درسنامه کامل هندسه دوازدهم

به هر آرایش مستطیلی شکل از اعداد را یک ماتریس می گوییم.

\({\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}}& \ldots &{{a_{1n}}}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\{{a_{m1}}}& \cdots &{{a_{mn}}}\end{array}} \right]_{m \times n}}\)

مرتبه ماتریس

به حاصل ضرب تعداد سطر ها در تعداد ستون ها مرتبه ماتریس می گوییم.

اگر تعداد سطر ها و ستون های ماتریس A برابر باشد، آنگاه به آن ماتریس، ماتریس مربعی می گوییم؛ ساده ترین ماتریس مربعی ماتریس \(1 \times 1\) می باشد.

ماتریس مربعی که درایه های غیر واقع بر قطر اصلی (واقع بر قطر فرعی) همگی صفر باشند.

ماتریس های زیر همگی قطری هستند:

\(\begin{array}{l}A = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&2\end{array}} \right]_{2 \times 2}}\\\\B = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}7&0&0\\0&5&0\\0&0&3\end{array}} \right]_{3 \times 3}}\\\\C = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}4\\0\\0\\0\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\\0\\0\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\\0\\0\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\\0\\9\end{array}}\end{array}} \right]_{4 \times 4}}\end{array}\)

ماتریس قطری که در آن درایه های واقع بر قطر اصلی همگی یکسان باشند.

ماتریس های زیر همگی اسکالر هستند:

\(\begin{array}{l}A = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2&0\\0&2\end{array}} \right]_{2 \times 2}}\\\\B = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}7&0&0\\0&7&0\\0&0&7\end{array}} \right]_{3 \times 3}}\\\\C = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}4\\0\\0\\0\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}0\\4\\0\\0\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\\4\\0\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\\0\\4\end{array}}\end{array}} \right]_{4 \times 4}}\end{array}\)

ماتریس مربعی است که قطر اصلی آن همگی 1 و باقی درایه ها همگی صفر باشد، ماتریس همانی را با نماد \({I_n}\) نشان می دهیم.

ماتریس های زیر همانی هستند:

\(\begin{array}{l}A = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right]_{2 \times 2}}\\\\B = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}} \right]_{3 \times 3}}\\\\C = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\\0\\0\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}0\\1\\0\\0\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\\1\\0\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\\0\\1\end{array}}\end{array}} \right]_{4 \times 4}}\end{array}\)

در جمع دو ماتریس تک تک درایه ها را با هم جمع می کنیم، یعنی درایه \({a_{11}}\)  ماتریس A را با درایه \({b_{11}}\)  ماتریس B جمع می کنیم و حاصل را در ماتریس جدید در درایه \({c_{11}}\) می نویسیم.

در تفریق دو ماتریس نیز مانند جمع دو ماتریس عمل می کنیم.

دو ماتریس \({A_{m \times p}}\)  و \({B_{p \times n}}\)  را در نظر می گیریم؛ حاصل ضرب \(A \times B\) زمانی قابل تعریف است که تعداد ستون های ماتریس اول با تعداد سطر های ماتریس دوم برابر باشد.

\({A_{m \times p}} \times {B_{p \times n}} = {C_{m \times n}}\)

برای ضرب دو ماتریس کافی است سطر های ماتریس اول در ستون های ماتریس دوم ضرب شود.

اگر ماتریس A به توان عددی رسیده باشد، ابتدا توان دو ماتریس A را به دست می آوریم و سپس شروع به حل می کنیم.

برای هر ماتریس مربعی یک عدد به نام دترمینان نسبت می دهیم (عدد حقیقی) و آن را با نماد \(\det \left( A \right)\)  یا \(\left| A \right|\)  نشان می دهیم.

الف) نحوه محاسبه دترمینان ماتریس های \(2 \times 2\):

\(\begin{array}{l}A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}a&b\\c&d\end{array}} \right]\\\\\det \left( A \right) = ad - bc\end{array}\)

ب) نحوه محاسبه دترمینان ماتریس های \(3 \times 3\):

روش اول: ساروس

در این روش ما ابتدا دو ستون اول مارتیس مورد نظرمان را ادامه داده و سپس همانند محاسبه دترمینان ماتریس \(2 \times 2\) عمل می کنیم.

\(\begin{array}{l}A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}a&b&c\\d&e&f\\g&h&k\end{array}} \right]\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}a\\d\\g\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}b\\e\\h\end{array}}\end{array}\\\\\left| A \right| = \left( {aek + bfg + cdh} \right) - \left( {bdk + afh + ceg} \right)\end{array}\)

روش دوم: بسط

در روش بسط ما یک سطر و یا ستون را انتخاب کرده و سپس کار خود را ادامه می دهیم.

بسط نسبت به سطر اول:

\(\begin{array}{l}A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}a&b&c\\d&e&f\\g&h&k\end{array}} \right]\\\\\left| A \right| = a\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}e&f\\h&k\end{array}} \right] - b\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}d&f\\g&k\end{array}} \right] + c\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}d&e\\g&h\end{array}} \right]\\\\\left| A \right| = a\left( {ek - fh} \right) - b\left( {dk - fg} \right) + c\left( {dh - eg} \right)\end{array}\)

دترمینان هر ماتریس قطری برابر است با ضرب درایه های قطر اصلی و دترمینان ماتریس مربعی صفر، صفر است.

اگر \(\left| A \right| \ne 0\)  باشد، در این صورت ماتریس A وارون پذیر است و وارون آن را با نماد \({A^{ - 1}}\)  نشان می دهیم و برای ماتریس های \(2 \times 2\) به صورت زیر بدست می آید:

\(\begin{array}{l}A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}a&b\\c&d\end{array}} \right]\\\\{A^{ - 1}} = \frac{1}{{\left| A \right|}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}d&{ - b}\\{ - c}&a\end{array}} \right]\end{array}\)

\(\begin{array}{l}ax + by = m\\\\cx + dy = n\end{array}\)

حال این معادله را تبدیل به معادله ماتریس می کنیم:

\(\begin{array}{l}AX = B\\A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}a&b\\c&d\end{array}} \right]\\\\X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\end{array}} \right]\\\\B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}m\\n\end{array}} \right]\end{array}\)

جواب معادله ماتریس به صورت زیر است:

\(X = {A^{ - 1}} \times B\)

بحث روی تعداد جواب های دستگاه:

\(\begin{array}{l}ax + by = m\\\\cx + dy = n\end{array}\)

حالت اول: دستگاه فقط یک جواب دارد:

\(\frac{a}{c} \ne \frac{b}{d}\)

حالت دوم: دستگاه بی شمار جواب دارد:

\(\frac{a}{c} = \frac{b}{d} = \frac{m}{n}\)

حالت سوم: دستگاه جواب ندارد:

\(\frac{a}{c} = \frac{b}{d} \ne \frac{m}{n}\)

ویژگی 1:

\(\left| {AB} \right| = \left| A \right|\left| B \right|\)

ویژگی 2:

\(\begin{array}{l}\left| {kA} \right| = {k^n} \times \left| A \right|\\\\k \in \mathbb{R}\end{array}\)

در اینجا n مرتبه ماتریس A است.

ویژگی 3:

\(\left| {{A^{ - 1}}} \right| = \frac{1}{{\left| A \right|}}\)

ویژگی 4:

\(\left| {{A^n}} \right| = {\left( {\left| A \right|} \right)^n}\)

مکان هندسی مجموعه نقاطی از صفحه یا فضا است که:

1. دارای یک ویژگی مشترک باشند.
2. هر نقطه که این ویژگی مشترک را داشته باشد عضو مجموعه نقاط مورد نظر باشد.

1) مکان هندسی نقاطی از صفحه که از دو سر پاره خط AB به یک فاصله اند عمود منصف پاره خط AB است.

2) مکان هندسی نقاطی از صفحه که از دو ضلع یک زاویه به یک فاصله اند، نیمساز زاویه مورد نظر است.

3) مکان هندسی نقاطی از صفحه که از دو خط موازی به یک فاصله اند، خطی است موازی با دو خط و در وسط آنها.

4) مکان هندسی نقاطی از صفحه که از خط L به فاصله ثابت h باشند، دو خط d و \(d'\) به موازات L و در طرفین خط L است.

5) مکان هندسی نقاطی از صفحه که از دو خط متقاطع L و \(L'\) به یک فاصله باشند، نیمساز های زوایای بین L و \(L'\) است که بر هم عمودند.

6) مکان هندسی نقاطی از صفحه که از یک نقطه معلوم O به فاصله ثابت R هستند دایره ای به مرکز O و شعاع R است.

اگر دو خط d و L در نقطه A متقاطع باشند؛ سطح حاصل از دوران خط d حول خط L را یک رویه مخروطی (سطح مخروطی) می گویند. نقطه A را راس، خط L را محور و خط d را مولد سطح مخروطی می نامند.

مقاطع مخروطی

از برخورد یک صفحه با رویه مخروطی شکل بدست می آید که آنها را مقاطع مخروطی می نامیم که عبارت اند از:

دایره:

بیضی:

سهمی:

هذلولی:

دایره مکان هندسی نقاطی از صفحه است که از یک نقطه ثابت به نام مرکز به فاصله ثابت (شعاع) هستند.

معادله دایره ای که مرکزش نقطه \(O\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\alpha \\\beta \end{array}} \right]\)  و شعاع آن برابر R باشد از فرمول زیر به دست می آید:

\({\left( {x - \alpha } \right)^2} + {\left( {y - \beta } \right)^2} = {R^2}\)

اثبات:

\(\begin{array}{l}O\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\alpha \\\beta \end{array}} \right]\;\;,\;\;A\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\end{array}} \right]\\\\OA = R \Rightarrow \sqrt {{{\left( {x - \alpha } \right)}^2} + {{\left( {y - \beta } \right)}^2}} = R\\\\ \Rightarrow {\left( {x - \alpha } \right)^2} + {\left( {y - \beta } \right)^2} = {R^2}\end{array}\)

اگر معادله استاندارد دایره را باز کنیم معادله ضمنی یا گسترده دایره به صورت زیر خواهد بود:

\({x^2} + {y^2} + ax + by + c = 0\)

که در آن:

شعاع: \(R = \sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} - 4c}}{4}} \)

مختصات مرکز: \(O = \left( { - \frac{a}{2}\;,\; - \frac{b}{2}} \right)\)

دو دایره برون هم (متخارج)

\(d > R + R'\)

دو دایره مماس برون

\(d = R + R'\)

دو دایره متقاطع

\(R - R' < d < R + R'\)

دو دایره مماس درون

\(d = R - R'\)

دو دایره متداخل

\(d < R - R'\)

دایره های هم مرکز

\(d = 0\)

برای اینکه معادله گسترده \({x^2} + {y^2} + ax + by + c = 0\)  معادله یک دایره باشد، باید:

1. ضریب \({x^2}\)  و ضریب \({y^2}\)  برابر باشند. (در موقع استفاده از فرمول های مرکز و شعاع در معادله گسترده ضرایب \({x^2}\)  و \({y^2}\)  برابر یک باشد.)
2. \({a^2} + {b^2} - 4c > 0\)  (زیر رادیکال باید مثبت باشد.)

اگر دو دایره همدیگر را در دو نقطه A و B قطع کنند، به پاره خط AB وتر مشترک دو دایره می گوییم؛ برای بدست آوردن معادله وتر مشترک دو دایره می گوییم، برای بدست آوردن معادله وتر مشترک، کافی است معادله دو دایره را از هم کم کنیم. (زیرا مختصات A و B در معادله دو دایره صدق می کند، پس در تفاضل آنها هم صدق می کنند.)

بیضی مکان هندسی نقاطی است مانند M که مجموع فواصل نقطه M از دو نقطه ثابت F و \(F'\) داخل بیضی مقدار ثابت \(2a\) است که این مقدار ثابت را قطر بزرگ بیضی می نامند.

اجزاء بیضی

1) دو نقطه F و \(F'\) داخل بیضی را کانون های بیضی می نامند و فاصله آنها را فاصله کانونی نامیده و با \(FF' = 2c\)  نشان می دهیم.

2) \(AA' = 2a\)  را قطر بزرگی بیضی و \(BB' = 2b\)  را قطر کوچک بیضی نامیده که همان دو محور تقارن بیضی است و محل برخورد آنها یعنی O را مرکز بیضی می نامند که همان مرکز تقارن بیضی است.

3) به مقدار ثابت \(e = \frac{c}{a}\)  که \(0 < e < 1\)  است که خروج از مرکز بیضی می گوییم، که همواره مثبت است. اگر e به عدد 1 نزدیک شود، بیضی کشیده تر و هر قدر e به 0 نزدیکتر شود، بیضی به دایره نزدیک تر می شود.

1) بیضی افقی:

اگر قطر بزرگ بیضی هم راستا با محور x ها و قطر کوچک آن هم راستا با محور y ها باشد، بیضی را افقی می نامند.

قطر بزرگ = \(AA' = 2a\)

قطر کوچک = \(BB' = 2b\)

فاصله کانونی = \(FF' = 2c\)

مرکز بیضی = \(O\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\alpha \\\beta \end{array}} \right]\)

خروج از مرکز بیضی = \(e = \frac{c}{a}\)

رابطه بین (\(a\;,\;b\;,\;c\) ) = \({c^2} = {a^2} - {b^2}\)

A و \(A'\) را رئوس کانونی (در امتداد کانون ها هستند.) و B و \(B'\) را رئوس غیر کانونی (در امتداد کانون ها نیستند.) می نامند.

فاصله یک راس کانونی از یک راس غیر کانونی = \(AB = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

مختصات کانونی : \(\begin{array}{l}F\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha + c}\\\beta \end{array}} \right]\\\\F'\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha - c}\\\beta \end{array}} \right]\end{array}\)

معادله بیضی افقی: \(\frac{{{{\left( {x - \alpha } \right)}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{\left( {y - \beta } \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

2) بیضی قائم:

قطر بزرگ = \(AA' = 2a\)

قطر کوچک = \(BB' = 2b\)

فاصله کانونی = \(FF' = 2c\)

مرکز بیضی = \(O\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\alpha \\\beta \end{array}} \right]\)

خروج از مرکز بیضی = \(e = \frac{c}{a}\)

رابطه بین (\(a\;,\;b\;,\;c\) ) = \({c^2} = {a^2} - {b^2}\)

A و \(A'\) را رئوس کانونی (در امتداد کانون ها هستند.) و B و \(B'\) را رئوس غیر کانونی (در امتداد کانون ها نیستند.) می نامند.

\(\begin{array}{l}A\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\alpha \\{\beta + a}\end{array}} \right]\;\;,\;\;A'\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\alpha \\{\beta - a}\end{array}} \right]\\\\B\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha + b}\\\beta \end{array}} \right]\;\;,\;\;B'\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha - b}\\\beta \end{array}} \right]\end{array}\)

فاصله یک راس کانونی از یک راس غیر کانونی = \(AB = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

مختصات کانون ها: \(\begin{array}{l}F\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\alpha \\{\beta + c}\end{array}} \right]\\\\F'\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\alpha \\{\beta - c}\end{array}} \right]\end{array}\)

معادله بیضی قائم: \(\frac{{{{\left( {x - \alpha } \right)}^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{{\left( {y - \beta } \right)}^2}}}{{{a^2}}} = 1\)

مخرج \({y^2}\)  بزرگ تر باشد، قائم در بیضی قائم A و \(A'\) و O و F و \(F'\) هم طول و B و \(B'\) و O هم عرض هستند.

مکان هندسی تمام نقاطی از یک صفحه است که از یک خط ثابت مانند d و یک نقطه ثابت مانند F خارج از خط به یک فاصله باشند، نقطه ثابت F را کانون سهمی و خط ثابت d را خط هادی سهمی می نامند. هر نقطه دیگر هم روی سهمی در نظر بگیریم فاصله اش از F و خط هادی به یک اندازه است.

\(\begin{array}{l}MF = MH'\\\\SF = SH = a\end{array}\)

1) سهمی سه جز اصلی دارد:

کانون سهمی: F

راس سهمی: S

خط هادی سهمی: d

2) فاصله راس سهمی تا کانون برابر است با فاصله راس سهمی تا خط هادی به عبارت دیگر راس هر سهمی وسط کانون و خط هادی قرار دارد.

\(SH = SF\)

3) فاصله راس سهمی تا کانون را فاصله کانونی سهمی نامیده و با a نشان می دهیم a را پارامتر سهمی نیز می نامند.

\(SF = SH = a\)

4) کانون همواره در دهانه سهمی قرار دارد و خط هادی همواره پشت سهمی است و سهمی هرگز خط هادی را قطع نمی کند.

5) اگر \(a\rangle 0\)  باشد، دهانه سهمی در جهت مثبت محور های مختصات (راست یا بالا) باز می شود و اگر \(a\langle 0\)  باشد، دهانه سهمی در جهت منفی محور های مختصات (چپ یا پایین) باز می شود.

6) اگر سهمی افقی باشد خط هادی با محور y ها موازی است و معادله خط هادی به صورت \(x = k\) است.

7) اگر سهمی قائم باشد خط هادی با محور x ها موازی است و معادله خط هادی به صورت \(y = k\)  است.

8) امتداد SF محور تقارن یا محور کانونی سهمی است که بر خط هادی عمود است.

1) سهمی افقی باشد:

راس سهمی: \(S\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}h\\k\end{array}} \right]\)

پارامتر: a

معادله سهمی: \({\left( {y - k} \right)^2} = 4a\left( {x - h} \right)\)

2) سهمی قائم باشد:

راس سهمی: \(S\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}h\\k\end{array}} \right]\)

پارامتر: a

معادله سهمی: \({\left( {x - h} \right)^2} = 4a\left( {y - k} \right)\)

یکی از ویژگی های مهم سهمی این است که هر شعاع نوری از کانون آن به بدنه سهمی بتابد بازتاب آن موازی با محور سهمی باز خواهد گشت و برعکس هر شعاع نوری که موازی با محور سهمی به بدنه سهمی بتابد بازتاب آن از کانون سهمی خواهد گذشت، در واقع اگر خط d بر سهمی مماس و نقطه A نقطه تماس آن باشد، زاویه های \(\alpha \) و \(\beta \) برابرند.

از این ویژگی در ساخت چراغ جلوی اتوموبیل ها استفاده می شود.

منظور از فضای \({R^3}\) ، مجموعه تمام سه تایی های مرتبی مانند \(\left( {x,y,z} \right)\)  است که در آنها x، y و z اعداد حقیقی باشند، به عبارت دیگر:

\({R^3} = \left\{ {\left( {x,y,z} \right)|x,y,z \in \mathbb{R}} \right\}\)

دستگاه قائم مختصات یا محور های مختصات دکارتی در فضا را به صورت \(O\left( {x,y,z} \right)\)  نشان می دهند.

به طور کلی مختصات هر نقطه مانند P را در فضای \({R^3}\)  به صورت \(P\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\)  مشخص می کنند که در آن \({x_0}\) طول نقطه P، \({y_0}\) عرض نقطه P و \({z_0}\) ارتفاع نقطه P نامیده می شود.

اگر \(P\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\)  و \(Q\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)\)  دو نقطه در فضا باشند، طول پاره خط PQ را با علامت \(\left| {PQ} \right|\)  نشان داده و از رابطه زیر بدست می آوریم:

\(\left| {PQ} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_0} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_0} - {y_1}} \right)}^2} + {{\left( {{z_0} - {z_1}} \right)}^2}} \)

فاصله نقطه \(P\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\)  از مبدا مختصات \(O\left( {0,0,0} \right)\)  یعنی طول پاره خط \(\left| {OP} \right|\)  از رابطه زیر به دست می آید:

\(\left| {OP} \right| = \sqrt {x_0^2 + y_0^2 + z_0^2} \)

اگر \(A\left( {{x_A},{y_A},{z_A}} \right)\)  و \(B\left( {{x_B},{y_B},{z_B}} \right)\)  دو نقطه دلخواه در فضای \({R^3}\)  باشند، مختصات نقطه M وسط پاره خط AB از رابطه های زیر بدست می آید.

\(\begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\\\{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\\\{z_M} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array}\)

در متوازی الاضلاع ABCD رابطه های زیر بین مختصات چهار راس آن برقرار است:

\(\begin{array}{l}{x_A} + {x_C} = {x_B} + {x_D}\\\\{y_A} + {y_C} = {y_B} + {y_D}\\\\{z_A} + {z_C} = {z_B} + {z_D}\end{array}\)

در مثلث \(\mathop {ABC}\limits^\Delta \)  نقطه برخورد سه میانه مثلث را مرکز ثقل مثلث نامیده و با G نامگذاری می کنیم، مختصات نقطه G از رابطه های زیر به دست می آید.

\(\begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array}\)

هر پاره خط جهت دار را یک بردار هندسی می نامند. برداری که نقطه ابتدای آن A و نقطه انتهای آن B باشد را به صورت \(\mathop {AB}\limits^ \to \)  نشان می دهند.

هر بردار دارای سه مشخصه است:

1. راستا
2. جهت
3. ندازه

مولفه های یک بردار

فرض کنید \(A\left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\)  نقطه ای دلخواه در فضای \({R^3}\)  باشد. پاره خط جهت دار با نقطه ی شروع مبدا \(O\left( {0,0,0} \right)\)  و نقطه پایان \(A\left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\)  را یک بردار در فضای \({R^3}\)  می گوییم.

\(\mathop {OA}\limits^ \to = \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\)

1) مختصات برداری که ابتدای آن نقطه \(A\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)\)  و مختصات انتهای \(B\left( {{x_2},{y_2},{z_2}} \right)\)  باشد عبارت است از:

\(\mathop {AB}\limits^ \to = \left( {{x_2} - {x_1},{y_2} - {y_1},{z_2} - {z_1}} \right)\)

2) برداری که ابتدا و انتهای آن یک نقطه باشد، بردار صفر نامیده می شود و آن را به صورت \(\mathop O\limits^ \to = \left( {0,0,0} \right)\)  نشان می دهند.

3) تساوی دو بردار

دو بردار \(\mathop a\limits^ \to \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\)  و \(\mathop b\limits^ \to \left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right)\)  مساوی هستند، اگر و تنها اگر مولفه های آنها نظیر به نظیر برابر باشند.

\(\begin{array}{l}\mathop a\limits^ \to = \mathop b\limits^ \to \Leftrightarrow \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right) = \left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right)\\\\{a_1} = {b_1}\\\\{a_2} = {b_2}\\\\{a_3} = {b_3}\end{array}\)

4) اندازه (طول) یک بردار

طول یا اندازه بردار \(\mathop a\limits^ \to \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\)  را با علامت \(\left| a \right|\) نشان داده و از فرمول زیر محاسبه می کنیم:

\(|\mathop a\limits^ \to | = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \)

5) زاویه بین دو بردار غیر صفر \(\mathop a\limits^ \to \) و \(\mathop b\limits^ \to \) را زاویه ای مانند \(\theta \) در نظر می گیریم که:

\(0 \le \theta \le \pi \)

6) ضرب عدد در بردار

اگر m یک عدد حقیقی و \(\mathop a\limits^ \to \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\)  یک بردار باشد، حاصل ضرب m در بردار a به صورت زیر تعریف می کنیم:

\(m\mathop a\limits^ \to \left( {m{a_1},m{a_2},m{a_3}} \right)\)

7) قرینه بردار

اگر \(\mathop a\limits^ \to \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\)  یک بردار باشد قرینه \(\mathop a\limits^ \to \) را با علامت \( - \mathop a\limits^ \to \)  نشان داده و به صورت زیر تعریف می کنیم:

\( - \mathop a\limits^ \to \left( { - {a_1}, - {a_2}, - {a_3}} \right)\)

8) جمع بردار ها

اگر \(\mathop a\limits^ \to \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\)  و \(\mathop b\limits^ \to \left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right)\)  دو بردار باشند، مجموع آنها را با علامت \(\mathop a\limits^ \to + \mathop b\limits^ \to \)  نشان داده و به صورت زیر تعریف می کنیم:

\(\begin{array}{l}\mathop a\limits^ \to + \mathop b\limits^ \to = \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right) + \left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right)\\\\ \Rightarrow \left( {{a_1} + {b_1},{a_2} + {b_2},{a_3} + {b_3}} \right)\end{array}\)

به همین ترتیب داریم:

\(\begin{array}{l}\mathop a\limits^ \to - \mathop b\limits^ \to = \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right) - \left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right)\\\\ \Rightarrow \left( {{a_1} - {b_1},{a_2} - {b_2},{a_3} - {b_3}} \right)\end{array}\)

دو بردار \(\mathop a\limits^ \to \) و \(\mathop b\limits^ \to \) را هم راستا می گویند هر گاه یکی مضربی از دیگری باشد، به عبارت دیگر:

\(\mathop b\limits^ \to = r\mathop a\limits^ \to \)

اگر \(\mathop a\limits^ \to \)، \(\mathop b\limits^ \to \) و \(\mathop c\limits^ \to \) سه بردار دلخواه و \(\mathop O\limits^ \to = \left( {0,0,0} \right)\)  بردار صفر و نیز r و S دو عدد حقیقی باشند؛ آنگاه:

1) خاصیت جا به جایی جمع

\(\mathop a\limits^ \to + \mathop b\limits^ \to = \mathop b\limits^ \to + \mathop a\limits^ \to \)

2) خاصیت شرکت پذیری جمع

\(\mathop a\limits^ \to + (\mathop b\limits^ \to + \mathop c\limits^ \to ) = (\mathop b\limits^ \to + \mathop a\limits^ \to ) + \mathop c\limits^ \to \)

3) عضو قرینه

\(\mathop a\limits^ \to + (\mathop { - a}\limits^ \to ) = ( - \mathop a\limits^ \to ) + \mathop a\limits^ \to = \mathop O\limits^ \to \)

4) عضو خنثی

\(\mathop a\limits^ \to + \mathop O\limits^ \to = \mathop O\limits^ \to + \mathop a\limits^ \to = \mathop a\limits^ \to \)

5) \(r(\mathop a\limits^ \to + \mathop b\limits^ \to ) = r\mathop a\limits^ \to + \mathop {rb}\limits^ \to \)

6) \((r + S)\mathop a\limits^ \to = r\mathop a\limits^ \to + S\mathop a\limits^ \to \)

7) \((rS)\mathop a\limits^ \to = \mathop r\limits^ \to (S\mathop a\limits^ \to )\)

8) \(|\mathop b\limits^ \to | = |r| \times |\mathop a\limits^ \to |\; \Rightarrow \;\mathop b\limits^ \to = r\mathop a\limits^ \to \)

هر بردار که طول و اندازه آن یک واحد باشد، بردار یکه نامیده می شود. بردار یکه در جهت محور طول ها را با \(\mathop i\limits^ \to = \left( {1,0,0} \right)\)  و بردار یکه در جهت عرض ها را با \(\mathop j\limits^ \to = \left( {0,1,0} \right)\)  و بردار یکه در جهت محور ارتفاع ها را با \(\mathop k\limits^ \to = \left( {0,0,1} \right)\)  نشان می دهیم؛ هر بردار مانند \(\mathop a\limits^ \to \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\)  را می توان بر حسب بردار های یکه \(\mathop i\limits^ \to \)، \(\mathop j\limits^ \to \) و \(\mathop k\limits^ \to \) نوشت:

\(\begin{array}{l}\mathop a\limits^ \to \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\\\\\left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right) = \left( {{a_1},0,0} \right) + \left( {0,{a_2},0} \right) + \left( {0,0,{a_3}} \right)\\\\ \Rightarrow {a_1}\left( {1,0,0} \right) + {a_2}\left( {0,1,0} \right) + {a_3}\left( {0,0,1} \right)\\\\ \Rightarrow {a_1}\mathop i\limits^ \to + {a_2}\mathop j\limits^ \to + {a_3}\mathop k\limits^ \to \\\\ \Rightarrow a = \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right) = {a_1}\mathop i\limits^ \to + {a_2}\mathop j\limits^ \to + {a_3}\mathop k\limits^ \to \end{array}\)

1) اگر \(\mathop a\limits^ \to \) و \(\mathop b\limits^ \to \) دو بردار غیر صفر و زاویه بین آنها \(\left( {0 \le \theta \le 1} \right)\;\;\theta \)  باشد، در این صورت ضرب داخلی \(\mathop a\limits^ \to \) در \(\mathop b\limits^ \to \) با علامت \(\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to \)  نشان داده و به صورت زیر تعریف می کنیم:

\(\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to = \left| a \right|\left| b \right|\cos \theta \)

2) اگر \(\mathop a\limits^ \to \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\)  و \(\mathop b\limits^ \to \left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right)\)  دو بردار در فضای \({R^3}\)  باشند، در این صورت ضرب داخلی \(\mathop a\limits^ \to \) در \(\mathop b\limits^ \to \) را با علامت \(\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to \)  نشان داده و به صورت زیر تعریف می کنیم:

\(\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}\)

1) چون حاصل ضرب داخلی دو بردار یک عدد حقیقی است به آن ضرب اسکالر یا ضرب عددی نیز می گویند.

2) اگر یکی از دو بردار a یا b یا هر دو برابر بردار صفر باشند، حاصل ضرب داخلی آنها صفر می باشد.

\(\mathop a\limits^ \to = \mathop 0\limits^ \to \; \vee \;\mathop b\limits^ \to = \mathop 0\limits^ \to \; \Rightarrow \;\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to = 0\)

عکس رابطه درست نیست.

3) ضرب داخلی دو بردار خاصیت جا به جایی دارد.

\(\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to = \mathop b\limits^ \to \times \mathop a\limits^ \to \)

4) برای هر دو بردار a و b و هر عدد حقیقی m داریم:

\(m\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to = \mathop a\limits^ \to \times m\mathop b\limits^ \to = m(\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to )\)

5) حاصل ضرب داخلی هر بردار در خودش برابر است با مجذور اندازه آن بردار:

\(\mathop a\limits^ \to \times \mathop a\limits^ \to = \left| a \right|\left| a \right|\cos 0 = {\left| a \right|^2}\)

6) اگر دو بردار بر هم عمود باشند، حاصل ضرب داخلی آنها صفر است و بر عکس:

\(\mathop a\limits^ \to \bot \mathop b\limits^ \to \Leftrightarrow \mathop b\limits^ \to \times \mathop a\limits^ \to = 0\)

7) ضرب داخلی بر روی جمع بردار ها، خاصیت توزیع پذیری (پخش) دارد.

\(\begin{array}{l}\mathop a\limits^ \to \times (\mathop b\limits^ \to + \mathop c\limits^ \to ) = \mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to + \mathop a\limits^ \to \times \mathop c\limits^ \to \\\\\mathop {(a}\limits^ \to + \mathop b\limits^ \to ) \times \mathop c\limits^ \to = \mathop a\limits^ \to \times \mathop c\limits^ \to + \mathop b\limits^ \to \times \mathop c\limits^ \to \end{array}\)

دو بردار غیر صفر \(\mathop a\limits^ \to \) و \(\mathop b\limits^ \to \) را که زاویه بین آنها \(\theta \) است در نظر می گیریم. تصویر قائم بردار \(\mathop a\limits^ \to \) روی بردار \(\mathop b\limits^ \to \) را با بردار \(\;\mathop {a'}\limits^ \to \;\)  نشان داده و از فرمول زیر محاسبه می کنیم:

\(\;\mathop {a'}\limits^ \to \; = \frac{{\;\mathop a\limits^ \to \; \times \;\mathop b\limits^ \to \;}}{{|b{|^2}}}\; \times \mathop b\limits^ \to \;\)

فرض کنیم \(\mathop a\limits^ \to \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\)  و \(\mathop b\limits^ \to \left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right)\)  دو بردار باشند، ضرب خارجی \(\mathop a\limits^ \to \) در \(\mathop b\limits^ \to \) را با علامت \(\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to \)  نشان داده و به صورت زیر تعریف می کنیم:

\(\begin{array}{l}\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}i&j&k\\{{a_1}}&{{a_2}}&{{a_3}}\\{{b_1}}&{{b_2}}&{{b_3}}\end{array}} \right|\\\\\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_2}}&{{a_3}}\\{{b_2}}&{{b_3}}\end{array}} \right|\mathop i\limits^ \to - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{a_3}}\\{{b_1}}&{{b_3}}\end{array}} \right|\mathop j\limits^ \to + \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{a_2}}\\{{b_1}}&{{b_2}}\end{array}} \right|\mathop k\limits^ \to \\\\\left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}, - {a_1}{b_3} + {a_3}{b_1},{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)\end{array}\)

از نظر هندسی

ضرب خارجی دو بردار بر هر دو بردار \(\mathop a\limits^ \to \) و \(\mathop b\limits^ \to \) و صفحه تشکیل دهنده از دو بردار \(\mathop a\limits^ \to \) و \(\mathop b\limits^ \to \)، عمود است.

\(\begin{array}{l}\mathop i\limits^ \to \times \mathop j\limits^ \to = \mathop k\limits^ \to \;\;\;\;,\;\;\;\;\mathop j\limits^ \to \times \mathop i\limits^ \to = - \mathop k\limits^ \to \\\\\mathop j\limits^ \to \times \mathop k\limits^ \to = \mathop i\limits^ \to \;\;\;\;,\;\;\;\;\mathop k\limits^ \to \times \mathop j\limits^ \to = - \mathop i\limits^ \to \\\\\mathop k\limits^ \to \times \mathop i\limits^ \to = \mathop j\limits^ \to \;\;\;\;,\;\;\;\;\mathop i\limits^ \to \times \mathop k\limits^ \to = - \mathop j\limits^ \to \end{array}\)

1) ضرب خارجی دو بردار خاصیت جا به جایی ندارد ولی:

\(\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to = - \mathop b\limits^ \to \times \mathop a\limits^ \to \)

2) ضرب خارجی هر بردار در خودش برابر بردار صفر است.

\(\mathop a\limits^ \to \times \mathop a\limits^ \to = \mathop 0\limits^ \to \)

اثبات:

\(\begin{array}{l}\mathop a\limits^ \to \times \mathop a\limits^ \to = - \mathop a\limits^ \to \times \mathop a\limits^ \to \Rightarrow \mathop a\limits^ \to \times \mathop a\limits^ \to + \mathop a\limits^ \to \times \mathop a\limits^ \to = 0\\\\ \Rightarrow 2(\mathop a\limits^ \to \times \mathop a\limits^ \to ) = 0 \Rightarrow \mathop a\limits^ \to \times \mathop a\limits^ \to = \mathop 0\limits^ \to \\\\\mathop i\limits^ \to \times \mathop i\limits^ \to = \mathop j\limits^ \to \times \mathop j\limits^ \to = \mathop k\limits^ \to \times \mathop k\limits^ \to = \mathop 0\limits^ \to \end{array}\)

3) ضرب خارجی هر بردار در بردار صفر، برابر بردار صفر است.

\(\mathop a\limits^ \to \times \mathop 0\limits^ \to = \mathop 0\limits^ \to \)

4) برای هر دو بردار \(\mathop b\limits^ \to \;,\;\mathop a\limits^ \to \)  و هر عدد حقیقی m داریم:

\(m\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to = \mathop a\limits^ \to \times m\mathop b\limits^ \to = m(\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to )\)

5) ضرب داخلی بردار ها نسبت به جمع بردار ها، خاصیت توزیع پذیری دارد:

\(\begin{array}{l}\mathop a\limits^ \to \times (\mathop b\limits^ \to + \mathop c\limits^ \to ) = \mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to + \mathop a\limits^ \to \times \mathop c\limits^ \to \\\\(\mathop a\limits^ \to + \mathop b\limits^ \to ) \times \mathop c\limits^ \to = \mathop a\limits^ \to \times \mathop c\limits^ \to + \mathop b\limits^ \to \times \mathop c\limits^ \to \end{array}\)

6) ضرب خارجی بردار ها خاصیت شرکت پذیری ندارد:

\(\mathop a\limits^ \to \times (\mathop b\limits^ \to \times \mathop c\limits^ \to ) \ne (\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to ) \times \mathop c\limits^ \to \)

7) فرض کنیم \(\mathop b\limits^ \to \;,\;\mathop a\limits^ \to \)  دو بردار دلخواه باشند، در این صورت:

\(\begin{array}{l}\mathop a\limits^ \to \times (\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to ) = 0\\\\\mathop b\limits^ \to \times (\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to ) = 0\end{array}\)

اثبات:

فرض کنیم \(\mathop a\limits^ \to \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\)  و \(\mathop b\limits^ \to \left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right)\)  در نتیجه:

\(\begin{array}{l}\mathop a\limits^ \to \times (\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to ) = 0\\\\\mathop a\limits^ \to \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\\\\\mathop b\limits^ \to \left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right)\\\\{a_1}\left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}} \right) + {a_2}\left( {{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3}} \right) + {a_3}\left( {{a_1}{b_1} - {a_2}{b_1}} \right) = 0\end{array}\)

8) برای هر دو بردار غیر صفر a و b که زاویه بین آنها \(\theta \) باشد، داریم:

\(|\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to | = |\mathop a\limits^ \to | \times |\mathop b\limits^ \to |\sin \theta \)

9) برای هر دو بردار غیر صفر \(\mathop b\limits^ \to \;,\;\mathop a\limits^ \to \) ، بردار \(\mathop a\limits^ \to \) با \(\mathop b\limits^ \to \) موازی است، اگر و فقط اگر:

\(|\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to | = 0\;\; \vee \;\;\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to = \mathop 0\limits^ \to \)

اثبات:

\(\begin{array}{l}\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to = \mathop 0\limits^ \to \Leftrightarrow |\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to | = 0\\\\|\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to | = 0 \Leftrightarrow \left| a \right|\left| b \right|\sin \theta = 0\\\\\left| a \right|\left| b \right|\sin \theta = 0 \Leftrightarrow \sin \theta = 0 \Leftrightarrow \theta = 0\\\\\theta = 0 \Leftrightarrow a\parallel b\end{array}\)

مساحت متوازی الاضلاع ساخته شده روی دو بردار

اگر \(\mathop b\limits^ \to \;,\;\mathop a\limits^ \to \)  دو بردار غیر صفر باشند، که زاویه بین آنها \(\theta \) باشد، مساحت متوازی الاضلاعی که توسط دو بردار ساخته می شود و \(\mathop b\limits^ \to \;,\;\mathop a\limits^ \to \)  دو ضلع مجاور آن هستند برابر است با اندازه حاصل ضرب خارجی دو بردار \(\mathop b\limits^ \to \;,\;\mathop a\limits^ \to \) :

\(S = |\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to |\)

مساحت مثلثی که به وسیله دو بردار \(\mathop b\limits^ \to \;,\;\mathop a\limits^ \to \)  ساخته می شود برابر است با:

\(S = \frac{1}{2}|\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to |\)

اگر \(\mathop c\limits^ \to \;,\;\mathop b\limits^ \to \;,\;\mathop a\limits^ \to \)  سه بردار باشند که در یک صفحه نباشند، حجم متوازی السطوحی که روی این سه بردار ساخته می شود، به طوری که سه بردار یال های مجاور آن باشند از رابطه زیر محاسبه می شود:

\(V = |\mathop a\limits^ \to .(\mathop b\limits^ \to \times \mathop c\limits^ \to )| = |\mathop b\limits^ \to .(\mathop c\limits^ \to \times \mathop a\limits^ \to )| = |\mathop c\limits^ \to .(\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to )|\)

سه بردار \(\mathop c\limits^ \to \;,\;\mathop b\limits^ \to \;,\;\mathop a\limits^ \to \)  را هم صفحه گویند هرگاه:

\(\mathop a\limits^ \to \times (\mathop b\limits^ \to \times \mathop c\limits^ \to ) = 0\)