نمونه سوالات تستی فصل 9 ریاضی هشتم همراه با جواب تشریحی

\(\begin{array}{l}\hat O = BC \Rightarrow \hat O = 180^\circ - (90^\circ + 40^\circ ) = 50^\circ \\\\ \Rightarrow BC = x = 50^\circ \end{array}\)

\(\begin{array}{l}2x + 3 = 4x - 5 \Rightarrow 3 + 5 = 4x - 2x\\\\ \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 4\end{array}\)

از نقطه A دو مماس بر دایره رسم شده است:

\(\begin{array}{l}AM = AM' \Rightarrow 8 + 3 = x + 4\\\\ \Rightarrow x = 8 + 3 - 4 \Rightarrow x = 7\end{array}\)

\({2^2} + {5^2} = {r^2} \Rightarrow {r^2} = 4 + 25 = 29 \Rightarrow r = \sqrt {29} \)

\(\begin{array}{l}360^\circ - 140^\circ = 220^\circ \\\\x = \frac{{220^\circ }}{2} = 110^\circ \end{array}\)

چهار ضلعی ABCD در دایره محاط است پس زوایای A و C مکمل هستند:

\(\begin{array}{l}AB = CD \Rightarrow \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over A} \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over B} = \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over C} \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over D} \Rightarrow 3x + 20^\circ = 80^\circ \\\\ \Rightarrow 3x = 80^\circ - 20^\circ = 60^\circ \Rightarrow x = 20^\circ \end{array}\)

\(\begin{array}{l}AB\parallel CD \Rightarrow \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over A} \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over C} = \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over B} \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over D} = x\\\\\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over A} \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over B} + \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over B} \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over D} + \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over C} \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over D} + \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over A} \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over C} = 360^\circ \Rightarrow 2x + 160^\circ = 360^\circ \\\\ \Rightarrow 70 + x + 90 + x = 360^\circ \Rightarrow 2x + 160^\circ = 360^\circ \\\\ \Rightarrow 2x = 200^\circ \Rightarrow x = 100^\circ \end{array}\)

\(\begin{array}{l}120^\circ + 120^\circ + 2x = 360^\circ \Rightarrow 2x + 240^\circ = 360^\circ \\\\ \Rightarrow 2x = 120^\circ \Rightarrow x = 60^\circ \end{array}\)

اگر وتری مانند AB مساوی شعاع باشد، کمان محدود به آن AB)=60 درجه) خواهد بود. CD قطر دایره است؛ بنابراین داریم:

\(\begin{array}{l}x + 60^\circ + x = 180^\circ \Rightarrow 2x + 60^\circ = 180^\circ \\\\ \Rightarrow 2x = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \Rightarrow x = 60^\circ \end{array}\)

از نقطه O مرکز دایره به نقاط A و B وصل می کنیم. با توجه به این که مثلث های OBC و AOB متساوی الساقین اند، داریم:

\(\begin{array}{l}OBC:OB = BC \Rightarrow {{\hat O}_1} = \hat C\\\\{{\hat B}_1} = {{\hat O}_1} + C = 2\hat C\\\\AOB:OA = OB \Rightarrow \hat A = {{\hat B}_1} = 2\hat C\\\\{{\hat O}_2} = \hat A + \hat C = 3\hat C \Rightarrow {{\hat O}_2} = 60^\circ \Rightarrow {{\hat O}_2} = AD = 60^\circ \end{array}\)

\(\begin{array}{l}ATO:O{A^2} = A{T^2} + O{T^2}\\\\ \Rightarrow O{A^2} = {(8\sqrt 3 )^2} + {8^2} = 64 \times 3 + 64 = 64 \times 4\\\\ \Rightarrow OA = \sqrt {64 \times 4} = 8 \times 2 = 16\\\\OT = \frac{1}{2}OA \Rightarrow {{\hat A}_1} = 30^\circ \Rightarrow {{\hat A}_1} = {{\hat A}_2}\\\\T\hat AT' = 2{{\hat A}_1} = 60^\circ \end{array}\)

از مرکز دایره دو عمود OP و OP' را بر دو مماس وارد می کنیم. با توجه به اینکه مثلث های OAP و OAP' همنهشت اند، می توان گفت که مساحت OPAP' دو برابر مساحت مثلث OAP است. لذا طبق قضیه فیثاغورس داریم:

\(\begin{array}{l}O\mathop A\limits^\Delta B = O{A^2} = O{P^2} + A{P^2} \Rightarrow {5^2} = {3^2} + A{P^2}\\\\ \Rightarrow A{P^2} = 16 \Rightarrow AP = 4\\\\{S_{O\mathop A\limits^\Delta P}} = \frac{{OP \times AP}}{2} = \frac{{3 \times 4}}{2} = 6 \Rightarrow {S_{OPAP'}} = 2{S_{O\mathop A\limits^\Delta P}} = 12\end{array}\)

می دانیم در هر دایره، خط عمودی که از یک دایره بر وتر وارد می شود، آن وتر را نصف می کند (زیرا در مثلث متساوی الساقین از تفاع و میانه وارد بر قاعده بر هم منطبق اند)؛ بنابراین طبق قضیه فیثاغورس داریم:

\(\begin{array}{l}OAH = O{A^2} = O{H^2} = A{H^2} \Rightarrow {5^2} = {3^2} + A{H^2}\\\\ \Rightarrow A{H^2} = 25 - 9 = 16 \Rightarrow AH = 4\\\\ \Rightarrow AB = 2AH \Rightarrow AB = 8\end{array}\)

می دانیم در هر دایره، خط عمودی که از مرکز دایره بر یک وتر وارد می شود، آن وتر را نصف می کند. پس طبق قضیه فیثاغورس داریم:

\(\begin{array}{l}AOB = O{A^2} = A{B^2} + O{B^2} \Rightarrow {10^2} = A{B^2} = {8^2}\\\\ \Rightarrow A{B^2} = {10^2} - {8^2} = 100 - 64 = 36 \Rightarrow AB = \sqrt {36} \\\\ \Rightarrow AB = 6 \Rightarrow AC = 2AB \Rightarrow AC = 12\end{array}\)

از O به A وصل می کنیم. با توجه به این که مثلث AOB متساوی الساقین است، داریم:

با توجه به این که اندازه هر زاویه محاطی برابر با نصف اندازه کمان مقابلش است، داریم:

\(\begin{array}{l}AC = CD \Rightarrow \hat A = \hat D = 30^\circ \\\\{{\hat C}_1} = \hat A + \hat D = 60^\circ \\\\{{\hat C}_1} = \frac{{AB}}{2} \Rightarrow \frac{{AB}}{2} = 60^\circ \Rightarrow AB = 120^\circ \end{array}\)

می دانیم اندازه زاویه محاطی برابر؛ نصف کمان مقابلش است، بنابراین:

\(\begin{array}{l}\hat B = \frac{{CD}}{2} \Rightarrow 35^\circ = \frac{{CD}}{2} \Rightarrow CD = 70^\circ \Rightarrow AD = CD\\\\ \Rightarrow AD = 70^\circ \Rightarrow AB = 180^\circ - 2AD = 40^\circ \\\\ \Rightarrow \hat C = \frac{{AB}}{2} = \frac{{40^\circ }}{2} = 20^\circ \end{array}\)

با توجه به این که مثلث AOC، متساوی الساقین است، بنابراین:

\(\begin{array}{l}AOC:OA = OC = r \Rightarrow {{\hat A}_1} = {{\hat C}_1} = 28^\circ \Rightarrow AOC = 124^\circ \\\\ \Rightarrow \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over A} \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over C} = AOC \Rightarrow \hat B = \frac{{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over A} \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over C} }}{2} = \frac{{124^\circ }}{2} = 62^\circ \end{array}\)

از B به C وصل می کنیم، طبق قضیه خطوط موازی و مورب داریم: