نمونه سوالات فصل 6 ریاضی هفتم همراه با جواب تشریحی

محیط لوزی:

P = 4 × 5 = 20 cm

مساحت جانبی منشور:

S = Ph = 20 × 10 = 200 cm²

استوانه

3 برابر

ارتفاع:

h = 15 cm

مساحت قاعده:

S = πr² = 3/14 × 4 × 4 = 50/24 cm²

حجم:

V = S × h = 50/24 × 15 = 753/6 cm³

مساحت جانبی:

S = 2πrh = 2 × 3/14 × 5 × 8 = 251/2 cm²

حجم:

V = πr²h = 3/14 × 5 × 5 × 8 = 628 cm³

شعاع دایره بزرگ:

\(r{\rm{ }} = {\rm{ }}\frac{{10 + 2 + 2}}{2} = 7\)

شعاع دایره کوچک:

\(r{\rm{ }} = {\rm{ }}\frac{{10}}{2} = 5\)

مساحت جانبی:

مساحت جانبی = نصف مساحت دایره بزرگ – نصف مساحت دایره کوچک

\(S = \frac{{7 \times 7 \times 3/14}}{2} - \frac{{5 \times 5 \times 3/14}}{2} = 76/93 - 39/25 = 37/68\)

حجم:

حجم = مساحت قاعده × ارتفاع

\(V = 37/68 \times 30 = 113/04\)

\(V{\rm{ }} = {\rm{ }}9 \times 5 \times 4{\rm{ }} = {\rm{ }}180{\rm{ }}c{m^3}\)

\(450 - 180 = 270 \to \frac{{270}}{{450}} = \frac{x}{{100}} \to x = 60\%\)

اگر اندازه ضلع مربع را a در نظر بگیریم، حجم آن برابر است با:

\({V_1} = a \times a \times a = {a^3}\)

حال اندازه ضلع آن را دو برابر می کنیم: \(2a\)

در نتیجه حجم آن برابر می شود با:

\({V_2} = 2a \times 2a \times 2a = 8\left( {a \times a \times a} \right) = 8{a^3}\)

\( \Rightarrow \,\,\,\,\frac{{{V_2}}}{{{V_1}}} = \frac{{8{a^3}}}{{{a^3}}} = 8\)

\( = Ph\) ارتفاع × محیط قاعده = مساحت جانبی منشور

\(P = 6.5 + 4 + 4.5 + 2.5 + 2.5 = 20\) :محیط قاعده

\( = Ph\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,20h = 90\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,h = \frac{{90}}{{20}} = \frac{9}{2} = 4.5\) مساحت جانبی منشور

استخر به شکل یک منشور است که قاعده آن ذوزنقه قائم الزاویه است.

\( = \frac{{\left( {1 + 4} \right) \times 30}}{2} = \frac{{5 \times 30}}{2} = \frac{{150}}{2} = 75\) مساحت قاعده

\( \Rightarrow \,\,\,\,V = Sh = 75 \times 15 = 1125\) ارتفاع × مساحت قاعده = حجم منشور

طول و عرض و ارتفاع مستطیل را با a و b و c نشان می دهیم. پس:

\(V = a \times b \times c = abc\)

ارتفاع 60 درصد کاهش یافته، پس فقط 40 درصد آن یعنی 0.4 آن باقی مانده است. در نتیجه:

\( = 8a\) طول مکعب مستطیل جدید

\( = 5b\) عرض مکعب مستطیل جدید

\( = 0/4c\) ارتفاع مکعب مستطیل جدید

\( = 8a \times 5b \times 0/4c = \left( {8 \times 5 \times 0/4} \right)\left( {abc} \right) = 16abc = 16V\) حجم مکعب مستطیل جدید

\( = \frac{{16V}}{V} = 16\) نسبت حجم مکعب مستطیل جدید به حجم اولیه

اگر a ضلع یک مکعب باشد، مساحت کل آن از رابطه \(6 \times a \times a\) و چجم آن از رابطه \(a \times a \times a\) محاسبه می شود. در نتیجه داریم:

\( = 6 \times a \times a = 486\) مساحت کل مکعب

\( \Rightarrow \,\,\,\,\,a \times a = \frac{{486}}{6} = 81\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,a = 9\)

\(V = a \times a \times a = 9 \times 9 \times 9 = 729\)

در مکعبی به ضلع a مساحت جانبی برابر با \(4 \times a \times a\) و مساحت کل آن برابر با \(6 \times a \times a\) است. در نتیجه داریم:

\(\frac{{4 \times a \times a}}{{6 \times a \times a}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)

\( = 2 \times 7 = 14\) تعداد اضلاع قاعده × 2 = مجموع رأس ها

\( = 3 \times 7 = 21\) تعداد اضلاع قاعده × 3 = مجموع یال ها

\( \Rightarrow \,\,\,\,\,14 + 21 = 35\)

حجم مکعب مستطیل کوچک - حجم مکعب مستطیل بزرگ = حجم مکعب مستطیل توخالی

\( = 6 \times \left( x \right) \times 2 = 12x\) حجم مکعب مستطیل بزرگ

\( = 4 \times 2 \times 2 = 16\) حجم مکعب مستطیل کوچک

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,12x - 16 = 20\\\\ \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,12x = 20 + 16 = 36\\\\ \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = \frac{{36}}{{12}} = 3\end{array}\)

مساحت جامانده روی زمین به شکل یک مستطیل است که عرض آن به اندازه ضخامت چرخ و طول آن به اندازه 100 دور لاستیک است.

هر دور لاستیک برابر است با محیط چرخ:

شعاع چرخ برابر است با نصف قطر یعنی 45:                             \(P = 2r\pi = 2 \times 45 \times 3 = 270\,\,cm\)

\(100P = 100 \times 270 = 27000\,\,cm\)   :طول 100 دور لاستیک

\(S = 27000 \times 25 = 675000\,\,c{m^2}\)

برای اینکه کارتن فضای خالی نداشته باشد، باید ابعاد کارتن بزرگ مضربی از ابعاد جعبه های دستمال کاغذی باشند:

96 مضرب 16 ، 84 مضرب 12 و 60 مضرب 5

تعداد جعبه هایی که در طول کارتن قرار می گیرند برابر است با:         \(\frac{{96}}{{16}} = 6\)

تعداد جعبه هایی که در عرض کارتن قرار می گیرند برابر است با:         \(\frac{{84}}{{12}} = 7\)

تعداد جعبه هایی که در ارتفاع کارتن قرار می گیرند برابر است با:         \(\frac{{60}}{5} = 12\)

کل تعداد جعبه های دستمال کاغذی داخل کارتن:

\(6 \times 7 \times 12 = 504\)

قاعده مخروط همواره دایره شکل است، اما قاعده هرم چند ضلعی می باشد.

دوران مستطیل حول طول 6، حجم استوانه ای با ارتفاع 6 واحد و قاعده به شعاع 4 واحد شکل می دهد، که حجم آن برابر است با:

\(\begin{array}{l}V = Sh\\\\S = r \times r \times \pi = 4 \times 4 \times \pi = 16\pi \\\\ \Rightarrow \,\,\,\,{V_1} = 16\pi \times 6 = 96\pi \end{array}\)

دوران مستطیل حول عرض 4 ، حجم استوانه ای با ارتفاع 4 واحد و قاعده به شعاع 6 واحد شکل می دهد، که حجم آن برابر است با:

\(\begin{array}{l}V = Sh\\\\S = r \times r \times \pi = 6 \times 6 \times \pi = 36\pi \\\\ \Rightarrow \,\,\,\,{V_2} = 36\pi \times 4 = 144\pi \end{array}\)

اختلاف حجم این دو استوانه:

\({V_2} - {V_1} = 144\pi - 96\pi = 48\pi \)

\( = Ph\) ارتفاع × محیط قاعده = مساحت جانبی منشور = بدنه ستون

 \( \Rightarrow \,\,\,\,\,\,P = 0.5 \times 6 = 3\,\,m\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,Ph = 3 \times 7 = 21\,\,{m^2}\)

هزینه کل کاشی کاری ستون:  \( \Rightarrow \,\,\,\,\,\,21 \times 100000 = 2100000\)

دوران سک مستطیل حول اضلاع آن حجم استوانه را ایجاد می کند. حال دوران این مستطیل حول طول آن به اندازه 90 درجه یک چهارم حجم استوانه ای را ایجاد می کند که ارتفاع آن 8 و شعاع قاعده آن 6 متر می باشد:

(ارتفاع × مساحت قاعده)\( = \,\,\,\,\frac{1}{4} \times \) حجم شکل

\( \Rightarrow \,\,\,\,\,\,V = \frac{1}{4}Sh = \frac{1}{4}\left( {6 \times 6 \times 3.14} \right) \times \left( 8 \right) = 226.08\,\,{m^3}\)

\( = Ph = 2 \times r \times \pi \times h = 2 \times 2 \times 3 \times 4 = 48\) مساحت جانبی استوانه

\( = Ph + 2S\) مساحت 2 قاعده + مساحل جانبی = مساحت کل استوانه

\( = 48 + 2 \times \left( {r \times r \times \pi } \right) = 48 + 2 \times \left( {2 \times 2 \times 3} \right) = 48 + 24 = 72\) مساحت کل استوانه

نسبت مساحت کل به مساحت جانبی برابر است با:

\(\frac{{72}}{{48}} = \frac{{24 \times 3}}{{24 \times 2}} = \frac{3}{2}\)

\( = {S_1}h = \left( {\frac{1}{2} \times r \times r \times \pi } \right) \times h = \left( {\frac{1}{2} \times 2 \times 2 \times 3} \right) \times 10 = 60\) حجم نیم استوانه

\( = {S_2}h = \left( {\frac{1}{2} \times 3 \times 4} \right) \times h = \left( {\frac{1}{2} \times 12} \right) \times 10 = 60\) حجم منشور مثلثی

\( = {S_1}h + {S_2}h = 60 + 60 = 120\) حجم کل شکل