درسنامه کامل فیزیک (3) رشته ریاضی فصل 3 نوسان و موج

تكرار منظم يک حركت چرخه يا سيكل نوسان گفته می شود.

انواع نوسان ها

نوسان ها به دو دسته ی زير تقسيم می شوند:

1) نوسان دوره ای

نوسان هايی كه را كه هر چرخه ی آن در دورهای ديگر تكرار می شود نوسان دوره ای می نامند. مانند (مانند ضرب آهنگ (ریتم)، قلب انسان)

2) نوسان غیر دوره ای

نوسان روی خط راست

يک رفت و برگشت نوسانگر، نوسان ناميده می شود. هر نوسان دارای 4 قسمت به شكل زير است:

دوره تناوب

مدت زمان يک نوسان (چرخه)، دوره تناوب حركت ناميده می شود، كه به صورت زير محاسبه می گردد:

\(T = \frac{t}{N}\)

بسامد(فركانس)

تعداد نوسان های انجام شده (تعداد چرخه) در هر ثانيه بسامد ناميده می شود كه به صورت زير محاسبه می گردد:

\(f = \frac{N}{t}\)

حركت هماهنگ ساده (SHM)

به نوسان های سينوسی، حركت هماهنگ ساده گفته می شود.

حركت نوسانی وزنه-فنر

يک نمونه معروف از حركت هماهنگ ساده است. اگر فرض كنيم نوسان روی سطح بدون اصطكاكی صورت می گيرد و مكان جسم را در بازه های متوالی و يكسان ثبت كنيم به نموداری سينوسی می رسيم كه در شكل مقابل آمده است:

نقطه تعادل (مرکز نوسان)

وسط پاره خط نوسانی مركز نوسان گفته می شود.

دامنه نوسان (A)

بيشترين فاصله ی نوسانگر از نقطه ی تعادل دامنه ناميده می شود.

نقاط بازگشت حركت

وقتی نوسانگر در مكان \(x = \pm A\)  است، سرعت آن برابر صفر است. به اين نقطه ها نقاط بازگشت حركت می گوييم.

بسامد زاويه ای

رابطه ای به صورت زير دارد:

\(\omega = \frac{{2\pi }}{T}\)

 بسامد زاویه (\(\frac{{rad}}{s}\) )

ويژگی های كلی حركت نوسانی

علامت و جهت سرعت، شتاب و نيرو در حركت نوسانی

1) سرعت (V) همواره در جهت حركت است.

2) شتاب (a) و نیرو (F) همواره به سمت مركز نوسان است.

علامت هر يک از بردارهای فوق كه در جهت محور x باشد، مثبت، و هركدام كه در خلاف جهت محور x، باشد منفی است.

معادله و نمودار مكان-زمان در حركت نوسانی

\(X = A\cos \omega t\)

X مکان نوسانگر

A دامنه

\(\omega \) بسامد زاویه ای (\(rad.{s^{ - 1}}\) )

T دوره

بيشينه سرعت نوسانگر

نوسانگر هماهنگ ساده هنگامی كه به نقطه ی تعادل می رسد سرعتش بيشينه می شود كه اين بيشينه ی سرعت با را بطه ی زير قابل محاسبه است:

\({V_m} = A\omega \)

معادله شتاب-مكان در حركت نوسانی

\(a = - {\omega ^2}x\)

با توجه به اينكه يک نوسان كامل 4 قسمت دارد و اين 4 قسمت به اندازه يک دوره (T) زمان نياز دارد، می توان نتيجه گرفت هر يک از 4 قسمت \(\frac{T}{4}\) زمان نیاز دارد:

دوره تناوب نوسانگر جرم-فنر

علاوه بر فرمول های قبلی رابطه ی زير برای محاسبه ی دوره تناوب سامانه وزنه-فنر قابل محاسبه است:

\(\begin{array}{l}T = 2\pi \sqrt {\frac{m}{k}} \\k = m{\omega ^2}\end{array}\)

آونگ ساده شامل وزنه ی كوچكی به جرم m است كه از نخی بدون جرم و كش نيامدنی به طول L كه سر ديگر آن ثابت شده، آويزان است. اگر زاويه ی انحراف آونگ از وضع تعادل كوچک باشد، آونگ حركت هماهنگ ساده خواهد داشت و علاوه بر تمام روابط حركت هماهنگ ساده، رابطه ی زير نيز برای دوره تناوب آن بر قرار است:

\(T = 2\pi \sqrt {\frac{L}{g}} \)

انرژی جنبشی در حركت هماهنگ ساده

با توجه به فيزيک 1 به صورت زير قابل محاسبه است:

\(K = \frac{1}{2}m{V^2}\)

انرژي پتاسيل در حركت هماهنگ ساده

برای اين انرژی رابطه ای در كتاب درسی نيامده است ولی با كمک انرژی جنبشی (K) و انرژی مكانيكی (E) می توان آن را به دست آورد.

انرژی مكانيكی در حركت هماهنگ ساده

انرژی مكانيكی، مجموع انرژی جنبشی و انرژی پتانسيل است و به صورت زير می توان برای آن رابطه نوشت:

\(\begin{array}{l}E = U + K\\E = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2}\end{array}\)

نمودار انرژی جنبشی و انرژی پتانسيل بر حسب مكان:

بسامد طبيعی

هر نوسانگر با انحراف از وضع تعادل با بسامدی معين شروع به نوسان می كند. به اين نوسان ها بسامد طبيعی گفته می شود. (بسامد اين نوسان با \({f_o}\)  نمايش داده می شود.)

نوسان واداشته

هر نوسانگری با اعمال نيروی خارجی با بسامد متفاوتی نسبت به بسامد طبيعی شروع به نوسان می كند، به چنين نوسانی، نوسان واداشته گفته می شود. (بسامد اين نوسان با \({f_d}\)  نمايش داده می شود.)

نوسان ميرا

اتلاف انرژی و اصطكاک برای هر نوسانگری كه با بسامد طبيعی نوسان می كند سبب می شود كه پس از مدتی نوسان متوقف گردد، به چنين نوسانی ، نوسان ميرا گفته می شود.

تشديد يا رزونانس

اگر به يک نوسانگر به صورت دوره ای نيرو وارد كنيم و بسامد اين نيرو با بسامد طبيعی نوسانگر برابر باشد (\({f_d} = {f_o}\) ) باشد، دامنه ی نوسانگر تا مقدار معينی بزرگ شده و سپس با همين دامنه نوسان خود را ادامه می دهد، به اين پديده تشديد گفته می شود.

آونگ های بارتون

یک آونگ با وزنه ی سنگين و تعدادی آونگ سبک با طول های متفاوت را مطابق شكل زیر در نظر بگيريد. آونگ ها روی نخی سوار شده اند كه هر دو انتهای آن توسط گيره هايی به تخته آويز متصل شده است. به آونگ سنگين اصطلاحا آونگ وادارنده گفته می شود، زيرا به نوسان در آوردن اين آونگ، موجب تاب خوردن نخ آويز و در نتيجه به نوسان واداشتن ساير آونگ ها می شود. اما از آنجا كه بسامد آونگ مطابق رابطه ی \(f = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{g}{L}} \)  با جذر طول (\(\sqrt L \) ) رابطه مستقيم دارد، بسامد آونگ وادارنده و بسامد آونگ شماره 4 يكسان است (\({f_d} = {f_o}\) ) و در آونگ 4 تشديد رخ می دهد، يعنی دامنه ی نوسان آن بيش از ساير آونگ ها می شود و به مدت طولانی تری نوسان می كند.

هرگاه در ناحيه ای از محيط كشسان ارتعاشی به وجود آيد، موجب پديد آمدن ارتعاش های پی در پی ديگری می شود كه از محل شروع ارتعاش دور و دور ترند و به اين ترتيب موج حاصل می شود.

انواع موج با توجه به محيط انتشار:

1) موج مكانيكی

امواجی كه برای انتشار خود نياز به محيط مادی كشسان دارند موج مكانيكی هستند. ( مانند امواج روی سطح آب و امواج صوتی)

2) موج الكترومغناطيسی

امواجی كه برای انتشار خود نياز به محيط مادی ندارند موج الكترومغناطيسی هستند. (مانند نور مرئی، موج های راديويی و تلويزيونی، ميكروموج ها و پرتوهای X)

تپ موج

تغيير يا آشفتگی ايجاد شده در يک محيط كشسان را تپ موج می گوييم.

موج پيشرونده

موجی است كه از نقطه ای به نقطه ی ديگر حركت كرده و انرژی را با خود منتقل می كنند. (در اين امواج ماده منتقل نمی شود)

انواع موج پيش رونده

1) موج عرضی

موجی است كه راستای جابه جايی هر جزء نوسان كننده (راستای ارتعاش) عمود بر راستای حركت موج (راستای انتشار) است. تصوير زير موج عرضی روی فنر را نشان می دهد.

2) موج طولی

موجی است كه راستای جابه جايی هر جزء نوسان كننده (راستای ارتعاش) منطبق بر راستای حركت موج( راستای انتشار) است. تصوير زير موج طولی روی فنر را نشان می دهد.

چشمه موج

چشمه موج معمولاً يک نوسانگر است كه حركت هماهنگ ساده انجام می دهد و بسامد يک موج همان بسامد چشمه ی موج است.

جبهه موج روی سطح آب

برآمدگی ها يا فرورفتگی های ايجاد شده روی سطح آب، يی جبهه موج ناميده می شود. (به برآمدگی ها قله يا ستيغ و به فرو رفتگی ها دره يا پاستيغ گفته می شود)

دامنه ی موج (A)

بيشينه ی فاصله ی يک ذره از مكان تعادل، دامنه ی موج ناميده می شود. (همان فاصله ی قله يا دره نسبت به سطح آرام يا ساكن است)

دوره تناوب موج (T)

مدت زمانی كه هر ذره ی محيط يک نوسان كامل انجام می دهد دوره تناوب موج ناميده می شود.

بسامد موج (f)

تعداد نوسان های انجام شده توسط هر ذره از محيط در يک ثانيه بسامد موج ناميده می شود.

تندی انتشار موج (V)

مسافت طی شده توسط موج در واحد زمان تندی انتشار ناميده می شود:

\(V = \frac{L}{{\Delta t}}\)

طول موج (\(\lambda \))

مسافتی است كه موج در مدت دوره تناوب نوسان چشمه طی می كند.

\(\begin{array}{l}\lambda = \frac{V}{f}\\\lambda = VT\end{array}\)

با توجه به مفهوم طول موج می توان گفت در مدت زمان) Tدوره) مسافتی كه موج می پيمايد برابر \(\lambda \) است، همچنين برای مسافتی كه موج می پيمايد و زمان، می توان تناسب هايی به صورت زير نوشت:

مشخصه های موج عرضی

فاصله ی دو قله ی متوالی يا دو دره ی متوالی در امواج عرضی برابر طول موج است، همچنين بيشينه ی فاصله ی هر نقطه از مركز نوسان دامنه است:

مشخصه های موج طولی

فاصله دو انبساط (بازشدگی) متوالی يا دو تراكم (جمع شدگی) متوالی در امواج طوليی برابر طول موج است، همچنين بيشينه ی فاصله ی هر نقطه از مركز نوسان، دامنه است:

امواج لرزه ای

امواج لرزه ای، موج های مكانيكی هستند كه از لايه های زمين عبور می كنند. يكی از منشأ های مهم امواج لرزه ای، زمين لرزه ها هستند. انواع امواج لرزه ای عبارتند از:

1. امواج P يا امواج اوليه كه طولی بوده و سرعت بيش تری داشته و سريع تر به دستگاه لرزه نگار می رسد.
2. امواج S يا امواج ثانويه كه عرضی بوده و سرعت كم تری داشته و دير تر به دستگاه لرزه نگار می رسد.

انتقال انرژی در موج عرضی

هر موجی حامل انرژی است. می توان ثابت كرد كه متوسط آهنگ انتقال انرژی (توان متوسط) در يک موج عرضی برای همه ی امواج مكانيكی با دو عامل زير متناسب است:

1) مربع دامنه (\({A^2}\) )

2) مربع بسامد (\({f^2}\) )

محاسبه تندی انتشار موج عرضی در تار (سيم) يا فنر:

\(V = \sqrt {\frac{F}{\mu }} = \sqrt {\frac{{FL}}{m}} = \sqrt {\frac{F}{{\rho A}}} = \frac{1}{r}\sqrt {\frac{F}{{\rho \pi }}} = \frac{2}{D}\sqrt {\frac{F}{{\rho \pi }}} \)

\(\mu \) چگالی خطی (\(Kg.{m^{ - 1}}\) )

M جرم تار

L طول تار

A سطح مقطع تار

R شعاع مقطع تار

D قطر مقطع تار

\(\rho \) چگالی

V تندی انتشار در تار

\(\begin{array}{l}\mu = \frac{m}{L}\\\rho = \frac{m}{V} \to m = \rho V\\V = AL = \pi {r^2}L\end{array}\)

1. بار الكتريكی ، ميدان الكتريكی ايجاد می كند.
2. جريان الكتريكی، ميدان مغناطيسی توليد می كند.
3. اگر بارهای الكتريكی ساكن باشند، ميدان الكتريكی حاصل از آن ها با زمان تغيير نمی كند.
4. اگر جريان الكتريكی ثابت باشد، ميدان مغناطيسی حاصل از آن ثابت و بدون تغيير می شود.

نحوه ايجاد موج الكترومغناطيس

امواج الكترومغناطيسی از رابطه ی متقابل ميدان های الكتريكی و مغناطيسی به وجود می آيند. يعنی هر تغييری در ميدان الكتريكی در هر نقطه از فضا، ميدان مغناطيسی متغيری ايجاد می كند و اين ميدان مغناطيسی متغير، خود ميدان الكتريكی متغيری به وجود می آورد. اين رابطه ی متقابل ميدان ها سبب انتقال نوسان ها ی ميدان های الكتريكی و مغناطيسی از يک نقطه ی فضا به نقاط ديگر و يا همان انتشار موج الكترومغناطيسی می شود.

نظر ماكسول در مورد موج الكترومغناطيس

عكس قانون فاراده توسط جيمز كلارک ماكسول پيش بيني شد، يعنی او پيش بينی كرد كه همانطور كه طبق قانون فاراده بر اثر تغيير ميدان مغناطيسی می توان ميدان الكتريكی توليد نمود، بر اثر تغيير ميدان الكتريكی نيز می توان ميدان مغناطيسی توليد نمود. ماكسول از اين دو پديده نتيجه گرفت كه امواج الكترومغناطيس بايد لزوماً ناشی از تغييرات هم زمان ميدان های الكتريكی و مغناطيسی (اصطلاحاً ميدان الكترومغناطيسی) باشد.

تصويری از يک موج الكترومغناطيس و نحوه ی انتشار آن:

مهمترين مشخصات موج الكترومغناطيسی

1. ميدان الكتريكی (E) همواره عمود بر ميدان مغناطيسی (B) است.
2. ميدان الكتریکی و مغناطيس (E) و (B) همواره بر جهت حركت موج عمودند و در نتيجه موج الكترومغناطيسی، يک موج عرضی است.
3. ميدان های الكتريكی و مغناطيسی با بسامد يكسان و همگام با يكديگر تغيير می كنند.

نحوه تعيين جهت انتشار موج الكترومغناطيسی

با كمک قاعده ی دست راست تعيين می شود.

تندی انتشار امواج الكترومغناطيس

ماكسول با يک تحليل رياضی نشان داد كه تندی انتشار امواج الكترومغناطيس در هوا يا خلأ از رابطه ی زير به دست می آيد:

\(C = \frac{1}{{\sqrt {{\mu _0}{\varepsilon _0}} }} = 3 \times {10^8}\)

\({\mu _0}\)  تراوایی مغناطیسی خلاء (\(4\pi \times {10^{ - 7}}\frac{{T.m}}{A}\) )

\({\varepsilon _0}\)  تراوايی الكتريكي خلاء (\(8/85 \times {10^{ - 12}}\frac{{{C^2}}}{{N.{m^2}}}\) )

C تندی انتشار موج الكترومغناطيس در هوا يا خلاء (\(\frac{m}{s}\) )

انرژی امواج الكترو مغناطيس

انرژی اين امواج مانند امواج مكانيكی به صورت انرژی جنبشی و پتانسيل ذرات محيط نيست (زيرا اين امواج برای انتشار نياز به محيط مادی ندارند) بلكه اين امواج انرژی را به صورت انرژی ميدان های الكتريكی و مغناطيسی منتقل می كنند.

طيف امواج الكترومغناطيسی

اين طيف به ترتيب افزايش طول موج به صورت زير است. (هيچ گسستگی در اين طيف وجود ندارد و همگی با تندی نور درخلأ حركت می كنند)

صوت يک موج مكانيكی طولی است كه توسط جسم مرتعش توليد می شود. (به اين جسم مرتعش نيز چشمه ی صوت گفته می شود)

عوامل مؤثر بر تندی صوت

1. جنس محيط انتشار
2. دمای محيط انتشار

شدت صوت (I)

شدت صوت برابر با آهنگ متوسط انرژی ای است كه توسط موج به واحد سطح، عمود بر راستای انتشار صوت می رسد.

\(\begin{array}{l}I = \frac{P}{A}\\I = \frac{P}{{4\pi {r^2}}}\end{array}\)

P متوسط توان چشمه صوتی (W)

I شدت صوت (\(\frac{W}{{{m^2}}}\) )

R فاصله از چشمه صوت (m)

A مساحت جبه های موج صوتی (\({m^2}\) )

عوامل مؤثر بر شدت صوت

1) مجذور دامنه (\({A^2}\) )

2) مجذور بسامد (\({f^2}\) )

3) مجذور فاصله (\({r^2}\))

براساس 3 عامل فوق رابطه ای به صورت زير می توان برای مقايسه ی دو شدت صوت نوشت:

\(\frac{{{I_2}}}{{{I_1}}} = {(\frac{{{A_2}}}{{{A_1}}} \times \frac{{{f_2}}}{{{f_1}}} \times \frac{{{r_1}}}{{{r_2}}})^2}\)

تراز شدت صوت يا تراز صوتی (\(\beta \))

به صورت زير و برای تشخيص مقدار بلندی صوت محاسبه می شود:

(b) بر حسب بل : \(\beta = Lo{g^{\frac{I}{{{I_o}}}}}\)

(db) بر حسب دسی بل : \(\beta = 10Lo{g^{\frac{I}{{{I_o}}}}}\)

\({I_o}\)  شدت صوت مرجع يا حد پايين شنوای انسان (\({10^{12}}\frac{W}{{{m^2}}}\) )

I شدت صوت (\(\frac{W}{{{m^2}}}\) )

\(\beta \) تراز شدت صوت

مقايسه دو تراز شدت صوت

هر گاه دو تراز صوتی در سؤالی مطرح شد، به صورت زير رابطه بنويسيد:

بر حسب بل : \({\beta _2} - {\beta _1} = Lo{g^{\frac{{{I_2}}}{{{I_1}}}}}\)

بر حسب دسی بل : \({\beta _2} - {\beta _1} = 10Lo{g^{\frac{{{I_2}}}{{{I_1}}}}}\)

به صوت حاصل از چشمه ی صوتی كه به دليل ميرايی كم مشابه حركت هماهنگ ساده است، تن گفته می شود. (مانند صوت حاصل از يک دياپازون)

دو ويژگی مهم تن موسيقی

1) ارتفاع تن

ارتفاع، بسامدی است كه گوش انسان درک می كند.

2) بلندی تن

بلندی، شدتی است كه گوش انسان درک می كند.

اثر دوپلر

هنگامی كه چشمه ی صوتی و شنونده نسبت به هم دور يا نزديک شوند، بسامد و طول موجی كه شنونده دريافت می كند با بسامد و طول موج واقعی چشمه موج متفاوت است. به اين پديده اثر دوپلر گفته می شود.

بررسی حالت های مختلف اثر دوپلر

1) چشمه ی متحرک و ناظر (شنونده ی ساكن)

در اين حالت با توجه تصوير زير اگر چشمه ی موج به شنونده نزديک شود، طول موج كوتاه تر و اگر از آن دور شود طول موج بيش تر خواهد شد:

2) چشمه ساكن و ناظر (شنونده ) متحرک

در اين حالت تجمع جبهه های موج در دو سوی چشمه يكسان است. اگر ناظر به طرف چشمه حركت كند، در مقايسه با ناظر ساكن، در مدت زمان يكسان، با جبهه های موج بيش تری مواجه می شود كه اين منجر به افزايش بسامد صوتی می شود كه ناظر می شنود و اگر ناظر از چشمه دور شود، در مقايسه با ناظر ساكن، در مدت زمان يكسان، با جبهه های موج كم تری مواجه می شود كه اين منجر به كاهش بسامد صوتی می شود كه ناظر می شنود :

اثر دوپلر برای امواج الكترومغناطيس

بررسی اثر دوپلر در صوت با بررسی اثر دوپلر در امواج الكترومغناطيس متفاوت است. در بررسی اثر دوپلری برای موج الكترومغناطيس دو اصطلاح زير را به كار مي برند:

1) انتقال به سرخ

وقتی چشمه ی نور از ناظر (آشكار ساز) دور می شود، طول موج افزايش می يابد كه به آن انتقال به سرخ گفته می شود.

2) انتقال به آبی

وقتی چشمه ی نور به ناظر (آشكار ساز) نزديک می شود ، طول موج كاهش می يابد كه به آن انتقال به آبی گفته می شود.