درسنامه کامل هندسه دهم

مجموعه همه نقاطی که از یک نقطه ثابت مانند O به فاصله معلومی مانند R هستند، دایره نامیده می شود. O را مرکز و R را شعاع دایره می نامیم.

تعیین نقطه ای که از دو نقطه ثابت به فاصله های معلوم باشد

فرض کنیم A و B دو نقطه ثابت به فاصله a از یکدیگر باشند. برای یافتن نقطه ای که از A به فاصله ی \({d_1}\) و از B به فاصله ی \({d_2}\)  باشد. دو دایره یکی به مرکز A و شعاع \({d_1}\) و دیگری به مرکز B و شعاع \({d_2}\)  رسم می کنیم. نقطه یا نقاط تلاقی دو دایره جواب است. به شکل زیر توجه کنید:

در شکل دو نقطه و از دو نقطه ثابت M و N به یک فاصله هستند.

اگر دو دایره مماس شوند مسئله یک جواب دارد.

اگر دو دایره یکدیگر را قطع نکنند، مسئله جواب ندارد.

رسم مثلثی که سه ضلع آن معلوم است

فرض کنیم سه ضلعی مثلثی a، b و c داده شده است. برای رسم مثلث، ابتدا یکی از سه ضلع داده شده مثلا بزرگ ترین ضلع را رسم می کنیم (\(BC = a\) )، سپس به مرکز B و شعاع c و به مرکز C و شعاع b دو دایره رسم می کنیم. در صورت تقاطع دو دایره، جای راس سوم مثلث یعنی نقطه A معلوم می شود.

الف) اگر دو دایره متقاطع باشند، مسئله دو جواب دارد. مثلث های \(ABC\)  و \(A'BC\)  که با یکدیگر به حالت (ض ض ض) هم نهشت اند.

ب) اگر دو دایره مماس باشند، در اینصورت مسئله جواب ندارد.

دو نیم خط با ابتدای مشترک تشکیل یک زاویه می دهند. پس برای رسم یک زاویه کافیست با استفاده از خط کش دو نیم خط متقاطع رسم کنیم.

برخی خواص نیمساز یک زاویه

الف) اگر نقطه ای روی نیم ساز یک زاویه باشد، از دو ضلع آن زاویه به یک فاصله است. یعنی در شکل زیر داریم:

\(BE = CE\)

ب) اگر نقطه ای به فاصله یکسان از دو ضلع یک زاویه باشد، آن نقطه روی نیمساز آن زاویه قرار دارد. یعنی در شکل زیر، با فرض \(BE = CE\) ، داریم \({\hat A_1} = {\hat A_2}\) .

رسم نیمساز یک زاویه

الف) دهانه پرگار را کمی باز کنید و به مرکز A کمانی بزنید تا نیم خط \(AX\) و \(AY\) را در نقطه C و B قطع کند، داریم \(AB = AC\) .

ب) به مرکز C و شعاع BC و بار دیگر به مرکز B و شعاع BC دو کمان رسم می کنیم. نقطه تلاقی این دو کمان را E می نامیم. داریم \(CE = BE\) .

پ) AE نیم ساز زاویه XAY است. زیرا دو مثلث ABE و ACE به حالت (ض ض ض) هم نهشت اند. پس \({\hat A_1} = {\hat A_2}\) .

قضیه 1

نشان دهید که تمام نقاط روی نیمساز یک زاویه، از دو ضلع زاویه به یک فاصله اند.

اثبات

زاویه ی O و نقطه ی A روی نیم ساز O را در نظر بگیرید. می دانیم که فاصله ی یک نقطه از یک خط برابر است با طول پاره خط عمود بر آن؛ بنابراین از نقطه A به اضلاع زاویه ی O عمود می کنیم و نقاط تقاطع را E و F می نامیم. دو مثلث OAE و OAF را در نظر بگیرید. داریم:

بنابراین دو مثلث OAE و OAF بنابر حالت وتر و یک زاویه حاده همنهشت هستند. یعنی

\(\Delta AEO \cong \Delta AFO\)

در نتیجه \(AE = AF\) ؛ یعنی فاصله تمام نقاط روی نیمساز یک زاویه از دو ضلع زاویه به یک اندازه اند.

قضیه 2

نشان دهید که اگر نقطه ای از دو ضلع یک زاویه به یک فاصله باشد آنگاه حتماً روی نیمساز زاویه قرار دارد.

اثبات

نقطه A را داخل زاویه O طوری در نظر بگیرید که فاصله اش تا دو ضلع زاویه مقداری یکسان باشد. A را به O وصل می کنیم. دو مثلث OAE و OAF را در نظر بگیرید. داریم:

بنابراین دو مثلث OAE و OAF بنابر حالت وتر و یک ضلع همنهشت هستند؛ یعنی:

\(\Delta AEO \cong \Delta AFO\)

در نتیجه \({\hat O_1} = {\hat O_2}\) ؛ یعنی اگر نقطه ای از دو ضلع یک زاویه به یک فاصله باشد آنگاه حتماً روی نیمساز زاویه قرار دارد.

خطی است که بر پاره خط عمود است و آن را نصف می کند.

برخی خواص عمود منصف یک پاره خط

الف) اگر نقطه ای روی عمود منصف یک پاره خط باشد، از دو سر آن پاره خط به یک فاصله است. یعنی در شکل زیر داریم:

\(AM = BM\)

ب) اگر نقطه ای از دو سر یک پاره خط به یک فاصله باشد، روی عمودمنصف آن پاره خط قرار دارد. یعنی در شکل زیر، با فرض  \(AM = BM\) ، داریم \(AH = BH\) و \(MH \bot AB\) .

پاره خط AB مفروض است.

دهانه پرگار را بیش از نصف طول AB باز می کنیم و یکبار کمانی به مرکز A و بار دیگر با همان اندازه از نقطه B کمان بزنید تا یکدیگر را در دو نقطه M و N قطع کنند. داریم:

\(AM = BM,AN = BN\)

زیرا اندازه شعاع دایره ثابت است.

خط MN عمود منصف پاره خط AB است، زیرا M و N از دو سر پاره خط AB به یک فاصله اند و \(MN \bot AB\) .

قضیه 3

نشان دهید که اگر نقطه ای روی عمود منصف یک پاره خط باشد، فاصله اش از دوسر پاره خط به یک اندازه است.

اثبات

پاره خط AB و عمود منصف MH و نقطه P روی آن را در نظر بگیرید. نقطه P را به A و B وصل می کنیم. داریم:

بنابراین دو مثلث PHA و PHB بنابر حالت دو ضلع و زاویه بین همنهشت هستند. یعنی:

\(\Delta PHA \cong \Delta PHB\)

در نتیجه \(AP = BP\) .

قضیه 4

نشان دهید که اگر نقطه ای فاصله اش تا دو سر یک پاره خط به یک اندازه باشد، آنگاه آن نقطه روی عمود منصف پاره خط است.

اثبات

پاره خط AB و نقطه P روی آن را در نظر بگیرید؛ به طوری که فاصله P تا دو سر پاره خط AB به یک اندازه باشد. یعنی:

\(AP = BP\)

از نقطه P به AB عمود می کنیم و پای عمود را H می نامیم. داریم:

بنابراین دو مثلث PHA و PHB بنابر حالت وتر و یک ضلع همنهشت هستند. یعنی:

\(\Delta PHA \cong \Delta PHB\)

در نتیجه \(AH = BH\) ، پس P روی عمود منصف AB قرار دارد.

خط d و نقطه ی M را روی آن در نظر بگیرید.

دایره ای به مرکز M و شعاع دلخواه رسم کنید.

نقاط برخورد را A و B بنامید.

عمود منصف پاره خط AB را رسم کنید.

در این صورت خطی عمود بر خط d رسم کرده ایم که از نقطه M می گذرد.

رسم خط عمود بر یک خط از نقطه ای غیر واقع بر آن

خط d و نقطه ی T را روی آن در نظر بگیرید.

دهانه ی پرگار را بیشتر از فاصله ی T تا خط d باز کرده و دایره ای به مرکز T رسم کنید.

نقاط برخورد را A و B بنامید.

عمود منصف پاره خط AB را رسم کنید.

نقطه T از نقاط A و B به یک فاصله است، بنابراین T روی عمود منصف پاره خط AB و در نتیجه روی خط عمود بر خط d قرار دارد.

رسم خط موازی با یک خط از یک نقطه غیر واقع بر آن

خط d و نقطه p خارج از آن را در نظر بگیرید:

خط عمود بر d و گذرنده از نقطه p را رسم کنید، آن را L می نامیم.

خط عمود بر L و گذرنده از نقطه e را رسم کنید، آن را L می نامیم.

خط L را به عنوان خط مورب گذرنده از دو خط d و e در نظر می گیریم؛ زیرا تمام زوایای حاصل با هم مساوی و برابر \({90^0}\)  هستند، بنابراین خط e با خط d موازی است.

قبل از روش ترسیم، خواص لوزی را یادآوری می کنیم:

ضلع های روبرو موازی اند.

تمام اضلاع برابرند.

زوایای روبرو دو به دو برابرند.

قطر ها عمود منصف یکدیگرند.

زوایای مجاور مکمل اند.

دارای 2 محور تقارن است.

قطر ها نیمساز زاویه ها هستند.

قضیه 5

عمود منصف وتر یک دایره از مرکز آن می گذرد.

اثبات

دایره ای به مرکز O و وتر AB در آن در نظر بگیرید. از O به AB عمود می کنیم و نقطه برخورد را H می نامیم.

بنابراین دو مثلث OAH و OHB بنابر حالت وتر و یک ضلع همنهشت هستند. یعنی:

\(\Delta OHA \cong \Delta OHB\)

در نتیجه \(AH = BH\) ، در نتیجه عمود منصف وتر AB از O می گذرد.

پس برای یافتن مرکز یک دایره کافیست:

دو وتر از دایره را که با هم موازی نیستند رسم می کنیم.

عمود منصف های آنها را رسم می کنیم.

چون عمود منصف ها از مرکز دایره می گذرند، بنابراین محل برخورد عمود منصف های دو وتر غیرموازی در دایره، مرکز دایره است.

در احکام و مسائل هندسی همواره به استدلالی نیاز است که درستی یا نادرستی هر یک را نشان می دهد.(اثبات کند) در اینگونه موارد، معمولا به دو صورت با مسأله برخورد می شود.

استدلال استقرایی

در این روش با چندین مشاهده، یک نتیجه گیری کلی انجام می دهیم. یعنی:

استدلال استقرایی رسیدن از جزء به کل است.

می دانیم که این نتیجه برای تمام اشیاء صحیح نیست و در نتیجه استدلال استقرایی ممکن است نتایج نادرست حاصل کند.

استدلال استنتاجی

برخورد صحیح با یک حکم این است:

بر اساس نتیجه گیری منطقی بر پایه واقعیت هایی است که درستی آنها را پذیرفته ایم و به آن (استدلال استنتاجی) می گویند. بنابراین استدلال استنتاجی رسیدن از کل به جزء است.

مثال نقض

اگر یک حکم نادرست باشد، کافی است یک مثال بیاوریم که نادرست بودن آن را نشان دهد. به چنین مثالی (مثال نقض) گفته می شود.

چند خط که همگی در یک نقطه مانند A مشترک باشند را همرس گویند. نقطه A را نقطه همرسی این خط ها می نامیم.

اگر دهانه ی پرگار را به اندازه ی OH باز کرده و به مرکز O دایره ای رسم کنیم، این دایره از نقاط H، K و L عبور خواهد کرد.

این دایره از داخل مثلث بر هر سه ضلع آن مماس است.

نقطه ی همرسی سه عمودمنصف اضلاع مثلث، نقطه ای چون O درون مثلث است.

اگر دهانه ی پرگار را به اندازه ی OA باز کرده و به مرکز O دایره ای رسم کنیم، این دایره از هر سه رأس مثلث عبور خواهد کرد:

بر خلاف نقطه همرسی نیمسازهای مثلث که همیشه درون مثلث قراردارد، نقطه همرسی ارتفاع ها و عمود منصف های اضلاع ممکن است بیرون مثلث قرار گیرند.

گزاره

در ریاضیات، به هر ادعا یا خبر که یا (دقیقاً درست) و یا (دقیقاً نادرست) است، یک گزاره گویند.

اگر گزاره فقط شامل یک خبر باشد، به آن یک گزاره ی ساده گوئیم.

مانند: 7 چهارمین عدد اول است، یک گزاره ساده است.

اگر گزاره شامل دو یا چند خبر باشد، به آن گزاره ی (مرکب) گویند.

مانند: عدد 7 چهارمین عدد اول و عدد \(\sqrt 2 \)  گنگ است، یک گزاره ی مرکب است.

در برخورد با یک گزاره، باید یکی از دو حالت زیر در نظر گرفته شود:

الف) اگر گزاره درست باشد، باید آن را با استدلال استنتاجی ثابت کنیم که به این استدلال، (برهان) هم گفته می شود.

مانند: همرس بودن ارتفاع ها یا نیمساز های زوایای داخلی مثلث.

ب) هرگاه گزاره نادرست باشد، باید برای آنها مثال نقض ارائه دهیم.

می توان یک گزاره را به صورت زیر بیان کرد که در اینصورت به آن (گزاره شرطی) گویند.

اگر فرض، آنگاه حکم

اگر یک قضیه را به صورت شرطی بیان کنیم، به آن (قضیه شرطی) گفته می شود.

قضیه 6

اگر در مثلثی دو ضلع نابرابر باشند، زاویه رو به رو به ضلع بزرگتر، بزرگتر است از زاویه رو به رو به ضلع کوچکتر.

اثبات

با توجه به شکل، حکم داده شده به صورت شرطی چنین است:

اگر در مثلث ABC، \(AC\rangle AB\)  باشد، آنگاه \(\hat B\rangle \hat C\)  است.

چون \(AC\rangle AB\)  است، می توان نقطه D را روی ضلع AC طوری انتخاب کرد که \(AB = AD\) باشد.

بنابر انتخاب نقطه D، مثلث ABD متساوی الساقین بوده و در نتیجه \({\hat B_1} = {\hat D_1}\)  است. از طرفی زاویه ی \({\hat B_1}\)  جزئی از زاویه اصلی \(\hat B\) بوده و در نتیجه \(\hat B\rangle {\hat B_1}\)  است. لذا:

\(\begin{array}{l}\hat B\rangle {{\hat B}_1}\\{{\hat B}_1} = {{\hat D}_1}\\ \to \hat B\rangle {{\hat D}_1}\end{array}\)

از طرف دیگر، زاویه ی \({\hat D_1}\)  برای مثلث DBC یک زاویه خارجی بوده و از زاویه ی غیر مجاور خود، یعنی \(\hat C\) بزرگتر است. بنابراین:

\(\begin{array}{l}\hat B\rangle {{\hat D}_1}\\{{\hat D}_1}\rangle \hat C\\ \to \hat B\rangle \hat C\end{array}\)

هر گاه در یک گزاره، خبر (حکم) آن را کاملا بر عکس کنیم، نقیض آن بدست می آید.

می توانید برای نقیض کردن گزاره، عبارت چنین نیست که را به ابتدای آن اضافه کنید.

برهان خلف

گاهی ارائه استدلال استنتاجی به صورت عادی مشکل یا غیرممکن است. در چنین صورتی، معمولا روش اثبات غیر مستقیم به صورت زیر، کمک بسیار زیادی می کند.

برای استفاده از این روش، طبق گام های زیر عمل می کنیم:

حکم مورد نظر را نادرست در نظر می گیریم؛ یعنی فرض می کنیم نقیض آن درست باشد. به این فرض جدید، (فرض خلف) هم می گویند.

با توجه به فرض مرحله ی قبل و آوردن دلیل مناسب، به یک تناقض با فرض آن قضیه یا مسأله می رسیم.

تیجه می گیریم؛ حکم آن مسئله نمی تواند نادرست باشد و از ابتدا صحیح بوده است.

برای نوشتن عکس یک قضیه شرطی، جای فرض و حکم را عوض می کنیم.

قضیه دو شرطی

هرگاه عکس یک قضیه شرطی همواره درست باشد، آن قضیه را می توان به صورت دو شرطی بیان کرد.

فرض اگر و فقط اگر حکم

نسبت عدد a به عدد \(b \ne 0\)  عبارت است از کسر \(\frac{a}{b}\) .

تساوی بین دو نسبت \(\frac{a}{b}\) و \(\frac{c}{d}\) یک تناسب نامیده می شود: \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)

در تناسب \(\frac{a}{b} = \frac{b}{c}\) ، عدد b میانگین هندسی دو عدد a و c نامیده می شود و مقدار آن از رابطه ی \({b^2} = ac\)  به دست می آید.

1) در تناسب \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)  با عمل طرفین-وسطین تساوی \(ad = bc\)  را خواهیم داشت.

2) در تناسب \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)  می توان کسر ها را معکوس کرد و تناسب \(\frac{b}{a} = \frac{d}{c}\)  را به دست آورد.

3) در تناسب \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)  می توان جای دو جمله ی میانی را عوض کرد و تناسب \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\)  را به دست آورد.

4) در تناسب \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)  می توان در ترکیب صورت تناسب \(\frac{{a + b}}{b} = \frac{{c + d}}{d}\)  و در ترکیب مخرج تناسب \(\frac{a}{{b + a}} = \frac{c}{{d + c}}\)  می توان بدست آورد.

5) در تناسب \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)  می توان در تفضیل صورت تناسب \(\frac{{a - b}}{b} = \frac{{c - d}}{d}\)  و در ترکیب مخرج تناسب \(\frac{a}{{b - a}} = \frac{c}{{d - c}}\)  می توان بدست آورد.

6) \(\begin{array}{l}\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\\\frac{c}{d} = \frac{e}{f}\\ \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}\end{array}\)

7) \(\begin{array}{l}\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = k\\ \Rightarrow \frac{{a + c}}{{b + d}} = k{\rm{ }},{\rm{ }}\frac{{a + c + e}}{{b + d + f}} = k\end{array}\)

در مثلث ABC شکل مقابل، اگر پاره خط DE موازی BC رسم شود، آنگاه پاره خط های ایجاد شده روی AB و AC با یکدیگر متناسب اند:

فرض: \(DE\parallel BC\)

حکم: \(\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AE}}{{EC}}\)  جزء به جزء

اثبات

مرحله اول: از E به B وصل می کنیم:

\(1)\frac{{{S_{ADE}}}}{{{S_{BDE}}}} = \frac{{\frac{1}{2}EH \times AD}}{{\frac{1}{2}EH \times DB}} = \frac{{AD}}{{DB}}\)

مرحله دوم: از D به C وصل می کنیم:

\(2)\frac{{{S_{ADE}}}}{{{S_{CDE}}}} = \frac{{\frac{1}{2}DH' \times AE}}{{\frac{1}{2}DH' \times EC}} = \frac{{AE}}{{EC}}\)

مرحله سوم: حال باید نشان دهیم \({S_{BDE}} = {S_{CDE}}\)

\(\begin{array}{l}3){S_{BDE}} = \frac{1}{2}DE \times BM\\\\ \Rightarrow {S_{CDE}} = \frac{1}{2}DE \times CN \Rightarrow BM = CN \Rightarrow {S_{BDE}} = {S_{CDE}}\end{array}\)

در نتیجه:

\(\begin{array}{l}1,2,3 \Rightarrow \frac{{{S_{ADE}}}}{{{S_{BDE}}}} = \frac{{AD}}{{DB}}\\\\ \Rightarrow \frac{{{S_{ADE}}}}{{{S_{CDE}}}} = \frac{{AE}}{{EC}} \Rightarrow \frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AE}}{{EC}}\end{array}\)

تعمیم قضیه تالس

\(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{BC}}\)

برهان: مطابق شکل زیر، از نقطه E، پاره خط EF را موزی AB رسم می کنیم:

\(\begin{array}{l}DE\parallel BF\\\\DB\parallel EF\\\\ \Rightarrow DEFB \Rightarrow DE = BF\\\\EF\parallel AB \Rightarrow \frac{{BF}}{{BC}} = \frac{{AE}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{DE}}{{BC}} = \frac{{AE}}{{AC}}\end{array}\)

عکس قضیه تالس

در مثلث ABC، اگر نقاط M و N روی اضلاع AB و AC طوری انتخاب شوند که تناسب \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\)  برقرار باشد، آنگاه \(MN\parallel BC\)  است.

اثبات با برهان خلف

فرض می کنیم MN موازی BC نیست، پس پاره خطی مانند \(MN'\)  موازی BC وجود دارد:

\(MN'\parallel BC \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN'}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} \Rightarrow AN' = AN\)

که این غیر ممکن است؛ پس فرض خلف (نقیض حکم) نادرست بوده و درستی حکم یعنی موازی بودن MN با BC ثابت می شود.

دو چند ضلعی را متشابه گوییم هرگاه زوایای نظیرشان باهم برابر بوده و اضلاع نظیرشان باهم متناسب باشند.

هر گاه زوایای دو مثلث نظیر به نظیر با هم برابر و اضلاع نظیر، متناسب باشند، دو مثلث متشابه اند.

\(\begin{array}{l}\hat A = \hat A'\\\hat B = \hat B'\\\hat C = \hat C'\\\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = k \Leftrightarrow A\mathop B\limits^\Delta C \sim A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'\end{array}\)

K را نسبت تشابه دو مثلث می نامیم.

اگر خط راستی موازی یکی از اضلاع مثلثی، دو ضلع دیگر را در دو نقطه قطع کند، مثلثی با آنها تشکیل می دهد که با مثلث اصلی متشابه است.

\(\begin{array}{l}MN\parallel BC \Rightarrow A\mathop M\limits^\Delta N \sim A\mathop B\limits^\Delta C\\\\MN\parallel BC \Rightarrow \\\\1)\hat M = \hat B\\\\2)\hat N = \hat C\\\\3)MN\parallel BC \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}}\\\\1,2,3 \Rightarrow A\mathop M\limits^\Delta N \sim A\mathop B\limits^\Delta C\end{array}\)

حال با توجه به قضیه ی اساسی تشابه مثلث ها، سه حالت مختلف تشابه مثلث ها را بیان می کنیم. راهبرد اصلی ما برای اثبات این سه قضیه این ایست که روی ضلع های AB و AC، پاره خط های MN و AN را به ترتیب به اندازه ی \(A'B'\) و \(A'C'\)  جدا کرده و ثابت می کنیم که MN موازی BC است.

1) هر گاه دو زاویه از مثلثی با دو زاویه از مثلث دیگر برابر باشند، دو مثلث متشابه اند.

\(\begin{array}{l}\hat B = \hat B'\\\\\hat C = \hat C'\\\\ \to A\mathop B\limits^\Delta C \sim A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'\end{array}\)

اثبات

روی ضلع های AB و AC، پاره خط های MN و AN را به ترتیب به اندازه ی \(A'B'\) و \(A'C'\)  جدا می کنیم:

\(\begin{array}{l}1)\hat A + \hat B + \hat C = 180\\\\\hat A + \hat B + \hat C = 180\\\\ \Rightarrow B = B'{\rm{\ ,\ }}C = C' \to \hat A = \hat A'\\\\2)AM = A'B'\\\\\hat A = \hat A'\\\\AN = A'C'\\\\ \Rightarrow A\mathop M\limits^\Delta N \cong A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'\\\\3)A\mathop M\limits^\Delta N \cong A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'\\\\\hat M = \hat B'\\\\\hat N = \hat C'\\\\MN = B'C'.\\\\\hat B = \hat B'\\\\\hat M = \hat B' \Rightarrow MN\parallel BC\\\\A\mathop M\limits^\Delta N \sim A\mathop B\limits^\Delta C \Rightarrow A'\mathop {B'}\limits^\Delta C' \sim A\mathop B\limits^\Delta C\end{array}\)

2) هر گاه دو ضلع از مثلثی با دو ضلع از مثلث دیگر متناسب و زاویه ی بین این دو ضلع در دو مثلث برابر باشد، دو مثلث متشابه اند.

\(\begin{array}{l}\hat A = \hat A'\\\\\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}}\\\\ \Rightarrow A\mathop B\limits^\Delta C \sim A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'\end{array}\)

اثبات

روی ضلع های AB و AC، پاره خط های AM و AN را به ترتیب به اندازه ی \(A'B'\) و \(A'C'\)  جدا می کنیم:

\(\begin{array}{l}1)AM = A'B'\\\\\hat A = \hat A'\\\\AN = A'C'\\\\ \to A\mathop M\limits^\Delta N \cong A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'\\\\\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} \Rightarrow MN\parallel BC\\\\A\mathop M\limits^\Delta N \sim A\mathop B\limits^\Delta C \Rightarrow A'\mathop {B'}\limits^\Delta C' \sim A\mathop B\limits^\Delta C\end{array}\)

3) هر گاه اضلاع دو مثلث نظیر به نظیر متناسب باشند، دو مثلث متشابه اند.

\(\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} \Rightarrow A\mathop B\limits^\Delta C \sim A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'\)

اثبات

روی ضلع های AB و AC، پاره خط های AM و AN را به ترتیب به اندازه ی \(A'B'\) و \(A'C'\)  جدا می کنیم:

\(\begin{array}{l}\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} \Rightarrow MN\parallel BC\\\\1)A\mathop M\limits^\Delta N \sim A\mathop B\limits^\Delta C\\\\A\mathop B\limits^\Delta C:MN\parallel BC \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}}\\\\ \Rightarrow MN = B'C'\\\\ \Rightarrow MN = B'C'{\rm{ }},{\rm{ }}AM = A'B'{\rm{\,}},{\rm{ }}AN = A'C'\\\\2)A\mathop M\limits^\Delta N \cong A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'\\\\1{\rm{ \,,\ }}2 \Rightarrow A'\mathop {B'}\limits^\Delta C' \sim A\mathop B\limits^\Delta C\end{array}\)

در هر مثلث، نیم ساز داخلی هر زاویه، ضلع مقابلش را به نسبت اضلاع زاویه تقسیم می کند:

حکم: \(\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{AC}}\)

برهان خلف: از C خطی موازی AD رسم می کنیم تا امتداد AB را در E قطع کند:

\(\begin{array}{l}1)AD\parallel CE \Rightarrow {{\hat A}_1} = \hat E \ ,{{\hat A}_2} = {{\hat C}_1}\\\\ \Rightarrow {{\hat A}_1} = {{\hat A}_2} \Rightarrow {{\hat C}_1} = \hat E \Rightarrow AC = AE\\\\B\mathop C\limits^\Delta E:AD\parallel CE \Rightarrow \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{AE}} \Rightarrow \frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{AC}}\end{array}\)

در دو مثلث متشابه، نسبت ارتفاع های نظیر برابر با نسبت تشابه است.

فرض: \(A\mathop B\limits^\Delta C \sim A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'\)

حکم: \(\frac{{AH}}{{A'H'}} = k\)

\(\begin{array}{l}\hat H = \hat H' = {90^0}\\\hat C = \hat C'\\ \to \Delta ACH \sim \Delta A'C'H' \to \frac{{AH}}{{A'H'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{CH}}{{C'H'}} \to \frac{{AH}}{{A'H'}} = k\end{array}\)

در دو مثلث متشابه، نسبت نیم ساز های نظیر برابر با نسبت تشابه است.

فرض: \(A\mathop B\limits^\Delta C \sim A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'\)

حکم: \(\frac{{AD}}{{A'D'}} = k\)

طبق فرض: \(\hat A = \hat A' \Rightarrow {\hat A_2} = {\hat A'_2}\)

\(\begin{array}{l}{{\hat A}_2} = {{\hat A'}_2}\\\\\hat C = \hat C'\\\\ \Rightarrow A\mathop C\limits^\Delta D \sim A'\mathop {C'}\limits^\Delta D' \Rightarrow \frac{{AD}}{{A'D'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{CD}}{{C'D'}}\\\\ \Rightarrow \frac{{AD}}{{A'D'}} = k\end{array}\)

در دو مثلث متشابه، نسبت میانه های نظیر برابر با نسبت تشابه است.

فرض: \(A\mathop B\limits^\Delta C \sim A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'\)

حکم: \(\frac{{AM}}{{A'M'}} = k\)

طبق فرض: \(\frac{{BC}}{{B'C'}} = k \Rightarrow \frac{{CM}}{{C'M'}} = k\)

\(\begin{array}{l}\frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{CM}}{{C'M'}} = k\\\\\hat C = \hat C'\\\\ \Rightarrow A\mathop C\limits^\Delta M \sim A'\mathop {C'}\limits^\Delta M' \Rightarrow \frac{{AM}}{{A'M'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{CM}}{{C'M'}} \Rightarrow \frac{{AM}}{{A'M'}} = k\end{array}\)

در دو مثلث متشابه، نسبت محیط ها برابر با نسبت تشابه است.

فرض: \(A\mathop B\limits^\Delta C \sim A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'\)

حکم: \(\frac{P}{{P'}} = k\)

\(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = k \Rightarrow \frac{{AB + AC + BC}}{{A'B' + A'C' + B'C'}} = k \Rightarrow \frac{P}{{P'}} = k\)

در دو مثلث متشابه، نسبت مساحت ها برابر با توان دوم نسبت تشابه است.

فرض: \(A\mathop B\limits^\Delta C \sim A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'\)

حکم: \(\frac{S}{{S'}} = {K^2}\)

\(\frac{S}{{S'}} = \frac{{\frac{1}{2} \times a \times h}}{{\frac{1}{2} \times a' \times h'}} = \frac{a}{{a'}} \times \frac{h}{{h'}} = {k^2} \Rightarrow \frac{S}{{S'}} = {k^2}\)

روابطی که در بالا در مورد مثلث های متشابه مطرح شد را می توان در مورد هر دو چند ضلعی متشابه نیز مطرح کرد.

چند ضلعی، شکلی است که از اجتماع حداقل سه پاره خط تشکیل شده باشد؛ به طوری که:

1. هر پاره خط، دقیقا دو پاره خط دیگر را در نقاط انتهایی خودش قطع کند.
2. هر دو پاره خط متوالی که در یک انتها مشترک اند، روی یک خط نباشند.

چند ضلعی محدب و مقعر

چند ضلعی را محدب گوییم هر گاه با در نظر گرفتن خط شامل هر ضلع آن بقیه نقاط چند ضلعی در یک طرف آن خط واقع شوند. (به بیان ساده تر، زاویه ی بزرگتر از \({180^0}\)  در چند ضلعی وجود نداشته باشد.)

هر چند ضلعی را که محدب نباشد، مقعر می نامند.

قطر در چند ضلعی ها

در هر n ضلعی، هر پاره خط را که دو انتهای آن، دو راس غیر مجاور باشند، قطر می نامیم.

از هر راس یک n ضلعی محدب، قطر می توان رسم کرد (خود راس و دو راس کناری آن که با ضلع به هم متصل اند، کم می شوند)؛ لذا تعداد کل قطر های هر n ضلعی محدب از رابطه ی \(\frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2}\)  محاسبه می شود.

1) متوازی الاضلاع

متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که اضلاع رو به روی آن دو به دو موازی اند.

قضیه 1

در هر متوازی الاضلاع، اضلاع رو به رو با هم برابرند.

فرض: \(\begin{array}{l}AB\parallel DC\\AD\parallel BC\end{array}\)

حکم: \(\begin{array}{l}AB = DC\\AD = BC\end{array}\)

برهان: قطر BD را رسم می کنیم:

\(\begin{array}{l}{{\hat B}_1} = {{\hat D}_1}\\\\BD = BD\\\\{{\hat B}_2} = {{\hat D}_2}\\\\ \Rightarrow A\mathop B\limits^\Delta D \cong B\mathop C\limits^\Delta D \Rightarrow AB = DC \ , \ AD = BC\end{array}\)

عکس قضیه 1

اگر در یک چهارضلعی، اضلاع رو به رو باهم برابر باشند، آنگاه چهارضلعی، متوازی الاضلاع است.

فرض: \(\begin{array}{l}AB = DC\\AD = BC\end{array}\)

حکم: \(\begin{array}{l}AB\parallel DC\\AD\parallel BC\end{array}\)

\(\begin{array}{l}AB = DC\\\\AD = BC\\\\BD = BD\\\\ \Rightarrow A\mathop B\limits^\Delta D \cong B\mathop C\limits^\Delta D\\\\ \Rightarrow {{\hat B}_1} = {{\hat D}_1} \Rightarrow AB\parallel DC\\\\ \Rightarrow {{\hat B}_2} = {{\hat D}_2} \Rightarrow AD\parallel BC\end{array}\)

قضیه 2

در هر متوازی الاضلاع، زوایای مجاور مکمل اند.

حکم: \(A + B = B + C = C + D = A + D = {180^0}\)

\(\begin{array}{l}AB\parallel CD \Rightarrow \hat C = {{\hat B}_2}\\\\\hat B \Rightarrow {B_1} + {B_2} = {180^0}\\\\ \Rightarrow {{\hat B}_1} + {{\hat C}_1} = {180^0}\end{array}\)

مابقی تساوی ها نیز به همین ترتیب ثابت می شوند.

عکس قضیه 2

اگر در یک چهارضلعی، هر دو زاویه ی مجاور مکمل باشند، آنگاه چهارضلعی، متوازی الاضلاع است.

\(\begin{array}{l}{{\hat B}_1} + {{\hat C}_1} = {180^0}\\\\{{\hat B}_1} + {{\hat B}_2} = {180^0}\\\\ \Rightarrow {{\hat B}_2} = {{\hat C}_1} \Rightarrow AB\parallel CD\end{array}\)

\(AD\parallel BC\)  به همین ترتیب ثابت می شود

قضیه 3

در هر متوازی الاضلاع، زوایای مقابل برابرند.

حکم: \(\begin{array}{l}\hat A = \hat C\\\hat B = \hat D\end{array}\)

از همنهشتی قضیه 1 داریم:

\(\begin{array}{l}{{\hat B}_1} = {{\hat D}_1}\\\\{{\hat B}_2} = {{\hat D}_2}\\\\ \Rightarrow \hat B = \hat D \ , \ \hat A = \hat C\end{array}\)

عکس قضیه 3

اگر در یک چهارضلعی، هر دو زاویه ی مقابل برابر باشند، آنگاه چهارضلعی، متوازی الاضلاع است.

\(\begin{array}{l}\hat A = \hat B = \hat C = \hat D = {360^0} \Rightarrow 2\hat B + 2\hat C = {360^0}\\ \Rightarrow \hat B + \hat C = {180^0}\end{array}\)

از اثبات بالا نتیجه میگیریم که چهارضلعی ABCD متوازی الاضلاع است.

قضیه 4

در هر متوازی الاضلاع، قطر ها منصف یکدیگرند.

حکم: \(\begin{array}{l}OA = OC\\OB = OD\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{{\hat B}_1} = {{\hat D}_1}\\\\AB = CD\\\\{{\hat A}_1} = {{\hat C}_1}\\\\ \Rightarrow A\mathop O\limits^\Delta B \simeq C\mathop O\limits^\Delta D \Rightarrow OA = OC\ ,\ OB = OD\end{array}\)

عکس قضیه 4

اگر در یک چهارضلعی، قطر ها منصف یکدیگر باشند، آنگاه چهارضلعی، متوازی الاضلاع است.

\(\begin{array}{l}OA = OC\\\\{{\hat O}_1} = {{\hat O}_2}\\\\OB = OD\\\\ \Rightarrow A\mathop O\limits^\Delta B \cong C\mathop O\limits^\Delta D \Rightarrow {B_1} = {D_1} \Rightarrow AB\parallel DC\end{array}\)

سایر اثبات ها نیز همانند بالا اثبات می شود.

مستطیل، متوازی الاضلاعی است که یک زاویه ی 90 درجه دارد.

قضیه 5

در هر مستطیل، دو قطر باهم برابر و منصف یکدیگرند.

قضیه 6

متوازی الاضلاعی که دو قطر برابر دارد، مستطیل است.

فرض: \(\begin{array}{l}ABCD\\AC = BD\end{array}\)

حکم: ABCD مستطیل است.

\(\begin{array}{l}DC = DC\\\\AD = BC\\\\AC = BD\\\\ \Rightarrow A\mathop D\limits^\Delta C \cong B\mathop D\limits^\Delta C \Rightarrow \hat D = \hat C \Rightarrow D + C = {180^0} \Rightarrow \hat D = \hat C = {90^0}\end{array}\)

قضیه 7

در هر مثلث قائم الزاویه، میانه ی وارد بر وتر، نصف وتر است.

برهان: میانه AM را به اندازه خودش تا D امتداد داده و از D به B و C وصل می کنیم:

\(\begin{array}{l}AM = DM\\\\BM = CM\\\\ \Rightarrow ABCD \Rightarrow \hat A = {90^0} \Rightarrow AD = BC\\\\ \Rightarrow 2AM = BC \Rightarrow AM = \frac{{BC}}{2}\end{array}\)

عکس قضیه 7

اگر در مثلثی، میانه وارد بر یک ضلع، نصف آن ضلع باشد، آنگاه مثلث قائم الزاویه است.

قرار می دهیم: \(\begin{array}{l}\hat C = \alpha \Rightarrow MA = MC \Rightarrow {{\hat A}_1} = \hat C = \alpha \\\hat B = \beta \Rightarrow MA = MB \Rightarrow {{\hat A}_2} = \hat B = \beta \end{array}\)

\(\begin{array}{l}A\mathop B\limits^\Delta C:\hat A + \hat B + \hat C = {180^0} \Rightarrow 2\alpha + 2\beta = 180\\\\ \Rightarrow \alpha + \beta = 90 \Rightarrow \hat A = \alpha + \beta = 90\end{array}\)

قضیه 8

در مثلث قائم الزاویه، اگر یک زاویه 30 درجه باشد، آنگاه ضلع رو به رو به زاویه ی 30 درجه نصف وتر است.

فرض: \(\hat C = {30^0}\)

حکم: \(AB = \frac{{BC}}{2}\)

برهان: میانه AM را رسم می کنیم

\(\begin{array}{l}\hat C = {30^0} \Rightarrow \hat B = 90 - \hat C = 90 - 30 = 60 \Rightarrow \hat B = {60^0}\\\\\hat C = {30^0} \Rightarrow MA = MC \Rightarrow {{\hat A}_1} = {30^0}\\\\ \Rightarrow {{\hat A}_2} = 90 - {{\hat A}_1} = 90 - 30 = 60 \Rightarrow {{\hat A}_2} = {60^0}\\\\A\mathop B\limits^\Delta M:\hat B = {60^0} \ , \ {{\hat A}_2} = {60^0} \Rightarrow \hat M = {60^0} \Rightarrow AB = BM = \frac{{BC}}{2}\end{array}\)

عکس قضیه 8

در مثلث قائم الزاویه، اگر یک ضلع نصف وتر باشد، آنگاه زاویه ی رو به رو به این ضلع 30 درجه است.

فرض: \(AB = \frac{{BC}}{2}\)

حکم: \(\hat C = {30^0}\)

برهان: میانه AM را رسم می کنیم:

\(\begin{array}{l}AB = AM = BM = \frac{{BC}}{2} \Rightarrow A\mathop B\limits^\Delta M\\ \Rightarrow \hat B = {60^0}\ , \ \hat C = {30^0}\end{array}\)

مربع، مستطیلی است که طول و عرض برابر دارد. (یا مستطیلی است که قطر هایش بر هم عمودند)

قضیه 9

قطر های مربع، نیمساز زوایای مربع می باشند و مربع را به چهار مثلث همنهشت تقسیم می کنند.

لوزی

لوزی، متوازی الاضلاعی است که طول و عرض برابر دارد.

قضیه 10

در لوزی قطر ها عمودمنصف یکدیگرند و بر عکس.

قضیه 11

در لوزی قطر ها نیم ساز زوایای لوزی می باشند و برعکس.

ذوزنقه، چهار ضلعی است که فقط دو ضلع آن با هم موازی اند.

\(AB\parallel CD \Rightarrow \hat A + \hat D = {180^0}\;,\;\hat B + \hat C = {180^0}\)

ضلع های غیر موازی AD و BC ساق های ذوزنقه و AD و CD قاعده های ذوزنقه نامیده می شوند.

قضیه 12

در هر ذوزنقه ی متساوی الساقین، زاویه های مجاور به یک قاعده برابرند.

فرض: \(AD = BC\)

حکم: \(\hat C = \hat D\)

\(\begin{array}{l}AD = BC\\\\AH = BH\\\\ \Rightarrow A\mathop D\limits^\Delta H \cong B\mathop C\limits^\Delta H' \Rightarrow \hat C = \hat D\end{array}\)

عکس قضیه 12

اگر در یک ذوزنقه، دو زاویه ی مجاور به یک قاعده برابر باشند، آنگاه ذوزنقه متساوی الساقین است.

فرض: \(\hat C = \hat D\)

حکم: \(AD = BC\)

\(\begin{array}{l}B\mathop C\limits^\Delta H',A\mathop D\limits^\Delta H:\hat H = \hat H' = {90^0}\;,\;\hat C = \hat D \Rightarrow {{\hat A}_1} = {{\hat B}_1}\\\\{{\hat A}_1} = {{\hat B}_1}\\\\AH = BH'\\\\\hat H = \hat H' = {90^0}\\\\A\mathop D\limits^\Delta H \cong B\mathop C\limits^\Delta H' \Rightarrow AD = BC\end{array}\)

قضیه 13

در هر ذوزنقه ی متساوی الساقین، اقطار با یکدیگر برابرند و برعکس.

فرض: \(AD = BC\)

حکم: \(AC = BD\)

\(\begin{array}{l}AD = BC\\\\\hat D = \hat C\\\\DC = DC\\\\ \Rightarrow A\mathop D\limits^\Delta C \cong B\mathop C\limits^\Delta D \Rightarrow AC = BD\end{array}\)

\(\begin{array}{l}S = {a^2}\\P = 4a\\d = a\sqrt 2 \end{array}\)

\(\begin{array}{l}S = ab\\P = 2\left( {a + b} \right)\\d = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \end{array}\)

\(\begin{array}{l}S = \frac{{a \times {h_a}}}{2}\\P = a + b + c\end{array}\)

\(\begin{array}{l}S = a \times h = b \times h'\\P = 2\left( {a + b} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}S = \frac{{AC \times BD}}{2}\\P = 4a\end{array}\)

\(\begin{array}{l}S = \frac{{\left( {a + b} \right) \times h}}{2}\\P = a + b + c + d\end{array}\)

در شکل زیر، نقاطی عمودی و افقی در کنار هم وجود دارند به طوری که فاصله ی هر دو نقطه ی متوالی روی یک خط عمودی (یا افقی) از هم برابر یک واحد است. به این نقاط، نقاط شبکه ای و به چند ضلعی ABCD، یک چند ضلعی شبکه ای می گوییم.

نقاط شبکه ای روی راس ها و ضلع های چند ضلعی را نقاط مرزی و نقاط شبکه ای درون چند ضلعی ها را نقاط درونی شبکه ای می نامیم.

به طور مثال چهارضلعی ABCD دارای 5 نقطه مرزی و 9 نقطه ی درونی شبکه ای است.

فرمول پیک: اگر تعداد نقاط مرزی را با b و تعداد نقاط درونی شبکه ای را با i نشان دهیم، مساحت چند ضلعی شبکه ای برابر است با: \(S = \frac{b}{2} - 1 + i\)

به کمک فرمول پیک می توان مساحت شکل های نامنظم هندسی را به طور تقریبی محاسبه کرد.

خط

خط AB یا BA، یا خط d

خط راست از هر دو طرف نامحدود است.

صفحه

صفحه ABC، BAC، ... یا صفحه P

صفحه از هر دو طرف ادامه دارد و ضخامتی ندارد.

1) موازی

به دو خط که در یک صفحه باشند و هیچ نقطه اشتراکی نداشته باشند، دو خط موازی می گوییم.

2) منطبق

به دو خط که در یک صفحه باشند و در بی شمار نقطه مشترک باشند را دو خط منطبق می گویند.

3) متقاطع

به دو خط که در یک صفحه و تنها در یک نقطه اشتراک داشته باشند را دو خط متقاطع می گوییم.

4) متنافر

به دو خط که در یک صفحه قرار نداشته باشند، دو خط متنافر می گوییم.

1) موازی

به خطی که با صفحه هیچ نقطه اشتراکی نداشته باشند.

2) متقاطع

به خط و صفحه ای که در یک نقطه مشترک اند. خط و صفحه متقاطع می گویند.

3) منطبق

به هر خط روی صفحه که با صفحه در بی شمار نقطه مشترک است.

وضعیت دو صفحه در فضا

1) موازی

به دو صفحه که هیچ نقطه مشترکی نداشته باشند، دو صفحه موازی می گوییم.

2) متقاطع

به دو صفحه که در یک خط باهم مشترک اند. و به آن خط، فصل مشترک دو صفحه گفته می شود.

3) منطبق

به دو صفحه که در بی شمار نقطه مشترک اند.