نمونه سوالات فصل 4 ریاضی هفتم همراه با جواب تشریحی

با توجه به شکل:

\(xoz + zoy = xoy = {120^ \circ } \to\)

کل عبارت رو تقسیم بر 2 می کنیم:

\(\frac{{xoz}}{2} + \frac{{zoy}}{2} = {60^ \circ }\)

اما چون ot نیمساز زاویه xoz است. پس:

\(\frac{{xoz}}{2} = toz\)

چون om نیمساز زاویه zoy است. پس:

\(\frac{{zoy}}{2} = zom\)

با جایگذاری داریم:

\(toz + zom = 60\; \to \;tom = 60\)

مجموع زاویه های داخلی مثلث برابر °180 است پس:

\(\begin{array}{l}A + B + {C_1} = {180^ \circ }\\\\{80^ \circ } + {60^ \circ } + {C_1} = {180^ \circ }\; \to \;{C_1} = {40^ \circ }\\\\{C_1} + x = {180^ \circ }\;\; \to \;\;x = {140^ \circ }\end{array}\)

اگر هر قسمت را یک واحد در نظر بگیریم، داریم:

\(BE \to BC + CD + DE \to\)   3 واحد

DE: 1 واحد   ,   GH: 1 واحد

\(\frac{{BE}}{{DE + GH}} = \frac{3}{{1 + 1}} = \frac{3}{2}\)

اندازه زاویه BDC به صورت یزر به دست می آید:

\(ADC = 85\; \to \;BDC = 180 - 85 = 95\)

زاویه B از مثلث ABC برابر است با: 50 = 130 – 180

در مثلث BDC :

\(\left\{ \begin{array}{l}B = 50\\BDC = 95\end{array} \right.\; \to \;BCD = 180 - \left( {50 + 95} \right) = 30\)

CD نیمساز زاویه ACB :

\(DCA = 35\)

در مثلث DCA :

\(\left\{ \begin{array}{l}DCA = 35\\CDA = 85\end{array} \right.\;\; \to \;\;A = 180 - \left( {35 + 85} \right) = 60\)

B وسط AC است پس:

AB = BC → AD – 2BC = AD – AC = CD

C وسط AD است پس:

CD = AC

بنابراین:

AD – 2BC = AC

از آنجایی که AB = MB پس مثلث ABM متساوی الساقین است بنابراین

\(\begin{array}{l}{M_1} = {A_2} = \frac{{180 - 90}}{2} = 45\\\\{M_2} = 180 - {M_1} = 180 - 45 = 135\\\\ \to {A_1} + 30 + 135 = 180\\\\ \to {A_1} = 180 - 165 = 15\\\\ \to {M_2} - {A_1} = 135 - 15 = 120\end{array}\)

با توجه به شکل داریم:

مثلث ABC متساوی الساقین است:

\(AB = AC \to B = {C_1} = \frac{{180 - 30}}{2} = 75\)

مثلث MND متساوی الساقین است:

\(MN = MD \to D = {N_1} = \frac{{180 - 40}}{2} = 70\)

در مثلث ONC داریم:

\(\begin{array}{l}{O_1} + {N_1} + {C_1} = 180 \to {O_1} + 70 + 75 = 180\; \to \;{O_1} = 35\\\\{O_1} + {O_2} = 180 \to {O_2} = x = 180 - {O_1} = 180 - 35 = 145\end{array}\)

OM نیمساز زاویه xOy است پس:

MOy = MOx = 75

xOy = 75 + 75 = 150

yOt = 180 – 150 = 30

زاویه MNT = PNS متقابل به رأس است بنابراین:

3x – 10 = 2x + 40 → 3x – 2x = 40 + 10 → x = 50

→ PNS = 2x + 40 = 2 × 50 + 40 = 140 → SNM = 40

زاویه بزرگ را A و زاویه کوچک را B نامگذاری می کنیم:

A = 3 × B – 30 → A + B = 90 → 3 × B – 30 + B = 90

→ 4B = 120 → B = 30

→ A = 3 × 30 – 30 = 60

→ A – B = 60 – 30 = 30

پاره خط ها:

AB , AC , BC , BE , ED , DC , DF , FB , DB , EF , FC , EC

تعداد = 12

نیم خط ها:

Cx , Fx , Ex , By , Fy , Dy

تعداد = 6

نکته: دو زاویه مکمل یکدیگرند که مجموع آن ها برابر 180 درجه شود.

نکته: دو زاویه متمم یکدیگرند که مجموع آن ها برابر 90 درجه شود.

همنهشت

6  -  8

6-

5 × 2 = 10

از آنجایی که در شکل های همنهشت اضلاع دو به دو با هم برابرند بنابراین محیط و یا مجموع اضلاع با هم برابر خواهند بود.

به چندضلعی ای مقعر می گویند که دارای زاویه داخلی بزرگتر از 180 درجه باشد. که ذوزنقه زاویه هر ضلع آن کوچکتر از 180 درجه است بنابراین ذوزنقه چهارضلعی محدب است.

اضلاع

60 درجه

اندازه

مقعر

90 ÷ 2 = 45

جمع زاویه‌های متقابل به راس می‌تواند عددی بین ۰ تا ۳۶۰ درجه باشد.

مکمل زاویه 180:  105 = 75 - 180

تمام مربع ها با هم متشابه هستند اما همنهشت نیستند.

نکته: تفاوت همنهشتی و تشابه دو شکل:

شرط همنهشت بودن دو شکل این است که تمام زاویه ها و ضلع های آن ها با هم مساوی باشند اما شرط تشابه این است که 1) اضلاع به یک نسبت تغییر کرده باشد کوچک یا بزرگ شود و یا بدون تغییر باشد 2) اندازه ی زاویه ها تغییر نکرده باشد

از یک نقطه بی نهایت خط راست می گذرد.

یشمار

تعداد پاره خط:  10 = 2 ÷ (4 × 5)

تعداد نیم خط:  10 = 2 × 5

 \(\left( {n - 2} \right) \times 180 = \left( {5 - 2} \right) \times 180 = 3 \times 180 = 540\) :فرمول مجموع زوایای داخلی n ضلعی

\(\frac{{n \times \left( {n - 1} \right)}}{2}\) :فرمول بدست آوردن تعداد پاره خط ها روی خطی با n نقطه

\(n = 9\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\frac{{9 \times \left( {9 - 1} \right)}}{2} = \frac{{9 \times 8}}{2} = \frac{{72}}{2} = 36\)

\(\frac{{\left( {n - 2} \right) \times 180}}{n}\) :فرمول اندازه هر زاویه داخلی n ضلعی منتظم

\(\frac{{\left( {n - 2} \right) \times 180}}{n} = \frac{{\left( {12 - 2} \right) \times 180}}{{12}} = \frac{{10 \times 180}}{{12}} = {150^{}}\)

روی هر خط که 3 نقطه قرار بگیرد، 3 پاره خط بوجود می آید.

خط هایی که روی آنها 3 نقطه قرار گرفته: 6 خط              \(\) \( 6 \times 3 = 18\)

روی هر خط که 2 نقطه قرار بگیرد، 1 پاره خط بوجود می آید.

خط هایی که روی آنها 2 نقطه قرار گرفته: 2 خط              \(2 \times 1 = 2\)

در نتیجه مجموعاً \(18 + 2 = 20\) پاره خط وجود دارد.

\(\begin{array}{l}3x + 2x + 4y + y = 180\,\,\, \Rightarrow \,\,\,5x + 5y = 180\\5\left( {x + y} \right) = 180\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\left( {x + y} \right) = \frac{{180}}{5} = 36\\ \Rightarrow \,\,\,2\left( {x + y} \right) = 2 \times 36 = 72\end{array}\)

\( = \frac{{n \times \left( {n - 1} \right)}}{2}\) تعداد پاره خط ها    \( = n\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \) تعداد نقطه

\(\begin{array}{l}\frac{{n \times \left( {n - 1} \right)}}{2} = 66\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,n = ?\\ \Rightarrow \,\,\,\left( {\,\frac{{n \times \left( {n - 1} \right)}}{2} = 66} \right) \times 2\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,n \times \left( {n - 1} \right) = 132\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,12 \times 11 = 132\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,n = 12\end{array}\)

شکل پس از 5 دوران برای اولین بار یک دور کامل می زند. در نتیجه با 5 حرکت 360 درجه طی می کند.

میزان درجه حرکت در هر دوران: \(\frac{{360}}{5} = 72\)

شکل در هر 5 دوران روی خودش منطبق می شود. پس در ضرایب 5، یعنی 5 ، 10 ، 15 ، 20 ، 25 و ... هم روی خودش منطبق می شود.

18 حرکت دوران شکل یعنی 3 حرکت بعد از دوران پانزدهم و 2 حرکت قبل از دوران بیستم.

ساعتگرد: \( \Rightarrow \,\,\,\,72 \times 3 = 216\)  3 حرکت بعد از 15

پادساعتگرد: \( \Rightarrow \,\,\,\,72 \times 2 = 144\)  2 حرکت بعد از 15

تقارن محوری

برخورد 4 خط افقی با 5 خط عمود، 20 نقطه بوجود می آورد. از هر نقطه دو نیم خط در جهت افقی و دو نیم خط در جهت عمودی ایجاد می شود.

در نتیجه جمعاً 80 = 4 × 20 نیم خط تشکیل می شود.

برای اینکه سه عدد اضلاع مثلث را تشکیل دهند باید بین آنها رابطه نامساوی مثلثی برقرار باشد. یعنی مجموع دو ضلع از مثلث از ضلع سوم بزرگتر باشد:

\(\overline {AB} + \overline {BC} \,\,\, > \overline {AC} \)

که در گزینه 1 داریم \(6 + 3 = 9\,\,\, < 10\) ، یعنی با این اعداد مثلث تشکیل نمی شود.

\(\begin{array}{l}2a + 2b + 42 = 180\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a + b + x = 180\\ \Rightarrow 2a + 2b = 180 - 42 = 138\\ \Rightarrow 2\left( {a + b} \right) = 138\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\left( {a + b} \right) = \frac{{138}}{2} = 69\\\\a + b + x = 180\,\,\, \Rightarrow \,\,\,x + 69 = 180\,\,\, \Rightarrow \,\,\,x = 180 - 69 = 111\end{array}\)

با دوران 360 درجه (یک دور کامل) و صفر درجه شکل روی خودش منطبق می شود. در انتقال هم شکل فقط جابجا می شود و تغییر جهت نمی دهد.

فقط در دوران 180 درجه جهت آن بالعکس می شود.