درسنامه کامل ریاضی نهم فصل 4 توان و ریشه
تعداد بازدید : 3.73Mخلاصه نکات ریاضی نهم فصل 4 توان و ریشه - درسنامه شب امتحان ریاضی نهم فصل 4 توان و ریشه - جزوه شب امتحان ریاضی نهم نوبت اول فصل 4 توان و ریشه
اعداد توان دار
توان
اگر عددی چند بار در خودش ضرب شود برای خلاصه نویسی از توان استفاده می شود.
مثال
ضرب اعداد توان دار
الف) اگر پایه ها برابر باشند: یکی از پایه ها را نوشته و توان ها را با هم جمع می کنیم.
مثال
\(\begin{array}{l}{a^m} \times {a^n} = {a^{m + n}}\\\\{4^7} \times {4^3} = {4^{10}}\end{array}\)
ب) اگر توان ها برابر باشند: یکی از توان ها را نوشته و پایه ها را در هم ضرب می کنیم.
مثال
\(\begin{array}{l}{a^m} \times {b^m} = {(ab)^m}\\\\{12^7} \times {3^7} = {36^7}\end{array}\)
تقسیم اعداد توان دار
الف) اگر پایه ها برابر باشند: یکی از پایه ها را نوشته و توان ها را از هم کم میکنیم
مثال
\(\begin{array}{l}{a^m} \div {a^n} = {a^{m - n}}\\\\\frac{{{9^5}}}{{{9^3}}} = {9^2}\end{array}\)
ب) اگر توان ها برابر باشند: یکی از توان ها را نوشته و پایه ها را بر هم تقسیم می کنیم.
مثال
\(\begin{array}{l}{a^m} \div {b^m} = {(\frac{a}{b})^m}\\\\{20^8} \div {4^8} = {5^8}\end{array}\)
1 اگر در ضرب و تقسیم اعداد توان دار پایه ها و توانها برابر نباشند از تجزیه استفاده می کنیم.
مانند :
\(\begin{array}{l}{4^8} \times {2^3} = {({2^2})^8} \times {2^3} = {2^{19}}\\\\{9^2} \div 27 = {({3^2})^2} \div {3^2} = 3\end{array}\)
2 اگر اعداد توان دار مثل هم باشند و بین آنها علامت جمع باشد آن عبارت را تبدیل به ضرب می کنیم.
\(\begin{array}{l}{2^6} + {2^6} = 2 \times {2^6} = {2^7}\\\\{9^5} \times {9^5} \times {9^5} = 3 \times {9^5} = {3^1} \times {({3^2})^5} = {3^{11}}\end{array}\)
تهیه کننده :مسعود زیرکاری
مای درس ، برترین اپلیکیشن کمک درسی ایران
پوشش تمام محتواهای درسی پایه نهم- آزمون آنلاین تمامی دروس پایه نهم
- گام به گام تمامی دروس پایه نهم
- ویدئو های آموزشی تمامی دروس پایه نهم
- گنجینه ای از جزوات و نمونه سوالات تمامی دروس پایه نهم
- فلش کارت های آماده دروس پایه نهم
- گنجینه ای جامع از انشاء های آماده پایه نهم
- آموزش جامع آرایه های ادبی، دستور زبان، قواعد زبان انگلیسی و ... ویژه پایه نهم
کاملا رایگان
+500 هزار کاربر
همین حالا نصب کن
توان منفی
توان منفی
برای به دست آوردن توان منفی عدد پایه را معکوس کرده تا به توان مثبت تبدیل شود.
\({a^{ - n}} = {(\frac{1}{a})^n}\)
1 تمام قواعد اعداد توان دار برای اعداد با توان منفی صدق می کند.
2 اگر عدد صحیحی غیر از صفر از صورت به مخرج و یا از مخرج به صورت انتقال داده شود توان آن قرینه می شود.
مثال
حاصل هر عبارت را به صورت توان طبیعی (توان مثبت) بنویسید.
\({5^{ - 6}}\)
\({5^{ - 6}} = {(\frac{1}{5})^6}\)
\({3^{ - 4}} \times {3^2} \div 27\)
\({3^{ - 4}} \times {3^2} \div 27 = {3^{ - 4}} \times {3^2} \div {3^3} = {3^{ - 5}} = {(\frac{1}{3})^5}\)
\(\frac{{{{20}^{ - 6}}}}{{{5^2} \times {4^{ - 6}}}}\)
\(\frac{{{{20}^{ - 6}}}}{{{5^2} \times {4^{ - 6}}}} = \frac{{{5^{ - 6}}}}{{{5^2}}} = {5^{ - 8}} = {(\frac{1}{5})^8}\)
\(\frac{{{4^7} \times {3^{ - 6}}}}{{{3^3} \times {4^{ - 2}}}}\)
\(\frac{{{4^7} \times {3^{ - 6}}}}{{{3^3} \times {4^{ - 2}}}} = \frac{{{4^7} \times {4^2}}}{{{3^3} \times {3^6}}} = {(\frac{4}{3})^9}\)
هر عدد (غیر از صفر) به توان صفر باشد حاصل عدد یک است.
مثال
حاصل عبارت مقابل را به دست آورید؟
\({3^2} + {5^0} - {2^{ - 2}}\)
\({3^2} + {5^0} - {2^{ - 2}} = 9 + 1 - \frac{1}{4} = \frac{{40 - 1}}{4} = \frac{{39}}{4} = 9\frac{3}{4}\)
تهیه کننده :مسعود زیرکاری
جزوات جامع پایه نهم
جزوه جامع ریاضی نهم فصل 1 مجموعه ها
جزوه جامع ریاضی نهم فصل 2 عددهای حقیقی
جزوه جامع ریاضی نهم فصل 3 استدلال و اثبات در هندسه
جزوه جامع ریاضی نهم فصل 4 توان و ریشه
جزوه جامع ریاضی نهم فصل 5 عبارت های جبری
جزوه جامع ریاضی نهم فصل 6 خط و معادله های خطی
جزوه جامع ریاضی نهم فصل 7 عبارت های گویا
جزوه جامع ریاضی نهم فصل 8 حجم و مساحت
نماد علمی
نماد علمی
برای محاسبه ساده تر اعداد خیلی بزرگ و اعداد خیلی کوچک آنها را به صورت توانی از عدد ۱۰ می نویسیم.
به طور کلی نماد علمی هر عدد اعشاری مثبت به صورت \(a \times {10^n}\) است که در آن \(1 \le a < 10\) وn عدد صحیحی است.
الف نماد علمی اعداد خیلی بزرگ توان (مثبت) ابتدا یک رقم از سمت چپ جدا کرده سپس به تعداد رقم های بعد از ممیز توانی از عدد ۱۰ می نویسیم
مانند :
\(\begin{array}{l}341000000 = 3/41 \times {10^8}\\\\14752/93 = 1/475293 \times {10^4}\end{array}\)
ب نماد علمی اعداد خیلی کوچک توان منفی ابتدا یک رقم مخالف صفر از سمت چپ جدا کرده سپس به تعداد رقم های قبل از ممیز توانی از عدد ۱۰ می نویسیم.
مانند :
\(\begin{array}{l}0/0000037 = 3/7 \times {10^{ - 6}}\\\\0/00678 = 6/78 \times {10^{ - 3}}\end{array}\)
مثال
حاصل عبارت زیر را به صورت نماد علمی بنویسید.
\(530000 \times 0/00027\)
\(530000 \times 0/00027 = 5/3 \times {10^5} \times 2/7 \times {10^{ - 4}} = 14/32 \times {10^1} = 1/432 \times {10^2}\)
تهیه کننده :مسعود زیرکاری
ریشه گیری
ریشه گیری
الف) ریشه دوم اعداد هر عدد دارای دو ریشه دوم است :(یکی مثبت و دیگری منفی)
مانند :
\({4^2} = {( - 4)^2} = 16 \Rightarrow \sqrt {16} = 4, - 4\)
ریشه های دوم ۱۶ برابر است با ۴ و ۴-
ب) ریشه سوم اعداد هر عدد دارای یک ریشه سوم است.
اعداد منفی جذر )ریشه دوم( ندارند (چون مجذور دو عدد مثل هم هیچ وقت منفی نمی شود)
اگر a یک عدد حقیقی باشد ریشه سوم آن را به صورت \(\sqrt[3]{a}\) نشان می دهیم.
مانند :
\(\begin{array}{l}{3^3} = 27 \Rightarrow \sqrt[3]{{27}} = 3\\\\{( - 3)^3} = - 27 \Rightarrow \sqrt[3]{{ - 27}} = - 3\end{array}\)
مثال
حاصل جذرهای زیر را به دست آورید.
\(\sqrt {64 \times \frac{1}{9}} \)
\(\sqrt {64 \times \frac{1}{9}} = 8 \times \frac{1}{3} = \frac{8}{3}\)
\(4\sqrt[3]{{ - 125}}\)
\(4\sqrt[3]{{ - 125}} = 4 \times - 5 = - 20\)
\(\sqrt {64} \times \sqrt[3]{{ - 64}}\)
\(\sqrt {64} \times \sqrt[3]{{ - 64}} = 8 \times - 4 = - 32\)
\(\sqrt[3]{{0/001}} \times \sqrt {\sqrt {16} } \)
\(\sqrt[3]{{0/001}} \times \sqrt {\sqrt {16} } = 0/1 \times 2 = 0/2\)
تهیه کننده :مسعود زیرکاری
مای درس ، برترین اپلیکیشن کمک درسی ایران
پوشش تمام محتواهای درسی پایه نهم- آزمون آنلاین تمامی دروس پایه نهم
- گام به گام تمامی دروس پایه نهم
- ویدئو های آموزشی تمامی دروس پایه نهم
- گنجینه ای از جزوات و نمونه سوالات تمامی دروس پایه نهم
- فلش کارت های آماده دروس پایه نهم
- گنجینه ای جامع از انشاء های آماده پایه نهم
- آموزش جامع آرایه های ادبی، دستور زبان، قواعد زبان انگلیسی و ... ویژه پایه نهم
کاملا رایگان
+500 هزار کاربر
همین حالا نصب کن
ضرب و تقسیم و ساده کردن رادیکال ها
ضرب و تقسیم رادیکال ها
اگر دو رادیکال دارای ریشه (فرجه یکسان باشند میتوانیم آنها را در هم ضرب یا بر هم تقسیم کنیم.
اگر رادیکال ها دارای عدد صحیح باشند ابتدا اعداد صحیح را ضرب یا تقسیم کرده سپس رادیکال ها را ضرب یا تقسیم می کنیم.
مثال
حاصل ضرب و تقسیم های زیر را به دست آورید.
\(2\sqrt 2 \times \sqrt 8 \)
\(2\sqrt 2 \times \sqrt 8 = 2\sqrt {16} = 2 \times 4 = 8\)
\(\sqrt[3]{{ - 2}} \times \sqrt[3]{{32}}\)
\(\sqrt[3]{{ - 2}} \times \sqrt[3]{{32}} = \sqrt[3]{{ - 64}} = - 4\)
\(8\sqrt {50} \div 4\sqrt 2 \)
\(8\sqrt {50} \div 4\sqrt 2 = 2\sqrt {25} = 2 \times 5 = 10\)
\(9\sqrt[3]{{54}} \div 3\sqrt[3]{2}\)
\(9\sqrt[3]{{54}} \div 3\sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{{27}} = 3 \times 3 = 9\)
ساده کردن رادیکال ها
بعضی از رادیکال ها را میتوان ساده کرد. به این صورت که برای عدد یک ضربی بنویسیم که یکی از آن اعداد ریشه دوم یا ریشه سوم داشته باشد.
مثال
\(\begin{array}{l}\sqrt {20} = \sqrt {4 \times 5} = 2\sqrt 5 \\\\\sqrt[3]{{128}} = \sqrt[3]{{2 \times 64}} = 4\sqrt[3]{2}\\\\\sqrt[3]{{81}} = \sqrt[3]{{3 \times 27}} = 3\sqrt[3]{3}\end{array}\)
تهیه کننده :مسعود زیرکاری
جزوات جامع پایه نهم
جزوه جامع ریاضی نهم فصل 1 مجموعه ها
جزوه جامع ریاضی نهم فصل 2 عددهای حقیقی
جزوه جامع ریاضی نهم فصل 3 استدلال و اثبات در هندسه
جزوه جامع ریاضی نهم فصل 4 توان و ریشه
جزوه جامع ریاضی نهم فصل 5 عبارت های جبری
جزوه جامع ریاضی نهم فصل 6 خط و معادله های خطی
جزوه جامع ریاضی نهم فصل 7 عبارت های گویا
جزوه جامع ریاضی نهم فصل 8 حجم و مساحت
جمع و تفریق رادیکال ها
جمع و تفریق رادیکال ها
اگر قسمت رادیکال ها پس از ساده کردن مثل هم باشند میتوانیم آنها را همانند عبارت های جبری با هم جمع یا تفریق کنیم.
مانند :
\(5\sqrt 2 - 6\sqrt 5 + 3\sqrt 2 - 6\sqrt 2 - 3\sqrt 5 = 2\sqrt 2 - 9\sqrt 5 \)
مثال
عبارت های زیر را ساده کنید.
\(2\sqrt 2 - \sqrt {75} - 3\sqrt {72} + 4\sqrt 3 \)
\(2\sqrt 2 - \sqrt {75} - 3\sqrt {72} + 4\sqrt 3 = 2\sqrt 2 - \sqrt {3 \times 25} - 3\sqrt {2 \times 36} + 4\sqrt 3 = - 16\sqrt 2 - \sqrt 3 \)
\(\sqrt {18} + 3\sqrt[3]{{ - 54}} + \sqrt[3]{{16}} - 2\sqrt 8 \)
\(\sqrt {18} + 3\sqrt[3]{{ - 54}} + \sqrt[3]{{16}} - 2\sqrt 8 = \sqrt {2 \times 9} + 3\sqrt[3]{{2 \times - 27}} + \sqrt[4]{{2 \times 8}} - 2\sqrt {2 \times 4} = 3\sqrt 2 + - 9\sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{2} - 4\sqrt 2 = - \sqrt 2 - 7\sqrt[3]{2}\)
گویا کردن مخرج کسرهای رادیکالی
گاهی اوقات برای ساده کردن لازم است مخرج کسر را از حالت رادیکالی بیرون بیاوریم که برای این کار صورت و مخرج را در عددی ضرب میکنیم تا مخرج از حالت رادیکالی خارج شود.
الف) مخرج کسر دارای ریشه دوم باشد: صورت و مخرج را در همان رادیکال مخرج ضرب می کنیم.
مثال
\(\begin{array}{l}\frac{3}{{\sqrt 5 }} = \frac{{3 \times \sqrt 5 }}{{\sqrt 5 \times \sqrt 5 }} = \frac{{3\sqrt 5 }}{5}\\\\\frac{2}{{3\sqrt 2 }} = \frac{{2 \times \sqrt 2 }}{{3\sqrt 2 \times \sqrt 2 }} = \frac{{2\sqrt 2 }}{6} = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\end{array}\)
ب) مخرج کسر دارای ریشه سوم باشد صورت و مخرج را در همان رادیکال مخرج ضرب کرده با این تفاوت که عدد زیر رادیکال به توان ۳ برسد. برای این کار فرجه را توان کم کرده تا توان عدد زیر رادیکال مشخص شود.
مثال
\(\begin{array}{l}\sqrt[3]{{\frac{3}{7}}} = \frac{{\sqrt[3]{3}}}{{\sqrt[3]{7}}} = \frac{{\sqrt[3]{3} \times \sqrt[3]{{{7^2}}}}}{{\sqrt[3]{7} \times \sqrt[3]{{{7^2}}}}} = \frac{{\sqrt[3]{{147}}}}{7}\\\\\frac{1}{{\sqrt[3]{{{a^2}}}}} = \frac{{1 \times \sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} \times \sqrt[3]{a}}} = \frac{{\sqrt[3]{a}}}{a}\end{array}\)
تهیه کننده :مسعود زیرکاری