نمونه سوالات تشریحی فصل 9 ریاضی هشتم همراه با جواب تشریحی

1) زوایای A و B هر دو زاویه محاطی رو به رو به کمان CD هستند:

\(\hat A = \hat B = 20^\circ \)

در مثلث BOC، زاویه COD، یک زاویه خارجی است و برابر مجموع دو زاویه داخلی غیر مجاور آن می باشد:

\(C\hat OD = x = \hat B + \hat C \Rightarrow x = 20^\circ + 40^\circ = 60^\circ \)

2) زوایای O و A به ترتیب زوایای مرکزی و محاطی رو به رو به کمان BC هستند:

\( \Rightarrow y = \hat O = 2\hat A = 2 \times 60^\circ = 120^\circ \)

مثلث OAB متساوی الساقین است:

\(\hat B = \hat A = 70^\circ \)

AD قطر دایره است؛ بنابراین:

\(\begin{array}{l}\hat A + \hat B = 50^\circ + 2y + 10^\circ \Rightarrow 70^\circ + 70^\circ = 2y + 60^\circ \\\\ \Rightarrow 2y + 60^\circ = 140^\circ \Rightarrow 2y = 140^\circ - 60^\circ = 80^\circ \Rightarrow y = 40^\circ \\\\ \Rightarrow 2x = 2y + 10^\circ = 2 \times 40^\circ + 10^\circ = 90^\circ \end{array}\)

می دانیم که زاویه کمان رو به زاویه محاطی، 2 برابر همان زاویه محاطی می باشد؛ بنابراین:

\(\left\{ \begin{array}{l}\hat A = \frac{{}}{2}\\\\\hat B = \frac{{}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \hat A = \hat B\)

\(\left\{ \begin{array}{l}\hat O = 40^\circ \Rightarrow = 40^\circ \\\\ = 2\hat A = 2 \times 60^\circ = 120^\circ \end{array} \right. \Rightarrow = - = 80^\circ \)

1) شش صلعی منتظم، 6 کمان مساوی روی دایره ایجاد می کند که اندازه هر کمان \(\frac{{360^\circ }}{6} = 60^\circ \)  می باشد.

زاویه ABC محاطی رو به رو به 4 کمان 60 درجه می باشد:

\(A\hat BC = \frac{{4 \times 60^\circ }}{2} = \frac{{240^\circ }}{2} = 120^\circ \)

2) زاویه BDE محاطی رو به رو به 3 کمان 60 درجه می باشد:

\(B\hat DE = \frac{{3 \times 60^\circ }}{2} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \)

3) زاویه ADF محاطی رو به رو 1 کمان 60 درجه می باشد:

\(A\hat DF = \frac{{1 \times 60^\circ }}{2} = 30^\circ \)

زاویه E زاویه محاطی رو به رو به کمان AD می باشد، بنابراین:

\(\hat E = 15^\circ = \frac{{BD}}{2} \Rightarrow BD = 2 \times 15^\circ \Rightarrow BD = 30^\circ \)

به دلیل اینکه وتر های AB و CD موازی هستند، کمان های AC و BD مساوی هستند:

\(AC = BD \Rightarrow AC = 30^\circ \)

شکل زیر را در نظر بگیرید.

زوایای D و B، دو زاویه رو به رو در چهارضلعی محاطی بر دایره ABCD می باشد.

می دانیم دو زاویه زمانی مکمل هستند که مجموع این دو زاویه برابر 180 درجه باشد؛ بنابراین:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\hat B = \frac{{ADC}}{2}\\\\\hat D = \frac{{ABC}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \hat B + \hat D = \frac{{ADC}}{2} + \frac{{ABC}}{2} = \\\\ \Rightarrow \frac{{ADC + ABC}}{2} = \frac{{360^\circ }}{2} = 180^\circ \end{array}\)

شکل را به صورت زیر نام گذاری می کنیم:

\(\begin{array}{l}x = {{\hat C}_2}\\\\{{\hat C}_1} + {{\hat C}_2} = 90^\circ \\\\\left\{ \begin{array}{l}{{\hat C}_1} = \frac{{ED}}{2}\\\\\hat A = \frac{{ED}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow {{\hat C}_1} = \hat A = 10^\circ \\\\ \Rightarrow 10 + {{\hat C}_2} = 90^\circ \Rightarrow {{\hat C}_2} = 80^\circ \Rightarrow x = 80^\circ \end{array}\)

طبق قضیه فیثاغورس داریم:

\(\begin{array}{l}\mathop {OAB}\limits^\Delta :O{A^2} = O{B^2} + A{B^2}\\\\ \Rightarrow {17^2} = {8^2} + A{B^2} \Rightarrow 289 = 64 + A{B^2}\\\\ \Rightarrow A{B^2} = 225 \Rightarrow AB = 15\end{array}\)

دایره ای دلخواه مثلا به شکل زیر در نظر بگیرید. برای یافتن مرکز این دایره، دو وتر غیر متوازن از دایره را رسم کرده و سپس عمود منصف آن دو را رسم می کنیم. محل تقاطع دو عمود منصف، مرکز دایره است:

دایره زیر را در نظر بگیرید و نقطه دلخواه A که بر روی محیط آن می باشد. برای رسم خط مماس بر دایره از نقطه A، از مرکز دایره به A، خطی متصل می کنیم و سپس بر پاره خط OA از نقظه A یک خط عمود رسم می کنیم. خط عمود بر پاره خط OA، مماس مورد نظر می باشد:

می دانیم که ضلع مقابل به زاویه 30 درجه، نصف وتر می باشد؛ بنابراین داریم:

\(\begin{array}{l}OA = \frac{{OB}}{2} \Rightarrow 10 = \frac{{OB}}{2} \Rightarrow OB = 20\\\\O{A^2} + A{B^2} = O{B^2} \Rightarrow {10^2} + A{B^2} = {20^2} \Rightarrow 100 + A{B^2} = 400\\\\A{B^2} = 300 \Rightarrow AB = 10\sqrt 3 \\\\x = AB \Rightarrow x = 10\sqrt 3 \end{array}\)

در شکل ها همانطور که می بینیم دو خط AB و AC در نقاط Cو Bبر دایره مماس هستند؛ بنابراین:

\(\left\{ \begin{array}{l}\hat A = 90^\circ \\\\\hat B = \hat C = 90^\circ \end{array} \right. \Rightarrow \hat O = 90^\circ \)

مربع است\(\left\{ \begin{array}{l}\hat O = 90^\circ \\\\AB = AC\\\\OB = OC\end{array} \right. \Rightarrow OABC\)

\( \Rightarrow OB = AB \Rightarrow OB = 10\)

شعاع این دایره 10 می باشد.

\(\begin{array}{l}{x^2} + {7^2} = {(7 + 18)^2}\\\\{x^2} + 49 = {25^2} = 625\\\\{x^2} = 625 - 49 = 576 \Rightarrow x = 24\end{array}\)

\(\begin{array}{l}O{A^2} + A{B^2} = O{B^2}\\\\ \Rightarrow {3^2} + A{B^2} = {5^2} \Rightarrow 9 + A{B^2} = 25\\\\ \Rightarrow A{B^2} = 25 - 9 = 16 \Rightarrow AB = 4\end{array}\)

به هر پاره خط که دو سر آن روی یک دایره باشد، وتر آن دایره می گویند.

به هر زاویه که راس آن روی مرکز یک دایره باشد و دو ضلع آن شعاع های آن دایره باشند، یک زاویه مرکزی می گویند.

اگر راس زاویه ای روی محیط دایره و دو ضلع زاویه، وتر های دایره باشند، آن زاویه، یک زاویه محاطی است.

دایره زیر را در نظر بگیرید که دو وتر AB و CD با هم موازی هستند. میخواهیم ثابت کنیم که:

\(AC = BD\)

ابتدا از نقطه C به نقطه B یک خط وصل می کنیم:

\(\begin{array}{l}{{\hat C}_1} = \frac{{BD}}{2}\\\\{{\hat B}_1} = \frac{{AC}}{2}\end{array}\)

می دانیم \(AB\parallel CD\)  و خط BC یک خط مورب می باشد؛ بنابراین:

\({\hat B_1} = {\hat C_1} \Rightarrow \frac{{AC}}{2} = \frac{{BD}}{2} \Rightarrow AC = BD\)

وتر AB قطر دایره است؛ بنابراین:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AB = 180^\circ \\\\AB = AC + CD + DB = x + CD + x = 2x + CD\\\\CD = 2 \times 60^\circ = 120^\circ \end{array} \right.\\\\ \Rightarrow 2x + = 180^\circ \Rightarrow 2x + 120^\circ = 180^\circ \\\\ \Rightarrow 2x = 60^\circ \Rightarrow x = 30^\circ \end{array}\)

شعاع و دایره

سه

متقاطع

مماس

عمود

شعاع

قطر

یک

وتر

عمود

زوایه مرکزی

یک

برابر

\(\frac{{360^\circ }}{n}\)

زاویه محاطی

نصف

قائمه (90 درجه)

کمان

مکمل

دو برابر