درسنامه کامل فیزیک (3) رشته ریاضی فصل 2 دینامیک و حرکت دایره ای

ديناميک به بررسی علت حركت می پردازد.

ويژگی های نيرو:

1. نيرو حاصل بر هم كنش يا اثر متقابل دو جسم بر يكديگر است.
2. نيرو كميتی برداری است كه يكای آن نيوتن (N) است.
3. اثر نيرو بر يک جسم به شكل های مختلف مانند شروع به حركت كردن، توقف، كم و زياد شدن اندازه ی سرعت، تغيير جهت سرعت و تغيير شكل جسم ، خود را نشان می دهد.

محاسبه نیروی خالص

1) اگر دو بردار با يكديگر هم جهت باشند؛

\(1){F_{net}} = {F_1} + {F_2}\)

2) اگر دو بردار خلاف جهت يكديگر باشند؛

\(2){F_{net}} = \left| {{F_1} - {F_2}} \right|\)

3) اگر دو بردار عمود بر هم باشند؛

\(3){F_{net}} = \sqrt {F_1^2 + F_2^2} \)

4) اگر دو بردار هم اندازه و عمود بر هم باشند؛

\(4){F_{net}} = \sqrt 2 {F_1}\)

روش حل مسائل ديناميک

به ترتيب زير عمل كنيد:

1. رسم تمام نيروهای وارد بر جسم.
2. انتخاب محورهای مختصات مناسب (در صورتی كه حركت شتاب دار باشد بهتر است يكی از محورها در جهت شتاب حركت باشد)
3. نوشتن قانون اول يا دوم نيوتن روی محور های x و y به طور جداگانه و حل مسأله.

1) قانون اول نیوتون

يک جسم، حالت سكون يا حركت با سرعت ثابت خود را حفظ می كند مگر آنكه نيروی خالص غير صفری به آن وارد شود.

به عبارت ديگر:

\({F_{net}} = 0\) اگر جسم ساکن باشد یا حرکت یکنواخت روی خط راست انجام دهد.

لختی

هنگامی كه نيروی خالص وارد بر جسم صفر باشد، جسم حالت سكون يا حركت يكنواخت خود را حفظ می كند، به اين خاصيت لختی گفته می شود.

2) قانون دوم نیوتون

هر گاه برجسمی نيروی خالصی وارد شود، جسم تحت تأثير آن نيرو شتاب می گيرد كه اين شتاب با نيروی خالص وارد بر جسم نسبت مستقيم دارد و در همان جهت نيروی خالص است و با جرم جسم نسبت وارون دارد:

\({F_{net}} = ma\)  اگر جسم حرکت شتاب دار داشته باشد. (سرعت جسم تغییر کند)

3) قانون سوم نیوتون

هرگاه جسمی به جسم ديگر نيرو وارد كند، جسم دوم نيز به جسم اول نيرويی هم اندازه و هم راستا در خلاف جهت وارد می كند. (نيروها ی كنش و واكنش با هم برابرند و درخلاف جهت يكديگر)

وزن يک جسم روی زمين ، نيروی گرانشی است كه از طرف زمين بر جسم وارد می شود، كه به صورت زير قابل محاسبه است:

\(W = mg\)

نيرويی كه از طرف سطح به اجسام روی آن و به صورت عمود بر سطح وارد می شود، نيروی عمودی سطح (نيروی عمودی تكيه گاه) ناميده می شود. (این نیرو با \({F_N}\)  نمایش داده می شود)

وقتی تلاش می كنيم جسمی را روی سطحی به حركت در آوريم، چه جسم حركت كند و چه ساكن بماند، با مقاومتی از طرف سطح روبه رو می شويم كه به آن نيروی اصطكاک می گوييم.

انواع نیروی اصطکاک

الف) نيروی اصطكاک ايستايی (\({f_s}\))

هنگامی كه نيرويی برای حركت دادن جسم روی سطح وارد می شود، اما جسم حركت نكند، نيرويی كه از طرف سطح در مقابل حركت وارد می شود ، نيروی اصطكاک ايستايی ناميده می شود:

\({f_s} = F\)

ب) نیروی اصطکاک در آستانه ی حرکت (\({f_{s\max }}\) )

اين نيرو، نوعی نيروی اصطكاک ايستايی است، هنگامی كه نيرويی بر جسم وارد شود و آن را در آستانه ی حركت قرار دهد (يعنی جسم هنوز شروع به حركت نكرده است اما با تغيير ناچيزی در شرايط جسم شروع به حركت كند)، نيرويی كه در برابر حركت جسم مقاومت می كند، نيروی اصطكاک در آستانه ی حركت ناميده می شود و در واقع اين نيرو بيشينه ی نيروی اصطكاک ايستايی است:

\(\begin{array}{l}{f_{s\max }} = F\\{f_{s\max }} = {\mu _s}{F_N}\end{array}\)

\({\mu _s}\)  ضریب اصطکاک ایستایی

\({F_N}\)  نیروی عمودی تکیه گاه

طراحی آزمايش برای تعيين ضريب اصطكاک ايستايی جسم با سطح:

ابتدا مانند تصوير به نيروسنج متصل به جسم را به تدريج می كشيم تا جسم در آستانه حركت قرار گيرد. (يعنی با ضربه كوچكی شروع به حركت نمايد)

در اين لحظه عدد نيرو سنج را می خوانيم در اين وضعيت عددی كه نيروسنج نشان می دهد (F) همان نيروی اصطكاک آستانه حركت (\({f_{s\max }}\) ) است. با رابطه زير ضريب اصطكاک ايستايی را محاسبه می كنيم:

\({f_{s\max }} = F \to {\mu _s}{F_N} = F \to {\mu _s}mg = F \to {\mu _s} = \frac{F}{{mg}}\)

پ) نیروی اصطکاک جنبشی (\({f_K}\) )

نيرويی است كه از طرف سطح در خلاف جهت حركت بر اجسام متحرک وارد می شود:

\({f_K} = {\mu _K}{F_N}\)

\({\mu _K}\)  ضریب اصطکاک جنبشی

\({F_N}\)  نیروی عمودی تکیه گاه

در مسائلی كه مشخص نيست جسم ساكن است يا متحرک، ابتدا با رابطه ی \({f_{s\max }} = {\mu _s}{F_N}\) ، بيشينه ی اصطكاک ايستايی را محاسبه می كنيم و سپس آن را با نيروی كشش وارد بر جسم (نيروی خلاف جهت اصطكاک) مقايسه می كنيم و به موارد زير توجه می كنيم:

1.  اگر نيروی كشش بزرگتر از \({f_{s\max }}\)  باشد، آنگاه جسم حرکت می کند و در نتیجه اصطکاک سطح از نوع \({f_K}\)  است.
2. اگر نيروی كشش کوچکتر از \({f_{s\max }}\)  باشد، آنگاه جسم ساکن است و در نتیجه اصطکاک سطح از نوع \({f_s}\) است.
3.  اگر نيروی كشش برابر با \({f_{s\max }}\)  باشد، آنگاه جسم در آستانه ی حرکت است و در نتیجه اصطکاک سطح از نوع \({f_{s\max }}\)  است.

برآيند نيروهايی كه از طرف سطح به جسم وارد می شوند (برآيند نيروی اصطكاک و نيروی عمودی تكيه گاه) نيروی واكنش سطح ناميده می شود:

\(R = \sqrt {f_{fri}^2 + F_N^2} \)

وقتی جسمی در يک شاره (مايع يا گاز) قرار دارد و نسبت به آن حركت می كند از طرف شاره نيرويی در خلاف جهت حركت جسم ، به آن وارد می شود كه به آن نيروی مقاومت شاره می گويند و معمولاً آن را با \({f_D}\)  نشان می دهند.

تندی حدی

هنگام سقوط آزاد جسمی مانند چتر نجات يا قطرات باران، تندی جسم كاهش می يابد تا اينكه نيروی مقاومت هوا با وزن جسم هم اندازه شده و پس از آن جسم با تندی ثابتی به طرف پايين حركت می كند. به اين تندی ثابت تندی حدی گفته می شود.

نيروی بالا سويی كه از طرف شاره به جسم شناور يا غوطه ور در شاره وارد می شود، نيروی شناوری گفته می شود که با \({F_b}\)  نشان می دهند.

اگر فنر را بكشيم يا فشرده كنيم، فنر نيرويی به طرف نقطه ی تعادل به جسم وارد می كند كه به آن نيروی فنر گفته می شود و با \({F_e}\)  نمايش داده می شود كه جهت آن از جسم به سمت بيرون و در راستای فنر است و با رابطه ی زير محاسبه می گردد:

\({F_e} = k\Delta x\)

K ثابت فنر یا ضریب سختی فنر (\(\frac{N}{m}\) )

\(\Delta x\)  تغییر طول فنر (m)

قانون هوک

نسبت نيروی وارد شده به فنر به تغيير طول آن همواره مقدار ثابتی است.

عوامل مؤثر بر ضريب سختی فنر عبارتند از:

1. اندازه فنر
2. شکل فنر
3. جنس فنر

طراحی آزمايش برای تعيين ضريب سختی فنر

فنری با طول اوليه مشخص را مانند تصوير از يک نقطه به طور قائم آويزان می كنيم و به سر ديگر آن جسمی به جرم m وصل می كنيم. پس از رسيدن فنر به حالت تعادل ، تغيير طول فنر (\(\Delta x\) ) را حساب كرده و از رابطه زير ثابت فنر به دست می آيد:

\(K\Delta x = mg \to K = \frac{{mg}}{{\Delta x}}\)

هنگامی كه با يک طناب جسمی را می كشيم ، طناب نيز با نيرويی جسم را می كشد كه به آن نيروی كشش ريسمان گفته می شود و جهت آن از جسم به سمت بيرون و در راستای طناب است و اين نيرو با نماد T نشان داده می شود.

تمرین

در اينگونه مسائل بايد توجه داشته باشيد كه شتاب اجسام داخل آسانسور همان شتاب خود آسانسور است، به مثال های زير كه برای كابل آسانسور نوشته شده است توجه كنيد: ( توصيه می كنيم كه جهت محور y را جهت شتاب آسانسور فرض كنيد)

1) اگر شتاب آسانسور رو به بالا باشد:

2) اگر شتاب آسانسور رو به پايين باشد:

وزن ظاهری اجسام داخل آسانسور

نيروی عمودی تكيه گاه (\({F_N}\) ) كه از طرف كف آسانسور بر اجسام داخل آسانسور وارد می شود همان وزن ظاهری جسم داخل آسانسور با محتوياتش است .

حاصل ضرب جرم جسم در سرعتش تكانه ناميده می شود.

بردار تکانه (\(\vec P = m\vec V\) )

اندازه ی تکانه (\(P = mV\) )

تغييرات تكانه، به صورت زير به دست می آيد:

بردار تغییرات تکانه (\(\Delta \vec P = m\Delta \vec V\) )

اندازه ی تغییرات تکانه (\(\Delta P = m\Delta V\)  )

رابطه ی تكانه و قانون دوم نيوتن (رابطه ی نيرو و تغييرات تكانه)

بردار نیروی خالص

\({\vec F_{av}} = \frac{{\Delta \vec P}}{{\Delta t}}\)

اندازه ی بردار نیروی خالص

\({F_{av}} = \frac{{\Delta P}}{{\Delta t}}\)

انرژی جنبشی با تكانه رابطه ای به صورت زير است:

\(K = \frac{{{P^2}}}{{2m}}\)

تکانه (\(\frac{{Kg \times m}}{s}\) )

نيروی جاذبه بين دو جسم دارای جرم نيروی گرانشی ناميده می شود. (طبق قانون سوم نيوتن اين دو يک جفت نيروی كنش-واكنش را تشكيل می دهند)

تعريف قانون عمومی گرانش

نيروی گرانش ميان دو ذره با حاصل ضرب جرم دو ذره نسبت مستقيم و با مربع فاصله ی آن ها از يكديگر نسبت وارون دارد:

\(F = \frac{{G{m_1}{m_2}}}{{{r^2}}},G = 6/67 \times {10^{ - 11}}\frac{{N \times {m^2}}}{{K{g^2}}}\)

جزئيات بيش تر در رابطه با نيروی وزن

با توجه به اينكه نيروی وزن نوعی نيروی گرانش محسوب می شود، بايد با حالت های زير برای نيروی وزن آشنا باشيد:

1) نيروی وزن در سطح زمين

\({M_e}\)  جرم کره زمین

\({{\mathop{\rm R}\nolimits} _e}\)  شعاع کره زمین

\(g\) شتاب گرانش در سطح زمین

2) نيروی وزن در ارتفاع معينی از سطح زمين

\({M_e}\)  جرم کره زمین

\({{\mathop{\rm R}\nolimits} _e}\)  شعاع کره زمین

H ارتفاع از سطح زمین

\({g_h}\)  شتاب گرانش در سطح زمین

3) نیروی وزن در کرات و سیارات دیگر

\(M'\) جرم سیاره

\(R'\) شعاع سیاره

\(g'\)  شتاب گرانش در سطح سیاره

حركت جسمی روی يک دايره يا بخشی از آن كه با تندی ثابت انجام می شود حركت دايره ای يكنواخت نام دارد.

در حركت دايره ای يكنواخت اندازه سرعت ( تندی) ثابت است اما جهت بردار سرعت تغيير می كند، بنابراين يک حركت شتاب دار محسوب می شود.

در حركت دايره ای يكنواخت ذره در بازه های زمانی برابر، مسافت های يكسانی را طی می كند. (زيرا در زمان های مساوی زاويه ها ی يكسانی را می چرخد)

دوره تناوب در حركت دايره ای يكنواخت

زمان لازم برای پيمودن يک دور محيط دايره را دوره ی تناوب (دوره) می نامند، كه با فرمول های زير محاسبه می گردد:

\(\begin{array}{l}T = \frac{{2\pi r}}{V}\\T = \frac{t}{N}\end{array}\)

 r)) شعاع دايره

V)) اندازه ی سرعت

t)) زمان كل گردش ها

N)) تعداد كل گردش ها

T)) دوره يا زمان تناوب

بسامد در حركت دايره ای يكنواخت

تعداد گردش ها در هر ثانيه است كه به صورت زير محاسبه می گردد:

\(f = \frac{N}{t}\)

محاسبه ی زاويه ای كه ذره در يک بازه ی زمانی روی دايره می چرخد:

اين زاويه برحسب راديان به صورت زير به دست می آيد:

\(\Delta \theta = \frac{{2\pi }}{T}\Delta t\)

شتاب مركز گرا در حركت دايره ای يكنواخت

همانطور كه گفته شد در حركت دايره ای يكنواخت، اندازه ی سرعت ثابت است اما جهت آن دائم تغيير می كند به همين دليل اين حركت يک حركت شتاب دار است، شتاب حركت همواره به سمت مركز دايره است و اندازه ی آن به صورت زير محاسبه می شود:

\(\begin{array}{l}{a_c} = \frac{{{V^2}}}{r}\\{a_c} = \frac{{4{\pi ^2}r}}{{{T^2}}}\end{array}\)

قانون دوم نيوتن در حركت دايره ای يكنواخت

از آنجا كه شتاب يک جسم را نيروی خالص وارد بر آن ايجاد می كند و شتاب جسم همواره در راستا و جهت نيروی خالص وارد بر جسم است، بنابراين در اين حركت همواره يک نيروی خالص رو به مركز دايره وجود دارد كه به آن نيروی مركز گرا گفته می شود:

\(\begin{array}{l}{F_{net}} = m{a_c} \to {F_{net}} = \frac{{m{V^2}}}{r}\\{F_{net}} = m{a_c} \to {F_{net}} = \frac{{4{\pi ^2}rm}}{{{T^2}}}\end{array}\)

حرکت ماهواره ای

حركت ماهواره ها و كره ی ماه به دور كره ی زمين را حركت ماهواره ای می گويند، تنها نيرويی كه بر چنين اجرامی وارد می شود نيروی گرانش است (\({F_r} = {W_h}\) )، بنابراين شتاب مركز گرا نيز همان شتاب گرانش است و برای حركت های ماهواره ای روابطی به صورت زير می توان نوشت:

\(\begin{array}{l}{a_c} = {g_h} \to \frac{{{V^2}}}{r} = \frac{{G{M_e}}}{{{{({{\mathop{\rm R}\nolimits} _e} + h)}^2}}}\\{a_c} = {g_h} \to \frac{{4{\pi ^2}r}}{{{T^2}}} = \frac{{G{M_e}}}{{{{({{\mathop{\rm R}\nolimits} _e} + h)}^2}}}\\ \to r = {{\mathop{\rm R}\nolimits} _e} + h\end{array}\)