نمونه سوالات فصل 3 ریاضی هفتم همراه با جواب تشریحی

می دانیم که محیط دایره برابر است با: شعاع × 3/14 × 2

محیط = 6/28 × (2a + b – 1) = 12/56a + 6/28b – 6/28

\(\begin{array}{l}2(x - 5) - (1 - x) = \frac{1}{2}(2x - 3) \to \\\\2x - 10 - 1 + x = x - \frac{3}{2} \to \\\\2x = 11 - \frac{3}{2} = \frac{{19}}{2} \to x = \frac{{19}}{4}\\\\3(2y - 1) + 5 = 10y \to \\\\6y - 3 + 5 = 10y \to \\\\4y = 2 \to y = \frac{1}{2}\\\\\frac{{2x + y}}{{x - y}} = \frac{{2\left( {\frac{{19}}{4}} \right) + \frac{1}{2}}}{{\frac{{19}}{4} - \frac{1}{2}}} = \frac{{\frac{{20}}{2}}}{{\frac{{17}}{4}}} = \frac{{40}}{{17}}\end{array}\)

\(3\left( {2x - 1} \right) - 5\left( {2 - 3x} \right) + 1 = 6x - 3 - 10 + 15x + 1 = 21x - 13\)

از معادله اول x را بدست می آوریم و سپس از معادله دوم با جایگذاری مقدار x، مقدار a را محاسبه می کنیم:

\(\begin{array}{l}2x + 2 = 0\;\; \to \;\;x =  - 1\\\\\frac{{x + 4}}{3} + \frac{{2a + 2x}}{a} = 2\; \to \\\\\frac{{ - 1 + 4}}{3} + \frac{{2a + 2\left( { - 1} \right)}}{a} = 2\; \to \\\\\frac{{2a - 2}}{a} = 1\; \to \;2a - 2 = a\; \to \;2a - a = 2\\\\ \to \;a = 2\end{array}\)

نکته: حاصلضرب هر سه عدد طبیعی متوالی همواره بر 6 بخش پذیر است. به طور مثال: 24 = 4 × 3 × 2 و 60 = 5 × 4 × 3 و ...

اعداد (n - 1) ، n و (n + 1) سه عدد متوالی هستند که حاصل ضرب آن ها یعنی n(n + 1)(n – 1) بر 6 بخش پذیر می باشد.

معکوس 1 – x : \(\frac{1}{{1 - x}}\)

معکوس 1 – x از یک کم شود : \(1 - \frac{1}{{1 - x}}\)

معکوس 1 – x از یک کم شود، معکوس 1 – x به دست می آید : \(1 - \frac{1}{{1 - x}} = \frac{1}{{1 - x}}\)

\(\begin{array}{l} \to \;\;1 - \frac{1}{{1 - x}} = \frac{1}{{1 - x}}\;\; \to \;\;1 = \frac{1}{{1 - x}} + \frac{1}{{1 - x}}\\\\ \to \;\;1 = \frac{2}{{1 - x}}\;\; \to \;\;1 - x = 2\;\; \to \\\\x = 1 - 2 =  - 1\end{array}\)

\(\begin{array}{l}2a + \frac{1}{4} + \frac{a}{2} = 2\left( { - \frac{3}{4}} \right) + \frac{1}{4} + \frac{{ - \frac{3}{4}}}{2}\\\\ =  - \frac{3}{2} + \frac{1}{4} - \frac{3}{8} = \frac{{ - 12 + 2 - 3}}{8} =  - \frac{{12}}{8}\\\\5 - a = 5 - \left( { - \frac{3}{4}} \right) = 5 + \frac{3}{4} = \frac{{20 + 3}}{4} = \frac{{23}}{4}\\\\ \to \;\;B = \frac{{ - \frac{{12}}{8}}}{{\frac{{23}}{4}}} =  - \frac{{13}}{{46}}\end{array}\)

\( \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2x - 7 = 2\left( 3 \right) - 7 =  - 1\end{array} \right.\\\\ \to \;\;xy - 2x + 3y - 4 = \\\\\left( 3 \right)\left( { - 1} \right) - 2\left( 3 \right) + 3\left( { - 1} \right) - 4 = \\\\ - 3 - 6 - 3 - 4 =  - 16\end{array}\)

اگر توان مهرداد را %100 در نظر بگیریم، توان ماهان %125 = %25 + %100 خواهد شد و هرچه توان شخصی بیشتر باشد، زمان انجام کار کمتر می شود، لذا این تناسب معکوس است.

\(100 \times 12 = 125 \times x\; \to \;x = \frac{{100 \times 12}}{{125}} = 9/6\)  ساعت

هر ساعت 60 دقیقه است پس 0/6 ساعت برابر 36 = 60 × 0/6 دقیقه است.

x : تعداد کتاب های خریداری شده توسط حسام در اول سال

بنابراین معادله بدین صورت خواهد بود:

\(5x + 2 = 32 \to \;5x = 32 - 2\; \to \;x = 6\)

نکته: در معادلات قبل از یافتن ضریب مجهول، ابتدا باید ضرایب مجهول را به یک سمت تساوی برده و آن ها را با هم جمع و تفریق کرد. به همین منوظر در این مسئله ضریب مجهول برابر 3 می باشد چرا؟

5x – 2x = 15  -> 3x = 15

\(\frac{{ - 7}}{2}\)

2 × (-3) - 3 = -6 - 3 = -9

گزینه اول جمع دو عبرات x و y را نشان می دهد اما سایر گزینه ها ضرب دو عبارت x و y را نشان می دهند.

به x متغیر و به 2 ضریب گفته می شود.

a(a – 1) = 3 × (3 – 1) = 6

محیط = 3a + 2a + 3a + 2a = 10a = 10 × 4 = 40

ابتدا عبارت را ساده سازی می کنیم:

10c + 20 an

با توجه به ساده شده عبارت فوق متوجه خواهیم شد که این عبارت جبری شامل دو جمله می باشد.

x – 5 = 10  ->  x = 10 + 5 = 15

3x = 45  ->  x = 45 ÷ 3 = 15

دو طرف تساوی را اگر با هر عددی جمع کنیم همدیگرو خنثی می کنند برای مثال عبارت 2x + 10 = 12 را داریم حال به دو طر  ف تساوی عدد 6 را اضفه می کنیم حال داریم:

2x + 10 + 6 = 12 + 6

اگر عبارت را ساده کنیم داریم:

2x + 10 = 12 + 6 – 6  -> 2x + 10 = 12

همانطور که مشاهده می کنید معادله مشابه حالت اول شد و هیچ تغییری نکرد.

نیستند

سه

ساده شده عبارت:

12m – 16tm + 8t

3

14-

4 × (-3) – 2 = -12 – 2 = -14

xy = x × y = 3 × (-2) = -6

2x – 10 = 20  ->  2x = 20 + 10  ->  2x = 30  ->  x = 30 ÷ 2 = 15

\( = 1500 \times t = 1500t\) کرایه t ساعت \( = 1500\,\,\,\, \Rightarrow \) کرایه دوچرخه هر ساعت

 \( = 20000\) هزینه ثابت

\( = 1500t + 20000\) هزینه کل

الگوی اعداد صورت کسر ها:     \(1\,\,\,,\,\,\,2\,\,\,,\,\,\,3\,\,\,,\,\,\,4\,\,\,,\,\,...\)

که جمله nام اعداد صورت کسرها برابر است با: n

الگوی اعداد مخرج کسر ها:     \(3\,\,\,,\,\,\,7\,\,\,,\,\,\,11\,\,\,,\,\,\,15\,\,\,,\,\,...\)

که جمله nام اعداد مخرج کسرها برابر است با:    \(4n - 1\)

در نتیجه جمله nام الگوی داده شده برابر است با:    \(\frac{n}{{4n - 1}}\)

دو جمله متشابه هستند که قسمت متغیر یا متغیرهای آنها دقیقاً یکسان باشد.

\( = - \frac{3}{8}a\,\,\,\,\,\, \to + 6\,\,\,\,\,\,\, = - \frac{3}{8}a\, + 6\) قرینه سه هشتم آن عدد \( = a\,\,\,\, \Rightarrow \) یک عدد

\(n = 13\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\, - 5n + 3 = - 5\left( {13} \right) + 3 = - 65 + 3 = - 62\)

\(5\left( {x + 2y} \right) + x - 4\left( {3y} \right) - 1 = 5x + 10y + x - 12y - 1 = 6x - 2y - 1\)

ابتدا معادله را در مخرج مشترک یا ک.م.م کسرها ضرب می کنیم (عدد 12) تا کسرها از بین رفته و به معادله ساده تبدیل شود و سپس آن را حل می کنیم:

\(\begin{array}{l}6 \times \left( {\frac{{2x - 4}}{2} = \frac{1}{6}x + 2} \right)\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,3\left( {2x - 4} \right) = x + 12\\\\ \Rightarrow \,\,\,\,\,6x - 12 = x + 12\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,6x - x = + 12 + 12\\\\ \Rightarrow \,\,\,\,\,5x = + 24\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,x = \frac{{24}}{5}\end{array}\)

\( = x\) قیمت خودکار

 \( = \frac{1}{2}x + 63000\) 63000 تومان بیشتر از نصف قیمت خودکار

\(\frac{1}{2}x + 63000 = 4x\) :معادله مناسب  \( = 4x\,\,\,\,\, \Rightarrow \)  چهار برابر قیمت خودکار

حل معادله:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{2}x + 63000 = 4x\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,63000 = 4x - \frac{1}{2}x = \frac{{8x - x}}{2}\\\\ \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,63000 = \frac{7}{2}x\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = 63000 \times \frac{2}{7} = \frac{{63000 \times 2}}{7}\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = 18000\end{array}\)

\(\begin{array}{l}x = - 8\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,y = \frac{5}{2}\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\frac{{4x - 7}}{{2y - x}} = \frac{{4\left( { - 8} \right) - 7}}{{2\left( {\frac{5}{2}} \right) - \left( { - 8} \right)}}\\\\ = \frac{{ - 32 - 7}}{{5 + 8}} = \frac{{ - 39}}{{13}} = - 3\end{array}\)

(عرض+طول)×2 = محیط مستطیلی

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \,\,\,\,P = 2 \times \left( {7b - 3 + 3b + 4} \right) = 152\\\\ \Rightarrow \,\,\,\,2 \times \left( {10b + 1} \right) = 152\\\\ \Rightarrow \,\,\,\,20b + 2 = 152\\\\ \Rightarrow \,\,\,\,20b = 152 - 2 = 150\\\\ \Rightarrow \,\,\,\,b = \frac{{150}}{{20}} = \frac{{15}}{2} = 7.5\end{array}\)