درسنامه کامل ریاضی دهم فصل 7 آمار و احتمال

تنها یک مسئله است که آن را ریشه ی شاخه ی احتمالات می دانند و به مسئله امتیازها معروف است. در این مسئله چگونگی تقسیم جایزه ی بازی شانسی نیمه تمام بین دو بازیکن فرضی هم قدرت ، با داشتن امتیازهای دو بازیکن در موقع قطع بازی و تعداد امتیازهای لازم برای بردن بازی خواسته شده است.این مسئله را کاردانو و تارتاگلیا نیز مورد بررسی قرار داده بودند،اما پیشرفت واقعی در سال ١٩۵۴ رخ داد. یک قمارباز حرفه ای زیرک طی نامه ای به بلز پاسکال علت عدم تطبیق تجربه شخصی با واقعیت تئوری این مسئله را جویا شده بود. پاسکال به مسئله علاقمند شد و طی نامه ای آن را به اطلاع پی یر فرما رساند.از اینجا به بعد مکاتبات زیادی بین این دو بزرگ مرد تاریخ ریاضیات شکل گرفت که شالوده ی احتمالات را تشکیل دادند. فرما و پاسکال مسئله را جداگانه حل کردند با این تفاوت که پاسکال مسئله را در حالت کلی حل کرد. پدیده های پیرامون ما در حالت کلی به دو دسته تقسیم می شوند:

در بحث احتمال پدیده های تصادفی بررسی می شوند و با پدیده های قطعی کاری نخواهیم داشت. منظور از یک آزمایشی تصادفی در تمام این فصل آزمایشی است که نتیجه ی آن از قبل قابل پیش بینی نباشد. در هر آزمایش تصادفی مجموعه ای وجود دارد که شامل تمام نتایج ممکنه در آن آزمایش تصادفی است. به چنین مجموعه ای فضای نمونه گوییم.

در هر آزمایش تصادفی به مجموعه ای که شامل تمام حالات ممکنه از آن آزمایش تصادفی باشد فضای نمونه گوییم و آن را با حرف S نشان می دهیم. همچنین به هر زیرمجموعه دلخواه از S یک پیشامد یا رخداد گوییم. پس A یک پیشامد است هرگاه: \(A \subseteq S\)  باشد.

چون پیشامدها زیرمجموعه های فضای نمونه هستند ، امکان ترکیب کردن آنها و ساختن پیشامدهای جدید وجود دارد.

اشتراک دو پیشامد: اگر \(A,B \subseteq S\)  دو پیشامد دلخواه باشند \(A \cap B\)  پشامد وقوع هردوی A و B بطور همزمان است. مثلا در پرتاب یک تاس اگر A پیشامد آمدن عدد زوج و B پیشامد اینکه عدد اول بیاید باشد آنگاه \(A \cap B\)  به معنای زوج و اول آمدن است. و لذا:

\(A \cap B = \left\{ 2 \right\}\)

اجتماع دو پیشامد: پیشامد \(A \cup B\)  به معنای وقوع A یا B یا هردوی آنها است. مانند حالت قبل داریم:

\(A \cup B = \left\{ {2,3,4,5,6} \right\}\)

تفاضل دو پیشامد: پیشامد \(A - B\) به معنای رخ دادن A و رخ ندادن B است.مانند حالت قبل داریم:

\(A - B = \left\{ {4,6} \right\}\)

متمم یک پیشامد: پیشامد \(A'\) به معنای رخ ندادن A است. مانند حالت قبل داریم:

\(A' = \left\{ {1,3,5} \right\}\)

تفاضل متقارن دو پیشامد: می دانیم \(A\Delta B = \left( {A - B} \right) \cup \left( {B - A} \right)\) . پس پیشامد \(A\Delta B\) به معنای رخ دادن A و رخ ندادن B یا رخ دادنB و رخ ندادن A است. بعبارت دیگر فقط یکی از A یا B رخ دهد. مانند حالت قبل:

\(A\Delta B = \left\{ {3,4,5,6} \right\}\)

یشامدهای ناسازگار: دو پیشامد A و B را ناسازگار گوییم هرگاه: \(A \cap B = \emptyset \)

در زندگی روزمره انسان ها به کرات و بدون آنکه متوجه باشند از جملات آماری استفاده می کنند. مثلا در محاوره و درباره ی این پرسش که در شبانه روز چندساعت می خوابید و پاسخ « بنده در هر شبانه روز و بطور میانگین حدود ٨ ساعت می خوابم» و یا این جمله ی « اگر مدت زمان مطالعه را دوبرابر کنی شانس قبولی در امتحان پایانی شما ۵٠ درصد افزایش می یابد» همگی جملاتی هستند که مبین مفاهیم آماری و یا روش آماری هستند. بطورکلی می توان علم آمار را مبتنی بر ۴ مرحله زیر در نظر گرفت:

1. طرح و انجام آزمایش برای دستیابی به اطلاعات عددی و یا هر روشی که منجر به گردآوری داده ها شود.
2. جمع بندی و سازماندهی اطلاعات عددی بدست آمده برای درک و فهم بهتر موضوع.
3. تحلیل و تفسیر و آنالیز دقیق اطلاعات عددی بدست آمده.
4. نتیجه گیری براساس اطلاعات بدست آمده از قسمت های فوق و پیش بینی آینده ی موضوع مورد بحث.

آمار و علم آمار

آمار، مجموعه ای از اعداد، ارقام و اطلاعات است. علم آمار مجموعه روش هایی است که شامل جمع آوری اعداد و ارقام، سازماندهی و نمایش، تحلیل و تفسیر داده ها و در نهایت نتیجه گیری، قضاوت و پیش بینی مناسب در مورد پدیده ها و آزمایش های تصادفی می شود.

منظور از پیش بینی آینده ، پیشگوئی هایی به سبک نوستراداموس نیست. در اینجا براساس یک الگوی بدست آمده از اطلاعات عددی بطور تصادفی و نه لزوما قطعی می توان آینده ی موضوعی را بررسی کرد. به عنوان مثال نظرسنجی برای تعیین نتیجه ی انتخابات در یک کشور، چنانچه بر اساس موازین علمی و درست انجام شود می تواند قبل از روز رای گیری نتیجه را مشخص کند و در این مورد نمونه های بسیار زیادی در دنیا و در کشور خودمان وجود دارد که نتیجه نظرسنجی و رای گیری واقعی تقریبا تا ٩۵ درصد و گاهی ١٠٠ درصد منطبق بوده اند.

جامعه یا جمعیت

مجموعه تمام افراد یا اشیایی که دربارۀ یک یا چند ویژگی آنها تحقیق صورت گیرد، جامعه یا جمعیت نامیده می شود و هریک از این افراد یا اشیا را عضو جامعه می نامند.

اندازه یا حجم جامعه

تعداد اعضای جامعه را اندازه جامعه یا حجم جامعه گویند. به عنوان مثال، دانش آموزان یک مدرسه می توانند یک جامعه باشند و هریک از دانش آموزان مدرسه عضو این جامعه هستند.

تعریف نمونه

بخشی از جامعه را که برای مطالعه انتخاب شود، نمونه گویند و هریک از افراد یا اشیای انتخاب شده را عضو نمونه گویند.

اندازه یا حجم نمونه

تعداد اعضای نمونه را اندازه نمونه یا حجم نمونه گویند. به عنوان مثال دانش آموزان یک کلاس به عنوان یک نمونه از دانش آموزان مدرسه هستند و هر یک از دانش آموزان کلاس، عضو نمونه محسوب می شوند.

نمونه باید اولا تصادفی انتخاب شود به این معنی که هر عضو جامعه شانس حضور در نمونه را داشته باشد و تعداد اعضای نمونه هم باید به درستی انتخاب شود تا بیانگر ویژگی های جامعه باشد. مثلا در یک کلاس ٣٠ نفری می توان یک نمونه ٨ نفری انتخاب کرد ولی نمونه ٨ نفری برای یک مدرسه ۵٠٠ نفری نمونه ی خوبی به حساب نمی آید.

متغیر، ویژگی از اعضای یک جامعه است که بررسی و مطالعه می شود و معمولا از یک عضو به عضو دیگر تغییر می کند. عددی را که به ویژگی یک عضو نسبت داده می شود، مقدار متغیر می گویند. برخی متغیرها قابل اندازه گیری اند مثل قد و وزن و ... و برخی غیر قابل اندازه گیری مثل رنگ ماشین، کیفیت یک میوه، گروه خونی و .... . بر این اساس باید متغیرها را طبقه بندی کنیم. جدول زیر انواع متغیرها را نشان می دهد.

متغیرهای کمی

متغیرهایی را که قابل اندازه گیری اند، (متغیرهای کمی) گویند. به عنوان مثال تعداد فرزندان خانواده و وزن افراد متغیرهای کمی اند.

متغیرهای کیفی

متغیر هایی را که قابل اندازه گیری نیستند، (متغیرهای کیفی) گویند. به عنوان مثال گروه خونی افراد و پاسخ سؤال (میزان لذت بردن از آشپزی) متغیرهای کیفی اند.

متغیر پیوسته

متغیری است که اگر دو مقدار a و b را بتواند اختیار کند، هر مقدار بین آنها را نیز بتواند اختیار کند. به عنوان مثال وزن یک دانش آموز میتواند ۴۶ کیلوگرم، ۴٧ کیلوگرم یا هر عددی بین این دو رقم باشد.

متغیر گسسته

متغیر گسسته، متغیری است که پیوسته نباشد. به عنوان مثال تعداد فرزندان یک خانواده متغیر گسسته است.

برای اندازه گیری شانس در آزمایش تصادفی روش های متعددی وجود دارد. یکی از این روش ها روش آماری است. به این معنی که آزمایش را به دفعات زیاد انجام می دهیم و نتیجه های مشاهده شده و مطلوب را بر تعداد کل دفعات آزمایش تقسیم می کنیم و عدد حاصل را شانس آن پیشامد در نظر می گیریم. یکی دیگر از روش ها، روش ذهنی است. کارشناس فوتبال بر اساس تجربیات خود حدس میزند که تیم A به احتمال مثلا ۶٠٪ برنده خواهد شد. روش دیگر استفاده از اصول موضوعه احتمال و استخراج مابقی قوانین آن از همان چند اصل ابتدایی است که برای اولین آشنایی در احتمال چندان مناسب نیست. اما یکی از مفیدترین و ساده ترین روش ها محاسبه احتمال از طریق شمارش تعداد اعضای پیشامد و فضای نمونه و تقسیم آنها بر یک دیگر است.

فرض کنید S یک فضای نمونه و \(A \subset S\)  یک پیشامد دلخواه باشد. شانس وقوع پیشامد A را که با نماد \(P\left( A \right)\)  نشان می دهیم بصورت زیر تعریف می کنیم:

\(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( S \right)}} = \frac{{\left| A \right|}}{{\left| S \right|}}\)

یا به فارسی می توان گفت تعداد حالات مساعد یا مطلوب بر تعداد کل حالات ممکن