درسنامه کامل ریاضی ششم فصل 6 تناسب و درصد

نسبت مقایسه ی بین دو چیز مختلف است. برای مثال اگر نسبت نیمکتها به دانش آموزان در یک کلاس ۱ به ۲ باشد یعنی روی یک نیمکت ۲ نفر مینشینند این نسبت را به صورت زیر در جدول قرار می دهیم و به صورت های «۱ به ۲» یا «۱ و ۲» یا «۲ : ۱» یا \(\frac{1}{2}\)نمایش می دهیم.

گاهی نسبت های بین چند مقدار به طور واضح بیان نمیشود که در این صورت باید نسبت بین عامل مشترک آن ها را یکسان کنیم تا بتوانیم نسبت هر یک از عامل های داده شده را تشخیص دهیم.

دو نسبت مساوی یک تناسب را تشکیل میدهند حاصل تناسب یعنی یافتن مقدار مجهول در دو نسبت مساوی؛ یعنی اگر یکی از عددها در تناسب مشخص نباشد، مقدار آن را بیابیم.

تناسب را به صورت دو کسر مساوی نیز نشان می دهند.

برای مثال جدول تناسب فوق را به صورت \(\frac{3}{4} = \frac{9}{{12}}\)   نیز نشان می دهند.

تسهیم به نسبت یعنی تقسیم کردن به نسبت سهم هر چیزی یا هر کسی از کل سهم. برای مثال وقتی که می گوییم می خواهیم ۵۰ تومان را نسبت ۲ به ۳ بین علی و رضا تقسیم کنیم یعنی می خواهیم این پول را طوری تقسیم کنیم که از ۵ قسمت کل ،پول ۲ قسمت به علی و ۳ قسمت به رضا برسد. این طوری:

اگر بخواهیم در ریاضیات رابطه ی بین دو چیز یا دو عدد را نشان دهیم از نسبت استفاده . می کنیم به طور مثال هر موتورسیکلت دارای دو چرخ است بنابراین دو موتورسیکلت دارای چهار چرخ است و سه موتورسیکلت دارای شش چرخ می باشند به این ترتیب میتوان گفت که نسبت تعداد موتورسیکلت ها به تعداد چرخ ها ۱ به ۲ است که این نسبت را به صورت کسر با - و به صورت اعشاری با ۰/۵ هم نمایش می دهند. البته در بعضی از کتاب ها نسبت ۱ به ۲ را به صورت های (۱و۲) و همچنین (۲و ۱) هم نمایش میدهند. دقت داشته باشید که نسبت را به کسری نخوانید بلکه آن را به صورت (۱ به ۲) و یا (۱ و ۲) بخوانید.

هرگاه دو نسبت با هم مساوی باشند میگوییم که این دو نسبت با هم دیگر متناسب هستند. به طور مثال با توجه به جدول زیر نسبت طول ضلع هر مربع به محیط آن\(\frac{1}{4}\)است و با کم تر یا بیش تر شدن ضلع مربع، محیط هم به همان نسبت تغییر میکند یعنی اگر طول ضلع را دو برابر کنیم محیط هم دو برابر می شود و یا اگر محیط را ۲۰ برابر کنیم طول ضلع هم ۲۰ برابر میشود پس محیط مربع با طول ضلع آن متناسب است و یا به عبارت دیگر طول ضلع مربع با محیط آن تناسب دارد به این جدول که تناسب را نشان می دهد جدول تناسب می گوییم.

در حل برخی مسائل می توانیم از جدول تناسب استفاده کنیم و جواب مسئله را به دست آوریم.

اگر مانند مثال قبل نتوانیم چند برابر شدن عددها را تشخیص دهیم بهتر است که از روش زیر که به روش طرفين وسطین معروف میباشد کمک بگیریم در جدول مقابل به عددهای ۷ و ۷۷، طرفین و به ۱۱ و هم وسطین گفته . شود. در هر جدول تناسب همواره حاصل ضرب طرفین با حاصل ضرب وسطین برابر است. می بنابراین برای پیدا کردن عدد داخل کافی است که حاصل ضرب طرفین را بر عدد ۱۱ تقسیم کنیم:

تسهیم به نسبت یعنی سهیم بودن در نسبت به عبارت دیگر تسهیم به نسبت یعنی مشخص کردن سهم هر چیزی به نسبت معین از کل سهم ها به طور مثال در یک کلاس نسبت دانش آموزانی که به فوتبال علاقه مند هستند به دانش آموزانی که به والیبال علاقه مندند \(\frac{5}{3}\)است پس نسبت دانش آموزانی که به فوتبال علاقه مندند به کل دانش آموزان \(\frac{5}{{5 + 3}} = \frac{5}{8}\)  است. همچنین نسبت دانش آموزانی که به والیبال علاقه مندند به کل دانش آموزان \(\frac{3}{{5 + 3}} = \frac{3}{8}\)  است. البته به شرط این که این نسبت مربوط به کل دانش آموزان باشد و هر دانش آموز حتما به یکی از این دو ورزش علاقه مند باشد.

برای مقایسه چند نسبت ابتدا هر نسبت را به صورت یک کسر می نویسیم و سپس آن ها را مانند مقایسه ی کسرها، از روش مخرج مشترک گیری و یا روشهای دیگر مقایسه می کنیم.

نسبت یا کسری که مخرج آن ۱۰۰ باشد، نشان دهنده ی درصد است. برای مثال، کسری \(\frac{{57}}{{100}}\)  را به صورت% ۵۷ نشان میدهیم و میخوانیم: پنجاه و هفت درصد

وقتی که میگوییم شیر با چربی ۴% یعنی در هر ۱۰۰ گرم از این شیر ۴ گرم چربی است یا در ۱۰۰ کیلوگرم از این شیر، ۴ کیلوگرم چربی است.

اگر بخواهیم کسری را به صورت درصد بنویسیم باید کسری مساوی با آن و با مخرج ۱۰۰ پیدا کنیم.

\(\frac{3}{5},\frac{1}{4},\frac{{14}}{{25}}\)  

اگر بخواهیم کسری را به صورت درصد بنویسیم اما نتوانیم مخرج آن را به سادگی با ضرب کردن در یک عدد به ۱۰۰ تبدیل کنیم ابتدا صورت کسر را بر مخرجش تقسیم کرده و به صورت عدد اعشاری و سپس به شکل درصد می نویسیم.

کسرها یا عددهای بزرگ تر از واحد را نیز میتوان به صورت درصد نوشت به مثال های زیر دقت کنید.

دقت کنید: ۵/۷۶یعنی ۵۷۶%، ۲/۳ یعنی ۲/۳۰ یعنی ۲۳۰%.

دقت کنید:

 دو برابر یعنی %۲۰۰,  سه برابر یعنی %۳۰۰ ، هفت برابر یعنی ٪۷۰۰.

کل هر چیزی را ٪۱۰۰. در نظر میگیریم یعنی وقتی می گوییم کل دانش آموزان یک کلاس به اردو می روند، یعنی ۱۰۰% دانش آموزان یک کلاس به اردو میروند یا وقتی میگوییم مبلغ کالایی ۷۰۰۰ تومان است، یعنی ۱۰۰٪ مبلغ کالا ۷۰۰۰ تومان است.

نسبتی که مخرج آن عدد ۱۰۰ باشد درصد نامیده می.شود به طور مثال اگر در نوعی گز (سوغاتی اصفهان) ۳۵ گرم از هر ۱۰۰ گرم پسته باشد در اصطلاح به آن گز ۳۵ درصد و یا ٪۳۵ گفته می شود.

از درصد برای درک بهتر از نسبت ها و یا کسرها استفاده میکنیم به این ترتیب که آن نسبت و یا کسر را به صورت کسری با مخرج ۱۰۰ تبدیل میکنیم و سپس آن را به صورت درصد مینویسیم. به طور مثال کسر\(\frac{3}{{30}}\) را می توان به صورت\(\frac{{3 \times 5}}{{20 \times 5}} = \frac{{15}}{{100}}\) یعنی ۱۵% نشان دهیم. بنابراین برای تبدیل و نمایش هر عدد کسری به شکل درصد کافی است که کسری مساوی با آن کسر با مخرج ۱۰۰ پیدا کنیم. حال اگر در یک کسر نتوانیم کسر مساوی با مخرج ۱۰۰ پیدا کنیم. حال اگر در یک کسر نتوانیم کسر مساوی با مخرج ۱۰۰ پیدا کنیم است که تقسیم صورت بر مخرج کسر را تا دو رقم اعشار حساب کنیم و درصد آن عدد را به صورت تقریبی به دست بیاوریم. مثلا در کسر\(\frac{5}{7}\):

\(\frac{5}{7} = 5 \div 7 \to 0/714285714 \simeq 0/71 = \frac{{71}}{{100}} = 71\% \)  

برای نمایش هر درصدی روی یک شکل ابتدا درصد را به شکل کسری نوشته و آن را تا جای ممکن ساده می کنیم به این ترتیب به کسری میرسیم که با نمایش آن روی شکل داده شده درصد آن نیز مشخص می شود. به طور مثال اگر بخواهیم ۳۵ درصد یک مستطیل را نشان دهیم ابتدا ۳۵% را به صورت\(\frac{{35}}{{100}}\) می نویسیم و آن را ساده می کنیم تا به کسر\(\frac{7}{{20}}\) برسیم حالا این کسر را روی یک مستطیل نشان می دهیم.

برای حل مسئله های درصد میتوانیم از جدول تناسب استفاده کنیم به مثالهای زیر دقت کنید.

در محاسبات مالی همیشه درصد قیمت اصلی کالا یا قیمت اولیه ۱۰۰% در نظر گرفته می شود درصد مالیات و درصد سود همیشه به درصد قیمت اصلی کالا اضافه میشوند و قیمت کالا را افزایش می دهند.

منظور از تخفیف روی یک کالا این است که مبلغی از کل قیمت کالا را پرداخت نکنیم به طور مثال اگر قیمت کالایی ۵۰۰۰ تومان باشد و آن را با ۱۵% تخفیف خریداری کنیم آن گاه باید مبلغ ۴۲۵۰ تومان را جهت خرید این کالا پرداخت کنیم به روشهای زیر برای محاسبه ی این مبلغ دقت کنید.

روش اول

با استفاده از جدول تناسب ۱۵ قیمت کالا را حساب کنیم و عدد حاصل را از قیمت اصلی کم کنیم.

روش دوم

 ۱۵% از ۱۰۰% را تخفیف میگیریم پس %۸۵ = %۱۵ – ۱۰۰% از قیمت این کالا را پرداخت می کنیم از طرفی ۸۵% همان ۰/۸۵ است، بنابراین:

در بعضی از مسئله ها مقدار تخفیف و مبلغ پرداختی مشخص است و میخواهند قیمت اولیه را مشخص کنیم. به مثال زیر دقت کنید.

در بعضی از مسئله ها قیمت اولیه و مبلغ پرداختی مشخص است و میخواهند تا مقدار تخفیف را مشخص کنیم به مثال زیر دقت کنید.

منظور از سود در فروش یک کالا این است که مبلغی بیش تر از قیمت خریداری شده توسط خودمان دریافت کنیم. به طور مثال اگر کالایی را به قیمت ۵۰۰۰ تومان خریداری کنیم و بخواهیم آن را با ۱۵ درصد سود بفروشیم آن گاه باید قیمت این کالا را ۵۷۵۰ تومان اعلام کنیم به روشهای زیر برای محاسبه ی مقدار سود دقت کنید.

روش اول

باید ۱۵ درصد به قیمت کل (یعنی ۱۰۰ درصد) اضافه کنیم بنابراین باید ۱۱۵ = ۱۵ + ۱۰۰ درصد قیمت کالا را دریافت کنیم.

البته می توانیم قیمت فروش کالا را با جمع مقدار سود و مبلغ خریداری شده هم مشخص کنیم:

۵۰۰۰ + ۷۵۰ = ۵۷۵۰

روش دوم

۱۵٪ سود روی %۱۰۰ قیمت خریداری شده توسط خودمان گرفته ایم پس باید ٪۱۱۵ = ٪۱۵ + ٪۱۰۰ یا همان ۱/۱۵ قیمت خریداری شده را دریافت کنیم، بنابراین:

در بعضی از مسئله ها مقدار سود و مبلغ فروش مشخص است و میخواهند مبلغ خرید کالا را مشخص کنیم. به مثال زیر دقت کنید.

در بعضی از مسئله ها قیمت خرید و قیمت فروش کالا را اعلام میکنند و میخواهند تا درصد سود را مشخص کنیم. به مثال زیر دقت کنید.

در کشور عزیزمان به بیشتر کالاها و خدماتی که ارائه میشود مالیات بر ارزش افزوده تعلق می گیرد. در واقع مالیات پولی است که باید به قیمت کالا اضافه شود و از مشتریان دریافت گردد و فروشنده باید این مبلغ اضافه را به خزانه ی دولت واریز نماید و حق ندارد آن را برای خودش بردارد به طور مثال اگر قیمت کالایی ۱۵۰۰۰ تومان باشد و به این کالا %۹ مالیات بر ارزش افزوده تعلق بگیرد باید مبلغ ۱۶۳۵۰ تومان به فروشنده پرداخت کنیم مسئله های مالیات را همانند مسئله های سود حل میکنیم به روش های محاسبه ی مقدار مالیات و مبلغ پرداختی در مثال بالا دقت کنید.

روش اول

روش دوم

 %۹ مقدار مالیات بر ارزش افزوده این کالا است پس فروشنده باید 100%+9%=109% یا همان\(\frac{{109}}{{100}}\) قیمت کالا را دریافت کند بنابراین:

.\( = 15000 \times \frac{{109}}{{100}} = 16350\)  مبلغ پرداختی توسط مشتری

یک دایره کامل زاویه ۳۶۰ درجه را نشان می دهد.

فرض کنید که در یک نظرسنجی از دوستان خود میزان علاقه مندی آنها به انواع برندهای معروف اتومبیل را پرسیده اید و اطلاعات به دست آمده را در جدول زیر وارد کرده اید.

همان طور که ملاحظه میکنید، در مجموع از ۲۰ نفر نظرسنجی شده است. حال اگر نسبت هر یک از عددها به ۲۰ را حساب کنیم و سپس در عدد ۱۰۰ ضرب کنیم درصد علاقه مندی به هر برند مشخص می شود.

\(\frac{6}{{100}} \times 100 = 30\,\,\,\,,\,\,\,\,\frac{5}{{20}} \times 100 = 25\% \,\,\,\,,\,\,\,\,\frac{2}{{20}} \times 100 = 10\% \,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\frac{3}{{20}} \times 100 = 15\% \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{4}{{20}} \times 100 = 20\% \)

حالا مانند شکل مقابل یک دایره را به ۱۰۰ قسمت مساوی تقسیم می کنیم.

هر قسمت نشان دهنده ی یک درصد است سپس درصد مربوط به هر کدام از اتومبیل ها را روی شکل مشخص می کنیم همان طور که ملاحظه میکنید تقسیم یک دایره به ۱۰۰ قسمت مساوی کمی سخت و دشوار است و شاید قسمتها به طور دقیق تقسیم نشوند لذا بهتر است روش دیگری را برای رسم چنین نموداری یاد بگیریم در این روش کافی است که زاویه ی مربوط به هر یک از درصدهای بالا را با استفاده از جدول تناسب زیر مشخص کنیم. دقت داشته باشید که یک دایره ی کامل یک زاویه ی ۳۶۰ درجه را نشان می دهد از طرفی دایره ی بالا را به ۱۰۰ قسمت مساوی تقسیم کردیم. پس حالا با استفاده از این جدول تناسب زاویه ها را مشخص می کنیم:

اکنون یک دایره رسم کرده و مرکز آن را مشخص میکنیم سپس با کمک یک نقاله و قرار دادن مرکز نقاله روی مرکز دایره زاویه ی مربوط به هر قسمت را مشخص میکنیم تا شکل موردنظر به دست آید.

وقتی یک سکه را میاندازیم یا روی سکه بالا قرار میگیرد و یا پشت آن اما انتظار داریم تقریبا در نصف (یعنی ۵۰ درصد) پرتاب ها رو و در نصف ۵۰ (درصد دیگر پرتاب ها هم پشت سکه بیابید که در اصطلاح می گوییم احتمال رو آمدن و پشت آمدن سکه ۵۰ - ۵۰ است.

وقتی که یک تاس را می اندازیم حتما یکی از عددهای ۱ ۲ ۳ ۴ ۵ و یا ۶ در روی تاس ظاهر می شوند. پس در پرتاب ۳۰ مرتبه یک تاس انتظار داریم هر کدام از وجه ها (عددهای ۱ تا ۶) را تقریبا ۵ مرتبه مشاهده کنیم. در این آزمایش احتمال وقوع و یا ظاهر شدن هر یک از عددها از نصف یعنی ۵۰ درصد کم تر است.

به طور مثال احتمال ظاهر شدن عدد ۵ از نصف کم تر است اما احتمال ظاهر شدن عدد فرد، ۵۰ - ۵۰ می باشد. به جدول زیر دقت کنید.