درسنامه کامل ریاضی دهم فصل 6 شمارش، بدون شمردن

فرض کنید کاری به دو جزء تقسیم شده است،چنانکه جز اول به m طریق انجام شدنی است و جزء دوم مستقل از اولی به n طریق انجام شدنی است. در این صورت این کار به mn طریق انجام شدنی است. البته این اصل قابل تعمیم است. اگر کاری به k طریق مجزا تقسیم شده باشد بطوریکه اولی به \({m_1}\)  طریق انجام شدنی باشد، دومی به \({m_2}\)  طریق انجام شدنی باشدو ... و k امی به \({m_k}\)  طریق انجام شدنی باشد آنگاه کل کار به \({m_1} \times {m_2} \times ... \times {m_k}\)  طریق شدنی است.

فرض کنید کاری را بتوان به دو روش انجام داد طوری که در روش اول m انتخاب و در روش دوم n انتخاب موجود باشد. در این صورت برای انجام این کار  \(m + n\) روش وجود دارد.مثل اصل ضرب این اصل نیز قابل تعمیم است.

تکنیک به کار رفته در حل مسئله فوق ، استفاده از اصل متمم است. گاهی اوقات شمارش خاصیت ذکر شده در مسئله ای به مراتب مشکل تر از شمارش اعضایی است که خاصیت ذکرشده را ندارند. در این حالت بهتر است آنهایی که آن ویژگی معین را ندارند (متمم) شمارش شده و از کل اعضای مجموعه اصلی کم شوند.

\(\left| S \right| = \left| A \right| + \left| {A'} \right|\)

سه نفر به چند صورت متفاوت می توانند در یک ردیف کنار هم ایستاده و عکس بگیرند؟ اگر این سه شخص را با حروف لاتین a و b و c نمایش دهیم، تمام حالات ممکنه در زیر آمده است:

abc, acb, bca, bac, cab, aba

هر یک از این ۶ حالت را یک جایگشت از سه حرف \(\left\{ {a,b,c} \right\}\)  گوییم. حال اگر ۴ نفر بخواهند در یک ردیف و کنار هم عکس بگیرند چند حالت متفاوت پدید می آید؟

abcd , abdc , acbd , acdb , adcb , adbc

bacd , badc , bcad , bcda , bdac , bdca

cabd , cadb , cbad , cbda , cdab , cdba

dabc , dacb , dbac , dbca , dcab , dcba

به کمک اصل ضرب می توان تعداد جایگشت ها را بدون رسم کردن بدست آورد. تعداد جایگشت های ۴ شیء برابر است با \(4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)  و تعداد جایگشت های ٣ شیء برابر است با \(3 \times 2 \times 1 = 6\) در حالت کلی اگر n شیء متمایز داشته باشیم در این صورت تعداد جایگشت های این n شیء برابر است با: \(n \times \left( {n - 1} \right) \times \left( {n - 2} \right) \times ... \times 3 \times 2 \times 1\)

معرفی یک نماد: حاصل ضرب \(n \times \left( {n - 1} \right) \times \left( {n - 2} \right) \times ... \times 3 \times 2 \times 1\)  را با نماد \(n!\) نشان می دهیم و n فاکتوریل خوانده می شود.

حال تصور کنید هفت شیء متمایز \({a_7},{a_6},{a_5},...,{a_1}\)  داشته باشیم. می خواهیم تعداد جایگشت های بطول ٣ ( یعنی با سه شیء) را که می توان از ٧ شیء فوق ساخت محاسبه کنیم. یک جایگشت بطول ٣ را بصورت زیر در نظر می گیریم:

اولین خانه به هفت طریق ، دومین خانه به ۶ طریق و سومین خانه به ۵ طریق پر می شود. پس طبق اصل ضرب تعداد چنین جایگشت هایی برابر \(7 \times 6 \times 5\)  است. می توان این عبارت را طور دیگری هم نوشت:

\(7 \times 6 \times 5 = 7 \times 6 \times 5 \times \frac{{4!}}{{4!}} = \frac{{7!}}{{7!}} = \frac{{7!}}{{\left( {7 - 3} \right)!}}\)

عدد ٣ و ٧ که نقشی اصلی در مسئله داشتند را در آخرین کسر می بینیم. در حالت کلی اگر  باشد و بخواهیم تعداد جایگشت های r شیء را از n شیء بیابیم همانند مثال بالا عمل می کنیم:

اولین خانه دارای n انتخاب،دومین خانه \(\left( {n - 1} \right)\)  انتخاب، سومین خانه \(\left( {n - 2} \right)\)  انتخاب .... و r امین خانه دارای \(\left( {n - r + 1} \right)\)  نتخاب است. حال حاصلضرب این اعداد برابر است با:

\(n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)...\left( {n - r + 1} \right) = \frac{{n!}}{{\left( {n - r} \right)!}} = p\left( {n,r} \right)\)

عبارت \(p\left( {n,r} \right)\)  را برای تعداد جایگشت های r شیء از n شیء انتخاب کرده ایم. پس تعداد جایگشت های rشیء از n شیء یا \(p\left( {n,r} \right)\)  برابر است با :

\(p\left( {n,r} \right) = \frac{{n!}}{{\left( {n - r} \right)!}}\)

به هر روش قرار گرفتن n شیء دور یک دایره یک جایگشت دوری آن n شیء گوییم،با این ویژگی که اگر یک آرایش از دوران یک آرایش دیگر بدست آید این دو آرایش را هم ارز گوییم. در شکل زیر آرایش های ١ و ٢ از جایگشت های دوری \(E,D,E,B,A\)  هم ارزند اما این دو با ٣ هم ارز نیست.

قضیه: تعداد جایگشت های دوری n شیء برابر است با \(\left( {n - 1} \right)!\) .

اگر در انتخاب r شیء از میان n شیء \(r \le n\)  ترتیب انتخاب مهم نباشد با مسئله ترکیب روبرو هستیم. تعداد راه های انتخاب r شیء بدون اهمیت ترتیب آنها را ترکیب r شیء از n شیء گوییم و با نماد \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\r\end{array}} \right)\)  نشان می دهیم و برابر است با:

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\r\end{array}} \right) = C\left( {n,r} \right) = \frac{{n!}}{{r!\left( {n - r} \right)!}}\)

فرض کنید \({m_1}\)  شیء از نوع \({a_1}\) و \({m_2}\)  شیء از نوع \({a_2}\) و ... و \({m_k}\)  شیء از نوع \({a_k}\)  داریم که \({m_1} + {m_2} + ... + {m_k} = n\)  در اینصورت هر چیدن این n شیء را یک جایگشت با تکرار می نامیم. تعداد این جایگشت ها برابر است با :

\(\frac{{n!}}{{{m_1}!{m_2}!...{m_k}!}}\)