تابع

الف) مجموعه B هر زير مجموعه اي از اعداد حقيقي شامل مجموعه $\left\{ {2,4,6,8,\left. {10} \right\}} \right.$ ميتواند باشد

ب) اعضاي تابع f به صورت$f = \left\{ {\left( {1,2} \right)} \right.,\left( {2,4} \right),\left( {3,6} \right),\left( {4,8} \right),\left. {\left( {5,10} \right)} \right\}$  ميباشد.

ج) ضابطه تابع f را ميتوان به صورت $f(x) = 2x$ نوشت.

د) تابعfراميتوان به صورتهاي$\left\{ \begin{array}{l}f:A \to N\\f(x) = 2x\end{array} \right.$ يا$\left\{ \begin{array}{l}\left\{ {f:\left\{ {1,2,3,4,\left. 5 \right\}} \right.} \right. \to \left\{ {1,2,3,4,5,\left. {...} \right\}} \right.\\f(x) = 2x\end{array} \right.$ نوشت كه به طوركامل تابع فوق را معرفي ميكنند توجه كنيد كه مجموعه A دامنه تابع f و مجموعه N ، هم دامنه تابع و همچنين برد تابع مجموعه $\left\{ {2,4,6,8\left. {,10} \right\}} \right.$ ميباشد.

 الف) با توجه به اينكه از هر عضو A دقيقاً يك پيكان بايد خارج شده باشد بنابراين دقيقاً بايد m پيكان از A به B كشيده شود.

ب) بيشمار تابع براي g ميتوان در نظر گرفت.به عنوان مثال ميتوان g  را چنين در نظر گرفت:

مجموعه {فرانسه، انگليس، ايران} دامنه تابع و مجموعه { رياض، پاريس، لندن، تهران} هم دامنه تابع و مجموعه {پاريس، لندن، تهران} باشندبرد تابع مي باشند.

ج) ميتوان g را چنين در نظر گرفت.

مجموعه $\left\{ {ali,reza,ami} \right.\left. r \right\}$ دامنه تابع و$\left\{ {A,R,\left. B \right\}} \right.$  هم دامنه تابع و مجموعه $\left\{ {A,\left. R \right\}} \right.$ برد تابع ميباشند.

د) تابع g را ميتوان چنين در نظر گرفت

مجموعه $\left\{ {1,2,5,\left. 8 \right\}} \right.$ دامنه تابع و مجموعه {نه اول و نه مركب، عدد مركب، عدد اول} هم دامنه و برد تابع هستند.

الف) با توجه به اينكه نمودار ضابطه داده شده يك خط است و هر خط با 2 نقطه مشخص ميشود كافي است 2 نقطه از اين خط را يافته و خط را رسم كرد.

 به عنوان مثال:

$x = 0 \Rightarrow y = 32 \Rightarrow (0,32) \in f,x = - 10 \Rightarrow y = 14 \Rightarrow ( - 10,14) \in f$

لذا شكل آن به صورت زير خواهد بود.

ب) نموار اين تابع قسمتي از تابع f است كه در آن $- 20 \le x \le 20$ در واقع تابع g را تحديد تابع f ميناميم و نمودار آن چنين است:

ج) با توجه به اينكه$g\left( 1 \right) = \frac{9}{5} + 32 = \frac{{169}}{5}$  لذا چنين تابعي نميتوان يافت.

 طبق شكل اگر DC را برابر x بگيريم، داريم$DFC = 30$ (چرا) و از آنجا$F{C^2} = 2x$  با توجه به رابطه ي فيثاغورس داريم:

$F{C^2} = D{C^2} + F{D^2} \Rightarrow {(2x)^2} = {x^2} + F{D^2} = FD = \sqrt 3 x$

لذا مساحت مستطيل فوق از رابطه$S = (1 - 2x)x\sqrt 3$  دست مي آيد و داريم:

$s = - 2\sqrt 3 ({x^2} - \frac{1}{2}x) = - 2\sqrt 3 \left[ {{{(x - \frac{1}{4})}^2} - \frac{1}{{16}}} \right] = - 2\sqrt 3 {(x - \frac{1}{4})^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{8}$

اما بيشترين مقدار عبارت $- 2\sqrt 3 {(x - \frac{1}{4})^2}$ صفر است كه به ازاي$x = \frac{1}{4}$  به دست مي آيد و لذا ماكزيمم S برابر $\frac{{\sqrt 3 }}{8}$ است و طول و عرض اين مستطيل برابر است با$x\sqrt 3 = \frac{1}{4}\sqrt 3$ و

$1 - 2x = 1 - 2(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2}$

  دامنه اين دو تابع مجموعه $\left\{ {3,7,\left. 9 \right\}} \right.$ است كه با هم مساوي است . $f(7) = - 1$ ولي $g(7) = 5$ پس دو تابع با هم مساوي نيستند .

 چون$1 \in {D_g}$  لذا بايد $1 \in {D_f}$ و $f(1) = 4$  پس بايد $g(1) = 4$ يعني $a = 4$ همچنين $g(b) = 2$ و از حل معادله$f(x) = 2$ نتيجه ميشود كه $x = \frac{1}{{^3\sqrt 3 }}$لذا $b = \frac{1}{{^3\sqrt 3 }}$ با استدلال هاي مشابه $4 \in {D_g}$و در نتیجه باید$4 \in {D_f}$  و چون $f(4) = 193$ لذا $g(4) = 193$ يعني $c = 193$

پس تابع   gبه صورت $g(x) = \left\{ {(1,4),(\frac{1}{{^3\sqrt 3 }}} \right.),(4,193\left. ) \right\}$ بوده و A نيز چنين است $A = \left\{ {(1,4),(\frac{1}{{^3\sqrt 3 }}} \right.),\left. 4 \right\}$

دامنه هر دو تابع مجموعه اعداد حقیقی است اما به ازای هر $x < 1$  مقادیر هر دو تابع برابر نیست مثلا$f( - 5) = \sqrt {(5} {)^2} = 25 = 5$  ولی $g( - 5) = - 5$

ميدانيد كه $\tan x$ به ازاي هر$x = k\pi + \frac{\pi }{2}$ , $K \in Z$ تعريف نشده است يعني اين نقاط در دامنه تابع f قرار ندارند.

 اما $\cot x$ به ازاي هر  $x = k\pi$ ,$K \in Z$  تعريف نشده و به ازاي هر$x = k\pi + \frac{\pi }{2}$ , $K \in Z$  صفر 2 ميشود لذا مجموعه اين نقاط يعني نقاط به طول$x = k\frac{\pi }{2}$ $K \in Z$ , عضو دامنه تابع g نميباشد.

بنابراين دامنه اين دو تابع برابر نيست . به عنوان مثال $f(0)$ تعريف شده و برابر صفر است اما تابع g به ازاي $x = 0$  تعريف نشده است

 اولاً دامنه هر دو تابع مجموعه اعداد حقيقي است و $g(2) = M$ و  $M = 5$ بنابراين 5 همچنين $f( - 2) = L$ و $g( - 2) = \frac{1}{{ - 4}}$ لذا.$L = - \frac{1}{4}$  توجه كنيد كه اگر   $x \ne 2$, $x \ne - 2$ آنگاه:

$f(x) = \frac{{x + 2}}{{x - 2}} = \frac{{x + 2}}{{(x - 2)(x + 2)}} = \frac{1}{{x - 2}}$