نمونه سوالات فصل 7 ریاضی هفتم همراه با جواب تشریحی

ریشه دوم یک عدد منفی، در حوزه اعداد حقیقی، تعریف نشده است.

یک به توان هر عددی برابر با یک است.

21 = 3 × 7  ->  21⁵ = (3 × 7)⁵  ->  21⁵ = 3⁵ × 7⁵

4 × 4⁵ = 4¹ × 4⁵ = 4⁶

مکعب 4 = 4³ = 4 × 4 × 4 = 64

مربع 4 = 4² = 4 × 4 = 16

حاصل اختلاف مکعب و مربع 4 برابر است با:

64 – 16 = 48

ریشه های دوم عدد 25 برابر 5+ و 5- می باشد بنابراین اختلاف این دو عدد برابر است با:

5 – (-5) = 10

7⁴ = (7²)² = 49²

(الف 300 = 10 × 30 = (2 × 5) × (5 × 6) = (2 × 5) × (5 × 2 × 3) = 2 × 2 × 5 × 5 × 3 = 2² × 5² × 3

(ب 144 = 12 × 12 = (6 × 2) × (6 × 2) = (2 × 3 × 2) × (2 × 3 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2⁴ × 3²

(الف 4³ + 5³ = 64 + 125 = 189

(ب (-2)⁰ + (-2)¹ + (-2)² = 0 + (-2) + 4 = 2

(ج 1⁰ + 1¹ + 1² + 1³ = 1 + 1 + 1 + 1 = 4

مورد اول) غلط

\(\mathop 7\nolimits^1  + \mathop 2\nolimits^0  = 7 + 1 = 8 \ne \mathop 9\nolimits^1\)

مورد دوم) صحیح

\(\mathop {( - 2)}\nolimits^4  = 16 > \frac{1}{8}\)

مورد سوم) صحیح

\({(\frac{1}{3})^9}\) عددی مثبت است و \(\mathop {( - 2)}\nolimits^3\) عددی منفی است

مورد چهارم) غلط

\(\mathop 3\nolimits^2  \times \mathop 3\nolimits^3  = \mathop 3\nolimits^5  \ne \mathop 3\nolimits^6\)

مورد پنجم) غلط

\({(\frac{1}{4})^2} = \frac{1}{{16}} < \frac{1}{8}\)

مورد ششم) غلط

\(\mathop {(a}\nolimits^b {)^d} = \mathop a\nolimits^{bd}  \ne \mathop a\nolimits^{b + d}  \)

\(A = \mathop 2\nolimits^3  \times x \times \mathop 3\nolimits^6  \times \mathop 7\nolimits^4\)

حداقل باید x = 2 باشد تا تمامی توان ها زوج باشد.

\(\Rightarrow \sqrt {\mathop 2\nolimits^4  \times \mathop 3\nolimits^6  \times \mathop 7\nolimits^4 }  = \sqrt {\mathop {(2}\nolimits^2  \times \mathop 3\nolimits^3  \times \mathop 7\nolimits^2 ) \times \mathop {(2}\nolimits^2  \times \mathop 3\nolimits^3  \times \mathop 7\nolimits^2 )}  = \mathop 2\nolimits^2  \times \mathop 3\nolimits^3  \times \mathop 7\nolimits^2\)

\(\sqrt {\frac{{16}}{9}} = \frac{4}{3},\sqrt {225} = 15 \Rightarrow \sqrt {\frac{{16}}{9}} \times \sqrt {225} = \frac{4}{3} \times 15 = 20\)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\mathop {( - 1)}\nolimits^3 = - 1\\\mathop {( - 2)}\nolimits^3 = - 8\end{array} \right\} = - 1 > - 8\\\\\left\{ \begin{array}{l}\mathop {( - 2)}\nolimits^4 = 16\\\mathop {( - 3)}\nolimits^4 = 81\end{array} \right\} = 81 > 16\\\\\left\{ \begin{array}{l}\mathop {( - 1)}\nolimits^9 = - 1\\\mathop {( - 2)}\nolimits^2 = 4\end{array} \right\} = 4 > - 1\\\\\left\{ \begin{array}{l}\mathop {( - 3)}\nolimits^4 = 81\\\mathop {( - 4)}\nolimits^3 = - 64\end{array} \right\} = 81 > - 64\end{array}\)

\( \mathop {(2 \times 2}\nolimits^4 ) \times \mathop {(9 \times 3}\nolimits^3 ) = \mathop 2\nolimits^{4 + 1}  \times \mathop {(\mathop 3\nolimits^2  \times 3}\nolimits^3 ) = \mathop 2\nolimits^5  \times \mathop 3\nolimits^5  = (2 \times 3){}^5 = \mathop 6\nolimits^5\)

\(\begin{array}{l}\mathop {(\mathop 6\nolimits^5  \times 5}\nolimits^6 ) = \mathop {(2 \times 3}\nolimits^{} {)^5} \times \mathop 5\nolimits^6  = \mathop {\mathop 3\nolimits^5  \times 5 \times 2}\nolimits^5  \times \mathop 5\nolimits^5 )\\\\ = \mathop 3\nolimits^5  \times 5 \times (2 \times 5){}^5 = 1215 \times \mathop {10}\nolimits^5  \Rightarrow \end{array}\)

نه رقمی

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{(ab)^c} = \mathop a\nolimits^c  \times \mathop b\nolimits^c \\{(bd)^{2c}} = \mathop b\nolimits^{2c}  \times \mathop d\nolimits^{2c} \\{(ad)^{3c}} = \mathop a\nolimits^{3c}  \times \mathop d\nolimits^{3c} \end{array} \right\} \Rightarrow {(ab)^c} \times (\mathop {bd)}\nolimits^{2c}  \times \mathop {(ad)}\nolimits^{3c} \\\\ = \mathop a\nolimits^c  \times \mathop b\nolimits^c  \times \mathop b\nolimits^{2c}  \times \mathop d\nolimits^{2c}  \times \mathop a\nolimits^{3c}  \times \mathop d\nolimits^{3c}  = \mathop a\nolimits^{4c}  \times \mathop b\nolimits^{3c}  \times \mathop d\nolimits^{5c} \end{array}\)

\( \begin{array}{l}9 \times \mathop {27}\nolimits^2  = 3 \times 3 \times {(3 \times 3 \times 3)^2}\\\\ = \mathop 3\nolimits^2  \times (\mathop 3\nolimits^2  \times \mathop 3\nolimits^2  \times \mathop 3\nolimits^2 )\\\\ = \mathop 3\nolimits^{2 + 2 + 2 + 2}  = \mathop 3\nolimits^8 \end{array}\)

\({\left[ { - {{( - 5)}^2}} \right]^2} = {\left[ { - 25} \right]^2} = 625\)

قرینه 625 برابر است با: 625-

چون 4 × 2 = 8 پس می توان نوشت:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{ }}{8^x} \times {\rm{ }}{8^2} = {\rm{ }}{4^x} \times {\rm{ }}{4^5} \Rightarrow {{(2 \times 4)}^x} \times 64 = {\rm{ }}{4^x} \times {\rm{ }}{4^3} \times {\rm{ }}{4^2}}\\{}\\{ \Rightarrow {\rm{ }}{2^x} \times {4^x} \times 64 = {4^x} \times 64 \times 16 \Rightarrow {\rm{ }}{2^x} = 16}\end{array}\)

16 = 2⁴، پس: 2^x = 2⁴ و بنابراین x = 4 است.

1 و 2 و 3 و 4، اعداد طبیعی کوچک تر از:

\( \sqrt {16}  < \sqrt {23}  < \sqrt {25}  \Rightarrow 4 < \sqrt {23}  < 5 \Rightarrow \sqrt {23}\)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {121}  = 11\\\sqrt {256}  = 16\end{array} \right\} \Rightarrow \\\\{(\sqrt {121}  - \sqrt {256} )^3} = {(11 - 16)^3}\\\\ = {( - 5)^3} =  - 125\end{array}\)

نکته: حاصل هر عددی (به غیر از صفر)، به توان صفر برابر یک است. مثال:

\(\begin{array}{l}\mathop {(\frac{2}{3})}\nolimits^0  = {( - 5)^0} = \mathop 7\nolimits^0  = {145^0} = 1\\\\\frac{{{{\left[ {1 + 2 + 3 + ... + 15} \right]}^0}}}{{\mathop 1\nolimits^0  + \mathop 2\nolimits^0  + \mathop 3\nolimits^0  + ... + \mathop {25}\nolimits^0 }} = \frac{1}{{\underbrace {1 + 1 + 1 + ... + 1}_{25}}} = \frac{1}{{25}} = {(\frac{1}{5})^2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\mathop {15}\nolimits^5  \times \mathop 2\nolimits^9  \times \mathop 8\nolimits^2  = \mathop {15}\nolimits^5  \times (\mathop 2\nolimits^5  \times \mathop 2\nolimits^4 ) \times (\mathop 2\nolimits^3  \times \mathop 2\nolimits^3 )\\\\ = \mathop {15}\nolimits^5  \times \mathop 2\nolimits^5  \times \mathop 2\nolimits^5  \times \mathop 2\nolimits^5  = {(15 \times 2 \times 2 \times 2)^5} = \mathop {120}\nolimits^5 \end{array}\)

 گزینه 1:

\(\sqrt {36}  < \sqrt {40}  < \sqrt {49}  \Rightarrow 6 < \sqrt {40}  < 7\)

گزینه 2:

\(\sqrt {36}  < \sqrt {42}  < \sqrt {49}  \Rightarrow 6 < \sqrt {42}  < 7\)

گزینه 3:

\(sqrt {36}  < \sqrt {42}  < \sqrt {49}  \Rightarrow 6 < \sqrt {42}  < 7\)

گزینه 4 :

\(\sqrt {36}  < \sqrt {39}  < \sqrt {49}  \Rightarrow 6 < \sqrt {39}  > 7\)

\(\mathop 3\nolimits^8  \times \mathop 6\nolimits^9  \times \mathop 2\nolimits^8  = \underbrace {\mathop 3\nolimits^8  \times \mathop 2\nolimits^8 }_{\mathop 6\nolimits^8 } \times \mathop 6\nolimits^9  = \mathop 6\nolimits^8  \times \mathop 6\nolimits^9  = \mathop 6\nolimits^{17}\)

با کمی دقت متوجه می شویم که در هر مرحله تعداد یاخته ها 4 برابر می شود:

 1 = مرحله صفر

= مرحله اول 4¹ = 4

= مرحله دوم 4² = 16

.

.

.

= مرحله دهم 4¹⁰ = (2 × 2)¹⁰ = 2¹⁰ × 2¹⁰ = 2^{10 + 10} = 2²⁰

\(\begin{array}{l}\frac{{\mathop 3\nolimits^4 \times \mathop 2\nolimits^{10} }}{{\mathop 6\nolimits^4 }} + \mathop 2\nolimits^6 = \frac{{\mathop 3\nolimits^4 \times \mathop 2\nolimits^{10} }}{{\mathop 2\nolimits^4 \times \mathop 3\nolimits^4 }} + \mathop 2\nolimits^6 \\\\ = \frac{{\mathop 2\nolimits^6 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2}}{{2 \times 2 \times 2 \times 2}} + \mathop 2\nolimits^6 \\\\ = \mathop 2\nolimits^6 + \mathop 2\nolimits^6 = 2 \times \mathop 2\nolimits^6 = \mathop 2\nolimits^7 \end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left[ {{{(0 - 18)}^3} \times {{(\frac{{100}}{6})}^3}} \right] \times \mathop {(\frac{2}{3})}\nolimits^3 \\\\ = (\mathop {\frac{{18}}{{100}} \times \frac{{100}}{6})}\nolimits^3  \times \mathop {(\frac{2}{3})}\nolimits^3 \\\\ = \mathop 3\nolimits^3  \times \frac{{\mathop 2\nolimits^3 }}{{\mathop 3\nolimits^3 }} = 8\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\mathop x\nolimits^2  = 169\;\;.\;\;X > 0\;\; \to \;\;X = \sqrt {169}  = 13\\\\\mathop 3\nolimits^{x - 9}  = \mathop 3\nolimits^{13 - 9}  = \mathop 3\nolimits^4  = 81\end{array}\)

\(\mathop 3\nolimits^7 + \mathop 3\nolimits^7 + \mathop 3\nolimits^7 = 3 \times \mathop 3\nolimits^7 = \mathop 3\nolimits^{7 + 1} = \mathop 3\nolimits^8\)

\(\begin{array}{l}\sqrt {16}  = 4 \Rightarrow \sqrt {21 + \sqrt {16} }  = \sqrt {21 + 4}  = \sqrt {25}  = 5\\\\ \Rightarrow \sqrt {31 + \sqrt {21 + \sqrt {16} } }  = \sqrt {31 + 5}  = \sqrt {36}  = 6\\\\\sqrt {43 + \sqrt {31 + \sqrt {21 + \sqrt {16} } } }  = \sqrt {43 + 6}  = \sqrt {49}  = 7\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\mathop {12}\nolimits^2 = 144\;\;,\;\;\mathop 5\nolimits^2 = 25\\\\ \Rightarrow \mathop 5\nolimits^2 + \mathop {12}\nolimits^2 = 25 + 144 = 169\end{array}\)

اما 169 برابر است با:

\(169 = 13 \times 13 = \mathop {13}\nolimits^2\)

بنابراین:

\(\mathop 5\nolimits^2  + \mathop {12}\nolimits^2  = \mathop {13}\nolimits^2\) ، پس x = 13 است.

\(\mathop 5\nolimits^3  + \mathop 5\nolimits^3  + \mathop 5\nolimits^3  + \mathop 5\nolimits^3  + \mathop 5\nolimits^3  = 5 \times \mathop 5\nolimits^3  = \mathop 5\nolimits^{1 + 3}  = \mathop 5\nolimits^4\)

بنابراین معکس آن برابر است با:

\({\left( {\frac{1}{5}} \right)^4}\)

مساحت قسمت رنگی نصف مساحت مربع است، پس مساحت مربع برابر با 64 = 32 × 2 است. اگر ضلع مربع را با x نشان دهیم، نتیجه می شود که:

مساحت مربع = \(x \times x = \mathop x\nolimits^2  \Rightarrow \mathop x\nolimits^2  = 64 \Rightarrow x = \sqrt {64}  = 8\)

 محیط مربع = 4 × 8 = 32

(x + 1) چه مثبت باشد و چه منفی، علامت (x + 1)² به خاطر توان 2 همواره نا منفی است. همچنین علامت \(\sqrt {y + 1}\) همواره نا منفی است، چون حاصل رادیکال همواره یک عدد نا منفی است. جمع دو عبارت نا منفی نمی تواند صفر باشد مگر اینکه هر دو عبارت صفر باشند.

\(\begin{array}{l}\mathop {(x + 1)}\nolimits^2  = 0 \Rightarrow x =  - 1\\\\\sqrt {y + 1}  = 0 \Rightarrow y =  - 1\end{array}\)

\(\frac{{\mathop 2\nolimits^4 }}{{9 \times 2 - 8}} = \frac{{16}}{{10}} = \frac{8}{5}\)

\(\begin{array}{l}\sqrt 4 = 2 \Rightarrow \sqrt {2 + \sqrt 4 } \\\\ = \sqrt {2 + 2} = \sqrt 4 = 2\\\\ \Rightarrow \sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt 4 } } \\\\ = \sqrt {2 + 2} = \sqrt 4 = 2\end{array}\)