گام به گام تمرین صفحه 78 درس 6 ریاضی هفتم (سطح و حجم)

گستردۀ شکل وسط هنگامی به صورت یک مکعب در می آید که عرض مستطیل ها با طول یکی از اضلاع مربع هم اندازه باشند.

ابتدا مساحت کوچه را به دست می آوریم:

 \( = 20 \times 4 = \) مساحت کوچه

متر مربع 80

سپس مساحت جانبی استوانۀ غلتک را به دست می آوریم:

\( = 2\pi rh\) مساحت جانبی استوانۀ غلتک

متر مربع \( = 2 \times \pi \times 0/5 \times 1 = \pi \)

چون غلتک باید 4 بار مساحت کوچه را طی کند؛ بنابراین خواهیم داشت:

\( = 4 \times 80 = \) مساحت 4 بار طی شدن کوچه

متر مربع 320

بنابراین این غلتک تقریبا 102 دور باید بزند.

ابتدا مساحت جانبی چرخ را بدست می آوریم:

ضخامت در اینجا ارتفاع استوانۀ چرخ است:

\(h = 20\,cm\)

 \( = 70\,cm\) قطر چرخ

\( = r = 35\,cm\) شعاع چرخ

\(S = 2\pi rh = 2\pi \times 35 \times 20 = \)

\(1400\pi \) سانتی متر مربع

چون چرخ 10 دور می چرخد تا خشک شود، بنابراین خواهیم داشت:

\(\begin{array}{l}10 \times S = 10 \times 1400\pi = \\\\10 \times 1400 \times 3/14 = 43960\end{array}\)

در نتیجه 43960 سانتی متر مربع از زمین خیس خواهد شد تا چرخ خشک شود.

این چادر در واقع به شکل یک منشور 3 پهلو با قاعده ای به شکل یک مثلث متساوی الاضلاع به ضلع 2 متر است و ارتفاع این منشور نیز 4 متر است.

ما ابتدا محیط و مساحت قاعدۀ این منشور را بدست می آوریم، چون قاعدۀ منشور به شکل مثلث است؛ پس:

\( = 3 \times 2 = \) محیط قاعدۀ منشور

متر 6

\( = S = \frac{{1/7 \times 2}}{2} = \) مساحت قاعدۀ منشور

متر مربع 1/7

حالا مساحت سطح جانبی منشور را بدست می آوریم:

\(\left\{ \begin{array}{l}h = 4\\\\P = 6\end{array} \right. \Rightarrow S = P \times h = 6 \times 4 = 24\)متر مربع 

در نهایت چون این منشور 2 قاعده دارد، بنابراین مساحت قاعدۀ منشور 2 برابر شده و با مساحت سطح جانبی منشور جمع می شود تا مساحت کل منشور بدست بیاید:

\( = 1/7 \times 2 = \) مساحت 2 قاعدۀ منشور

متر مربع 3/4

\( = 24 + 3/4 = \) مساحت کل منشور

متر مربع 27/4

در نتیجه 27/4 متر مربع پارچه برای ساخت این چادر به کار رفته است.

برای پیدا کردن حجم چادر باید مساحت قاعده را در ارتفاع ضرب کنیم؛ پس خواهیم داشت:

\( = S = 1/7\) مساحت قاعده

\(h = 4\)

\( = V = S \times h = \) حجم منشور

متر مکعب \(1/7 \times 4 = 6/8\)

چون باید بدنۀ خارجی و سقف آن را رنگ بزنیم، پس باید ابتدا محیط قاعده و مساحت قاعده مخزن را بدست بیاوریم:

\( = P = 2\pi r = \) محیط قاعدۀ مخزن

\(2 \times \pi \times 3 = 6\pi \) متر

\( = {S_1} = r \times r \times \pi = \) مساحت قاعدۀ مخزن

\(3 \times 3 \times \pi = 9\pi \) متر مربع

حالا مساحت جانبی مخزن را به دست می آوریم:

\(h = 5\)

\( = {S_2} = P \times h = \) مساحت جانبی

متر مربع \(6\pi \times 5 = 30\pi \)

مساحتی که باید رنگ شود از جمع دو مساحت بدست می آید:

\(S = {S_2} + {S_2} = \) 

\(9\pi + 30\pi = 39\pi \) متر مربع

در انتها هزینۀ رنگ آمیزی را از رابطۀ زیر بدست می آوریم:

\( = 39\pi \times 3000 = \) هزینۀ رنگ آمیزی

\(39 \times 3/14 \times 3000 = 367,300\) تومان

باید مساحت کل مکعب را بدست بیاوریم. برای این کار مساحت قاعده را بدست آورده و آن را دو برابر می کنیم و سپس مساحت جانبی مکعب را بدست آورده و در نهایت همۀ آن ها را با هم جمع می کنیم:

\( = 10 \times 10 = \) مساحت قاعده

سانتی متر مربع 100

چون دو تا قاعده داریم، مقدار بدست آمده را دو برابر می کنیم:

\(100 \times 2 = 200\)سانتی متر مربع 

حال مساحت جانبی را بدست می آوریم:

\( = 4 \times (10 \times 10) = \) مساحت سطح جانبی

سانتی متر مربع \(4 \times 100 = 400\)

حال مساحت کل را بدست می آوریم:

\( = 400 + 200 = \) مساحت کل مکعب

سانتی متر مربع 600

بنابراین برای ساخت این مکعب، 600 سانتی متر مربع مقوا باید به کار ببریم.

باید مساحت کل مکعب را بدست آوریم:

\( = {S_1} = 50 \times 40 = \) مساحت قاعده

سانتی متر مربع 2000

\( = P = 2 \times (50 + 40) = \) محیط قاعده

سانتی متر 180

سانتی متر \( = h = 30\) ارتفاع

\( = {S_2} = P \times h = \) مساحت وجه جانبی

\(180 \times 30 = 5400\) سانتی متر مربع

مساحت وجه جانبی + مساحت قاعده × 2 = مساحت کل شکل

\( = 5400 + 4000 = \) مساحت کل شکل

سانتی متر مربع 9400

چون مقدار کاغذ کادوی لازم نباید کمتر از مساحت کل مکعب باشد، به همین دلیل از کلمۀ حداقل استفاده شده است.

الف 8 مکعبی که در مرکز قرار دارند، رنگ نمی شوند:

= تعداد مکعب های این شکل

\(4 \times 4 \times 4 = 64\) مکعب

رنگ آبی مربوط به مکعب هایی هستند که یک وجه آن ها رنگ می شود که برابر 24 مکعب می باشد.

رنگ سبز مربوط به مکعب هایی هستند که دو وجه آن ها رنگ می شود که برابر 8 مکعب می باشد.

رنگ نارنجی مربوط به مکعب هایی هستند که سه وجه آن ها رنگ می شود که برابر 8 مکعب می باشد.

= تعداد مکعب های رنگ شده

مکعب 56 = 8 + 24 + 24

= تعداد مکعب های رنگ نشده

مکعب 8 = 56 – 64

ب 56 مکعب رنگ می شود.

پ 24 مکعب

ت 8 مکعب