توابع چند ضابطه اي

x را مبلغ خريد مشتري و \(y = f\left( x \right)\) را مبلغي كه مشتري بايد بپردازد در نظر بگيريد خواهيم داشت.

\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x,0 < x < 20000\\\\0/95,200000 \le x < 100000\\\\0/9,x \ge 100000\end{array} \right.\)

 x را نمره برگه دانشجو و \(y = f(x)\) را نمره نهايي او در نظر بگيريد خواهيم داشت:

\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}6 + \frac{x}{2},0 \le x < 8\\\\\frac{5}{6}x + \frac{{10}}{3},8 \le x \le 20\end{array} \right.\)

بدیهی است دامنه تابع یعن نمراتی که دانشجو گرفته از صفر تا 20 یعنی \(\left[ {0,20} \right]\)  می باشد

اما برد آن یعنی نمراتی که مدرس ثبت خواهد کرد چنین به دست می آید:

\(\begin{array}{l}0 \le x \le 8 \Rightarrow 0 \le \frac{x}{2} < 4 \to 6 \le 6 + \frac{x}{2} < 10\\\\8 \le x \le 20 \Rightarrow \frac{{40}}{6} \le \frac{5}{6}x \le \frac{{100}}{6} \to 10 \le \frac{5}{6}x + \frac{{10}}{3} \le 20\end{array}\)

يعني برد تابع يا نمرات نهايي مجموعه [20 , 6] ميباشد.

ب) براي محاسبه نمره نهايي دانشجويي كه نمره 11 گرفته است بايد از ضابطه دوم استفاده كرد، يعني:

\( = \frac{5}{6} \times 11 + \frac{{10}}{3} = \frac{{95}}{6} = 12/5\)

الف)دامنه به وضوح مجموعه اعداد حقيقي است.

 براي محاسبه برد آن ملاحظه ميكنيم كه

\(\left. \begin{array}{l}x < - 2 \Rightarrow {x^2} > 4 \Rightarrow g(x0 > 4\\\\ - 2 \le x \le 2 \Rightarrow g(x) = 5\\\\x > 2 \Rightarrow - 2x < - 4 \Rightarrow 4 - 2x < 0 \Rightarrow g(x) < 0\end{array} \right\} \Rightarrow {R_g} = ( - \infty ,0) \cup (4, + \infty )\)

ب(

\(g( - 3) = {( - 3)^2} = 9 \Rightarrow g(g( - 3)) = g(9) = 4 - 2 \times 9 = - 14\)

 واضح است كه اگر \(x \le - 2\) آن گاه \(f(x) = - 1\) و اگر \(x \ge 2\) آن گاه \(f(x) = - 1\)  اما به ازاي \( - 1 \le x \le 1\) نمودار تابع خطي است لذا با داشتن دو نقطه از آن مثلاً نقاط \(( - 2,1)\)  و \((0,0)\) ميتوان معادله آن را به دست آورد. شيب خط برابر است با \(\frac{{1 - 0}}{{ - 2 - 0}} = - \frac{1}{2}\)  و معادله آن به صورت \(y - 0 = - \frac{1}{2}(x - 1)\) يا \(y - 0 = - \frac{1}{2}x\) است لذا ضابطه تابع f به صورت

\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}1,x < - 2\\\\ - \frac{1}{2}x, - 2 \le x \le 2\\\\ - 1,x > 2\end{array} \right.\)

ميباشد توجه كنيد كه اين تابع را توان به صورت \(f(x) = \frac{1}{4}(\left| {x - 2} \right| - \left| {x + 2} \right|)\) نيز نوشت .