درسنامه کامل ریاضی ششم فصل 7 تقریب

برای این که در استفاده از عددهای تقریبی خطای کم تری داشته باشیم از روش گرد کردن استفاده می کنیم. در این روش با توجه به تقریب مورد نظر عددی را به صورت تقریبی انتخاب میکنیم که به مقدار واقعی نزدیک باشد. برای مثال مقدار تقریبی عدد ۷۸۳ با تقریب کمتر از ۱۰۰ و روش گرد کردن برابر ۸۰۰ می شود، چون عدد ۸۰۰ به عدد ۷۸۳ نزدیک تر از عدد 70۰می باشد.

در روش گرد کردن ابتدا به رقم سمت راست تقریب توجه میکنیم اگر این رقم ۵ یا بزرگ تر از ۵ باشد (یعنی ۵، ،۶ ،۷ ،۸ یا ۹ باشد) یک واحد به رقم تقریب اضافه کنیم و سپس رقمهای سمت راست تقریب را با صفر جایگزین میکنیم و اگر رقم سمت راست تقریب کوچک تر از ۵ (یعنی ۴ ۳ ۲ ۱ یا صفر) باشد بدون این که به رقم تقریب چیزی اضافه کنیم رقم های سمت راست تقریب را با صفر جایگزین می کنیم.

در محاسبه های تقریبی برای نشان دادن مقدار تقریبی ،عددها به جای علامت مساوی  از علامت \( \simeq \)استفاده می کنیم که یعنی « تقریبا برابر است با ».

برای تقریب زدن عددها، دو روش داریم:

۱ روش قطع کردن

۲ روش گرد کردن

در این روش رقم های سمت راست ،تقریب یعنی عددهایی را که ارزش مکانی آنها از تقریب داده شده، کم تر باشد با صفر جایگزین می کنیم.

وقتی می گوییم تقسیم را تا یک رقم اعشار انجام دهید یعنی خارج قسمت را با تقریب کم تر از ۰/۱ به دست آورید و یا وقتی میگوییم تقسیم را تا دو رقم اعشار انجام دهید یعنی خارج قسمت را با تقریب کم تر از ۰/۰۱ حساب کنید.

در تقریب رقم دهگان اختلاف هر عدد با مقدار تقریبی آن کوچک تر از ۱۰ است.

وقتی صحبت از سن افراد میشود مجبوری از عددهای تقریبی استفاده کنیم به طور مثال اگر سن رضا ۱۲ سال و ۵ ماه و ۱۷ روز باشد میگوییم سن رضا ۱۲ سال است و یا اگر وزن رضا ۵۳/۳۵۰ کیلوگرم باشد، می گوییم وزن رضا ۵۳ کیلوگرم است به چنین بیانی از مقدارهای تقریبی که همواره مقدار کم تر مورد نظر است، روش قطع کردن گفته می شود.

در روش قطع کردن رقم های سمت راست تقریب را که ارزش مکانی کم تری نسبت به رقم تقریب دارند، با صفر جایگزین میکنیم (یعنی به صفر تبدیل میکنیم) و خود رقم تقریب و همچنین رقم های مرتبه های بالاتر را بدون تغییر می نویسیم

به طور مثال وقتی میخواهیم مقدار تقریبی عدد ۵۶۷۳/۲۸۴ را با تقریب کمتر از ۱۰۰، به روش قطع کردن حساب کنیم با توجه به جدول ارزش مکانی این عدد که در قسمت زیر ملاحظه می کنید، تمامی رقم هایی که در مرتبه ی پایین تری از صدگان قرار دارند؛ یعنی رقم هایی که در مرتبه ی دهگان یکان دهم، صدم و هزارم قرار دارند را به صفر تبدیل نموده و بقیه رقم ها را بدون تغییر می نویسیم.

به این ترتیب ۳ مقدار تقریبی این عدد با تقریب کم تر از ۱۰۰ برابر ۵۶۰۰ خواهد شد.

در نمایش تقریبی عددها از علامت استفاده می کنیم و این علامت را تقریبا مساوی می خوانیم.

برای تقریب زدن عددهای کسری مانند\(\frac{{25}}{7}\) به روش قطع کردن ابتدا صورت کسر را بر مخرج آن تقسیم می کنیم، اگر تقسیم را تا یک رقم اعشار در خارج قسمت انجام دهیم یعنی حاصل را با تقریب کم تر از ۰/۱ به دست آورده ایم و اگر تقسیم را تا دو رقم اعشار در خارج قسمت انجام دهیم؛ یعنی حاصل را با تقریب کم تر از ۰/۰۱ به دست آورده ایم به همین ترتیب اگر تقسیم را تا سه رقم اعشار انجام دهیم؛ یعنی حاصل را با تقریب کم تر از ۰/۰۰۱ حساب کرده ایم.

در کسرهایی مانند\(\frac{1}{2},\frac{1}{5}\) که مخرج آن ها فقط ۲ و یا فقط ۵ هستند، همه ی تقریب های آن ها مساوی اند زیرا مقدار دقیق تقسیم صورت این کسرها بر مخرج آنها تا یک رقم اعشار قابل محاسبه است.

مقدار تقریبی \(\frac{1}{2}\)با تمام تقریب های کم تر از ۰/۱ یا ۰/۰۱ یا ۰/۰۰۱ و ... برابر ۰/۵ است.

\(\frac{1}{2} = \frac{5}{{10}} = 0/5\)  

مقدار تقریبی\(\frac{1}{5}\)با تمام تقریب های کم تر از ۰/۱ یا۰/۰۱ یا ۰/۰۰۱ و ... برابر ۰/۲ است.

\(\frac{1}{5} = \frac{2}{{10}} = 0/2\)  

در سال چهارم دبستان با تقریب زدن آشنا شدید و آموختید که برای تقریب زدن هر عددی با توجه به تقریب داده شده یک عدد رند قبل و یک عدد رند بعد از عدد مورد نظر می نویسیم و از بین آن ها عددی را که به عدد مورد نظر نزدیک تر است به عنوان مقدار تقریبی عدد در نظر میگیریم اما امسال می آموزیم که هرگاه بخواهیم مقدار تقریبی عددی را با (تقریب دهگان) و یا به عبارت دیگر با تقریب کمتر از ۱۰ به دست آوریم، باید به رقم يكان عدد دقت کنیم در صورتی که رقم یکان ۵ یا بیش تر از ۵ باشد ( یعنی ۵ ۶ ۷، ۸ و ۹)، به رقم دهگان یک واحد اضافه کرده و یکان را صفر میکنیم اما در صورتی که رقم یکان کم تر از ۵ باشد یعنی یکی از رقم های ۰، ۱، ۲، ۳ و ۴ در این صورت دهگان تغییر نمی کند و یکان هم صفر می.شود.

به مثال های زیر دقت کنید:

با تقریب دهگان ۵۷۰ = ۵۷۳ : روش سال ششم \( \Rightarrow \)۵۸۰ \( \Rightarrow \) ۵۷۳\( \Leftarrow \) ۵۷۰: روش سال چهارم

با تقریب دهگان ۱۴۳۰ = ۱۴۲۵ : روش سال ششم\( \Rightarrow \) ۱۴۳۰ \( \Rightarrow \) ۱۴۲۵ \( \Leftarrow \) ۱۴۲۰ : روش سال چهارم

هرگاه بخواهیم مقدار تقریبی عددی را با تقریب صدگان و یا به عبارت دیگر با تقریب کم تر از صد به دست آوریم باید به رقم دهگان عدد دقت کنیم در صورتی که رقم دهگان ۵ و یا بیش تر از ۵ (یعنی ۵ ۶ ۷، ۸و ۹) باشد به رقم صدگان یک واحد اضافه کرده و یکان و دهگان و قسمت اعشاری را صفر می کنیم. اما اگر رقم دهگان کم تر از ۵ ،باشد رقم صدگان تغییر نکرده و یکان و دهگان و قسمت اعشاری به صفر تبدیل می شوند.

به مثال های زیر دقت کنید:

با تقریب صدگان ۱۷۰۰ = ۱۷۴۳ : روش سال ششم۱۸۰۰\( \Rightarrow \)۱۷۴۳\( \Leftarrow \) ۱۷۰۰ : روش سال چهارم

با تقریب صدگان ۱۴۰۰ = ۱۳۵۲ : روش سال ششم۱۴۰۰\( \Rightarrow \) ۱۳۵۲ \( \Leftarrow \) ۱۳۰۰: روش سال چهارم

در تمامی مثال هایی که در قسمت قبل ملاحظه نمودید مقدار تقریبی عددها به روش گرد کردن به دست آمده اند. برای تقریب زدن عددها به روش گرد کردن به ترتیب زیر عمل می کنیم:

۱ رقمی را که باید گرد شود مشخص میکنیم به طور مثال در تقریب کمتر از ۱۰۰ باید زیر صدگان خط بکشیم.

2 به اولین رقم جلو سمت راست رقم مورد تقریب دقت میکنیم اگر این رقم ۵ یا بیش تر از ۵ (یعنی ۵، ۷،۶، ۸ و یا ۹) بود یک واحد به رقم مورد تقریب اضافه می کنیم در غیر این صورت رقم مورد تقریب تغییری نمی کند.

3 همه ی رقم های سمت راست رقم مورد تقریب را با صفر جایگزین میکنیم و یا به عبارت دیگر به صفر تبدیل می کنیم.

به مثال های زیر دقت کنید.

(با تقریب کم تر از ۱۰۰۰) با تقریب صدگان ۳۶۰۰۰ = ۳۵۸۴۵ (الف

رقم جلو هزارگان یعنی رقم صدگان برابر ۸ است پس یک واحد به رقم هزارگان اضافه نموده و تمامی رقم های

یکان دهگان و صدگان را به صفر تبدیل می کنیم.

(با تقریب کم تر از۱۰۰) با تقریب صدگان ۳۵۸۰۰ = ۳۵۸۴۵ (ب

رقم جلو صدگان یعنی دهگان برابر ۴ است پس رقم صدگان را بدون تغییر می نویسیم و تمامی رقم های یکان و دهگان را به صفر تبدیل می کنیم.

با تقریب دهگان ۳۵۸۵۰ = ۳۵۸۴۵ (ج

با تقریب یکان ۲۳۳۰ = ۲۳۲/۵ (د

برای تقریب زدن اعداد کسری به روش گرد کردن ابتدا مقدار تقسیم صورت کسر بر مخرج آن را تا یک رقم بیش تر از تقریب داده شده به دست می آوریم، یعنی اگر تقریب کم تر از ۰/۱ باشد باید تقسیم را تا دو رقم اعشار حساب کنیم و سپس عدد به دست آمده را به روش گرد کردن تقریب می زنیم.

در روش قطع کردن سرعت انجام محاسبات بیشتر است اما در روش گرد کردن جواب به دست آمده دقیق تر است. لذا استفاده از این روشها به اهمیت دقت پاسخ و سرعت انجام محاسبات بستگی دارد. در ضمن به یاد داشته باشید که اگر رقم جلوی تقریب کوچکتر از ۵ (یعنی ،۱۰، ۲، ۳ و یا ۴) باشد، مقدار تقریبی عدد با تقریب داده شده از هر دو روش یکسان است.

(قطع شده با تقریب کمتر از 10۰) ۵۳۰۰ = ۵۳۴۷

(گرد شده با تقریب کمتر از ۱۰۰) ۵۳۰۰ = ۵۳۴۷

(قطع شده با تقریب کمتر از ۱۰۰) ۲۷۰۰ = ۲۷۶۴

(گرد شده با تقریب کمتر از ۱0۰) ۲۸۰۰ = ۳۷۶۴

اگر بخواهیم عددی مانند\(\frac{5}{7}\) را روی محور نمایش دهیم به دلیل این که تقسیم یک واحد به ۷ قسمت مساوی کمی سخت است بهتر است که از نمایش تقریبی این عدد روی محور استفاده کنیم اگر حاصل تقسیم صورت کسر بر مخرج آن را تا یک رقم اعشار در خارج قسمت حساب کنیم مقدار تقریبی این عدد با تقریب ۰/۱ به دست می آید. حال اگر بخواهیم که موقعیت دقیق تری از این عدد روی محور نمایش دهیم کافی است که تقسیم را تا دو رقم اعشار ادامه دهیم تا مقدار تقریبی عدد با تقریب ۰/۰۱ به دست آید.

به این ترتیب موقعیت جدید از موقعیت قبلی دقیق تر میباشد و به همین ترتیب با پیشروی در تقسیم باز هم موقعیت های دقیق تری نسبت به قبل به دست می آید.

به مقدار تقریبی عددهای عدد \(\pi = \frac{{22}}{7}\)  (بخوانید عدد پی) تا ۵ رقم اعشار دقت کنید مقدار تقریبی این دو عدد با تقریب کمتر از ۰/۱ و ۰/۰۱ دقیقا با هم برابر میباشد. لذا میتوانیم گاهی اوقات به جای عدد\(\pi \) از کسر \( \frac{{22}}{7}\)هم استفاده کنیم.

\(\frac{{22}}{7} = 3/14285\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\pi = 3/14159\)  

به خط کش مقابل دقت کنید.

کوچک ترین قسمتی که روی این خط کش مشخص شده ۰/۵ سانتی متر یا ۵ میلی متر است، بنابراین دقت اندازه گیری این خط کش ۵/ سانتی متر است؛ یعنی این خط کش اندازههای کم تر از ۰/۵ سانتی متر یا ۵ میلی متر را برای ما مشخص نمیکند اندازه ی مدادی که روی شکل دیده میشود بین ۳/۵ و ۴ سانتی متر است. چون خط کش نمی تواند بین این دو عدد را برای ما مشخص کند و اندازه ی مداد به ۳/۵ سانتی متر نزدیک تر است، ما اندازه ی مداد را به طور تقریبی ۳/۵ سانتی متر در نظر میگیریم اختلاف اندازه ی واقعی مداد و عدد ۳/۵ از 0/5 سانتی متر کم تر است بنابراین میگوییم این خط کش اندازه اشیا را با تقریب کم تر از ۰/۵ سانتی متر مشخص میکند در خط کشهای معمولی کوچک ترین قسمتی که روی آنها مشخص شده، ۱ میلی متر است؛ یعنی دقت اندازه گیری این خط کش ها ۱ میلی متر است؛ یعنی این خط کش ها اندازه ی اشیا را با تقریب کم تر از ۱ میلی متر مشخص می کنند.

برای هر نوع اندازه گیری با توجه به موضوع و اهمیت آن از ابزار مناسب استفاده می کنیم تا تقریب مورد نظر حاصل شود.

در محاسبه های تقریبی، با توجه به شرایط ابتدا عددها را تقریب میزنیم و سپس محاسبه را انجام می دهیم و یا در بعضی موارد ابتدا محاسبه را انجام می دهیم و سپس حاصل را تقریب میزنیم.

در محاسبات ریاضی، ترتیب انجام عملیات تقدم (محاسبات) به شکل زیر است:

۱ ابتدا حاصل پرانتزها را حساب میکنیم و اگر چندین پرانتز داخل هم باشند از داخلی ترین پرانتز محاسبه را شروع می کنیم.

۲ بعد از محاسبه ی پرانتزها، عملهای ضرب و تقسیم را انجام می دهیم. از چپ به راست

3 بعد از محاسبه های ضرب و تقسیم از چپ به راست محاسبه های جمع و تفریق را انجام می دهیم.

هر وسیله ی اندازه گیری تا حدی میتواند عدد یا مقدار دقیق چیزی را که اندازه میگیریم، نشان دهد. برای مثال، اکثر خط کش هایی که در اختیار دانش آموزان قرار دارد تا واحد میلی متر را نشان می دهد. این خط کش ها طول های کم تر از یک میلی متر را مشخص نمیکنند بنابراین میگوییم خط کش طول اجسام و یا خط ها را با تقریب کم تر از ۱ میلی متر نشان میدهد از طرفی چون هر میلی متر مساوی ۰/۱ سانتی متر است. می توانیم بگوییم که دقت خط کش با تقریب کم تر از ۰/۱ سانتی متر است.

به طور مثال برای اندازه گیری وزن اشخاص از واحد کیلوگرم استفاده میکنیم به عبارت دیگر، ترازوها معمولا وزن اشخاص را با تقریب کمتر از ۱ کیلوگرم نشان میدهد البته ترازوهای دیجیتال دقت بالاتری دارند یا برای اندازه گیری وزن یک قطعه طلا از ترازویی استفاده می کنند که دقت آن ۰/۰۱ گرم میباشد. به عبارت دیگر، این گونه ترازوها وزن اجسام را با تقریب کم تر از ۰/۰۱ گرم نشان می دهند.

گاهی اوقات بهتر است اعداد را به صورت تقریبی بیان کنیم تا انجام محاسبه روی آنها ساده تر شود. در این صورت مقدار محاسبه شده با مقدار واقعی برابر نیست ولی به آن نزدیک است. به مثال زیر دقت کنید:

۵۲۷ × ۶۷۹ = ۳۵۷۸۳۳

همان طور که ملاحظه کنید حاصل ضرب دو عدد ۵۲۷ و ۶۷۹ دقیقا مساوی ۳۵۷۸۳۳ شد. حال اگر مقدار دقیق حاصل ضرب مورد نیاز نباشد و فقط بخواهیم مقدار تقریبی آن را به دست آوریم کافی است که مقدارهای تقریبی این دو عدد را در یک دیگر ضرب کنیم:

با تقریب صدگان ۵۰۰ = ۵۲۷

با تقریب صدگان ۷۰۰ = ۶۷۹

  \( \Rightarrow 527 \times 679 = 500 \times 700 = 350000\)

بنابراین زمانی که هر یک از عددها را با تقریب صدگان گرد ،کنیم مقدار تقریبی حاصل ضرب برابر ۳۵۰۰۰۰ خواهد شد که این مقدار نزدیک به جواب واقعی همان ۳۵۷۸۳۳ میباشد. حال اگر عددها را تقریب دهگان گرد می کردیم جواب تقریبی به دست آمده نسبت به تقریب صدگان دقیق تر خواهد شد.

با تقریب دهگان ۵۳۰ = ۵۲۷  

679  با تقریب دهگان ۶۸۰ =

\( \Rightarrow 527 \times 679 = 530 \times 680 = 360400\)

همان طور که ملاحظه می کنید مقدار تقریبی حاصل ضرب دو عدد در این حالت اختلاف کم تری نسبت به حالت قبل دارد.

برای انجام محاسبات تقریبی میتوانیم از روش های زیر استفاده کنیم:

روش اول ابتدا عددها را گرد کنیم سپس محاسبه را انجام دهیم.

روش دوم ابتدا حاصل را به دست آورده سر ، سپس پاسخ را گرد کنیم.

در انجام عملیات محاسباتی باید به ترتیب زیر عمل کنیم:

۱) محاسبه ی عبارت داخل پرانتزها

۲) انجام ضرب یا تقسیم از چپ به راست عبارت هر کدام که زودتر دیده شد.

۳) انجام جمع یا تفریق از چپ به راست عبارت هر کدام که زودتر دیده شد.

بنابراین اگر ترتیب عملیات با پرانتز مشخص نشده باشد، ابتدا باید ضربها و تقسیم ها و سپس جمع ها و تفریق ها را از چپ به راست عبارت انجام دهیم.