی مشتق دیگری گرفته شود. مشتق مرتبه ی دوم بدست می آید و اگر از مشتق مرتبه ی دوم مشتق دیگری بگیریم، مشتق مرتبه ی سوم حاصل میشود به همین ترتیب میتوان مشتق مراتب بالاتر را تعیین کرد به جدول زیر توجه کنید.

ضمیمه

الف:فرمول های مقدماتی

ب:فرمول های تکمیلی (روش های مشتق گیری )

فرض کنید که uوvو...توابعی بر حسب متغیر xباشند .دراین صورت میتوان فرمول های زیر را نیز بیان کرد.

در درس فیزیک با مفهوم سرعت متوسط و سرعت لحظه ای آشنا شده اید. فرض کنید برای سفر به بیرون شهر آماده میشوید ابتدا در شهر و در ترافیک مدتی گرفتار میشوید بعد به بزرگراه می رسید. سرعت سنج اتومبیل که ابتدا سرعتهای بین ۵۰ و ۳۰ کیلومتر بر ساعت را نشان میداد حالا سرعت ۹۰ کیلومتر بر ساعت را نشان می دهد.

در جاده در محلی توقف میکنید و نهار میخورید و بعد دوباره حرکت میکنید و در جاده با سرعت ۶۰ کیلومتر بر ساعت مسیر را می پیمایید ولی مسافرت در این مسیر ۳۰۰ کیلومتری حدود ۶ ساعت زمان برد.

یعنی به طور متوسط ۵۰ کیلومتر در ساعت سرعت داشته اید و اگر بدون هیچ ترافیک و یا توقفی حرکت می کردید مسیر ۳۰۰ کیلومتری را در ۶ ساعت طی می کردید در فیزیک این سرعت را سرعت متوسط می نامند و آن را خارج قسمت مسافت طی شده بر مدت زمان تعریف میکنند به عبارتی دیگر سرعت متوسط سرعتی است که اتومبیل میتوانست مسیر ۳۰۰ کیلومتری را با سرعت ثابت در مدت زمان معین ۶ ساعت بپیماید.

توجه داشته باشید که سرعت اتومبیل در این مثال در هر لحظه متفاوت است. سرعت متحرک در هر لحظه از زمان را سرعت لحظه ای میگویند. برای مثال سرعت اتومبیل در جایی ۵ و در جایی ۳۰ و در جای دیگری ۹۰ کیلومتر بر ساعت است اگر سرعت اتومبیل در ساعت سوم برابر ۳۰ کیلومتر در ساعت باشد. گویند سرعت لحظه ای اتومبیل در این ساعت ۳۰ کیلومتر در ساعت میباشد. سرعت لحظه ای نشان می دهد سرعت اتومبیل در هر لحظه از حرکت چقدر بوده است.

اگر d مسافت طی شده در زمان 1 باشد. سرعت متوسط روی یک بازه ی زمانی [۲۲] را به صورت زیر تعریف می کنند.

\(v = \frac{{{d_2} - {d_1}}}{{{t_2} - {t_1}}}\)

یعنی اگر نمودار مکان - زمان در مورد حرکت اتومبیل را داشته باشیم سرعت متوسط بین هر دو لحظه ی دلخواه برابر شیب خطی است که نمودار مکان زمان را در آن دو لحظه قطع می کند.

سرعت لحظه ای متحرک در حرکت یک بعدی در هر لحظه برابر با شیب نمودار مکان زمان و یا به صورت مشتق معادله نسبت به زمان می سنجیم. برای مثال سرعت لحظه ای اتومبیل در لحظه ی t =a به صورت زیر تعریف می شود.

\(v = \mathop {\lim }\limits_{t \to a} \frac{{d(t) - d(a)}}{{t\_a}} = d'(a)\)

مطابق آنچه که در درس فیزیک آموخته اید سرعت متوسط روی یک بازه ی زمانی خیلی کوچک به سرعت لحظه ای نزدیک است. یعنی :

\(v = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{d(t + h) - d(t)}}{h} = d'(t)\)

آهنگ متوسط تغییرات تابع fکه نسبت به تغییراتx. وقتیx از x = a تا x = b تغییر کند. برابر است با :

\(\frac{{\Delta y}}{{\Delta t}} = \frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}}\)

تذکر : اگر قرار دهیم \(\Delta x = h = b - a\) در این صورت \(b = a + h\) یعنی اگر مقدار کمیت a را به اندازه ی hواحد تغییر دهیم. خواهیم داشت.

\(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta t}} = \frac{{f(a + h) - f(a)}}{h}\)

ب : آهنگ تغییرات آنی ( لحظه ای(

حد آهنگ تغییرات متوسط تابعf که نسبت به تغییرات x وقتی تغییر X خیلی ناچیز \((h \to 0)\) باشد، را آهنگ لحظه ای یا به اختصار آهنگ تغییر کمیت (y = f(x به کمیت xدرa می گویند.

\(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta t}} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(a + h) - f(a)}}{h}\)

تذکر: با توجه به تعریف مشتق تابع در یک نقطه واضح است که

\(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta t}} = f'(a)\)